連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉分析上課.ppt

信號(hào)與系統(tǒng)Signalsandsystems 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉分析Fourieranalysisofcontinuoustimesignals 引言 時(shí)域分析的要點(diǎn)是 以沖激函數(shù)為基本信號(hào) 任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù) f t f t 能否分解為其他簡(jiǎn)單信號(hào)的加權(quán)和 傅立葉級(jí)數(shù) 傅立葉級(jí)數(shù) 將周期信號(hào)展成三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的形式 為何要這樣展開(kāi) 復(fù)指數(shù)信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng) 常數(shù) H s est 3 1LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng) 復(fù)指數(shù)信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng) 思考 如果信號(hào) 能表示為 由系統(tǒng)的線性 和的響應(yīng)等于響應(yīng)的和 信號(hào) 通過(guò)LTI系統(tǒng)的響應(yīng)為 3 2連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的復(fù)指數(shù)分解 傅立葉級(jí)數(shù) 周期為T(mén)的連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)f t 可分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合 信號(hào)f t 的基波角頻率 傅立葉級(jí)數(shù)表示FourierSeriesrepresentation 傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)FourierSeriescoefficient 3 2 1 3 2 3 傅氏級(jí)數(shù)的物理意義 展開(kāi)傅立葉級(jí)數(shù) 直流分量 一次諧波 二次諧波 k次諧波 f t 3 2 4 3 2 5 傅氏級(jí)數(shù)例題 歐拉公式 例3 2 1已知連續(xù)時(shí)間信號(hào)求其傅立葉級(jí)數(shù)表示式及傅氏系數(shù)解 傅氏級(jí)數(shù)例題 例3 2 2連續(xù)時(shí)間周期脈沖信號(hào)f t 如圖 求其傅立葉級(jí)數(shù)表示式 解 f t 周期為T(mén)基波角頻率 抽樣函數(shù) 傅氏級(jí)數(shù)例題 2 取T 8T1 3 2 9 為了能既方便又明白地表示一個(gè)信號(hào)中包含有哪些頻率分量 各分量所占的比重怎樣 就采用了稱(chēng)為頻譜圖的表示方法 如果以頻率為橫軸 以幅度或相位為縱軸 繪出ak及 的變化關(guān)系 便可直觀地看出各頻率分量的相對(duì)大小和相位情況 這樣的圖就稱(chēng)為信號(hào)的幅度頻譜和相位頻譜 周期信號(hào)的頻譜 傅氏級(jí)數(shù)例題 2 取T 4T1 3 2 9 傅氏級(jí)數(shù)例題 取T 4T1 取T 8T1 周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn) 1 離散性 譜線是離散的而不是連續(xù)的 譜線之間的間隔為 這種頻譜常稱(chēng)為離散頻譜 2 諧波性 譜線在頻譜軸上的位置是基頻的整數(shù)倍 3 收斂性 各頻譜的高度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸減小 當(dāng)諧波次數(shù)無(wú)限增高時(shí) 譜線的高度也無(wú)限減小 傅氏級(jí)數(shù)的收斂 傅氏級(jí)數(shù)的收斂條件 狄里赫利條件 Dirichletcondition 1 信號(hào)f t 在任意一個(gè)周期T內(nèi)絕對(duì)可積 2 3 信號(hào)f t 在任意一個(gè)周期T內(nèi) 只有有限個(gè)極大和極小值點(diǎn) 信號(hào)f t 在任意一個(gè)周期T內(nèi) 只有有限個(gè)間斷點(diǎn) 而且在這些間斷點(diǎn)處f t 必須是有限值 3 2 21 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù) 不滿足狄里赫利條件的周期信號(hào) 狄里赫利條件信號(hào)f t 在任意一個(gè)周期T內(nèi)絕對(duì)可積信號(hào)f t 在任意一個(gè)周期T內(nèi) 只有有限個(gè)極大和極小值點(diǎn)信號(hào)f t 在任意一個(gè)周期T內(nèi) 只有有限個(gè)間斷點(diǎn) 而且在這些間斷點(diǎn)處f t 必須是有限值 1 2 3 吉布斯現(xiàn)象 滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)可以用傅立葉級(jí)數(shù)表示 在實(shí)際應(yīng)用中 通常只能取有限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)來(lái)近似 N越大 近似誤差越小 項(xiàng)數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)的極限就是理想的傅立葉級(jí)數(shù)表示 共2N 1項(xiàng) 3 2 22 3 2 23 吉布斯現(xiàn)象 取N 1 5 21 81 用有限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)逼近連續(xù)時(shí)間周期脈沖信號(hào)f t 周期信號(hào)通過(guò)LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) LTI特性 周期信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)的響應(yīng) 仍是一個(gè)由原諧波分量線性組合而成的周期信號(hào) 特征值 周期信號(hào)通過(guò)LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 周期信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)的響應(yīng)的求解步驟 1 計(jì)算傅氏級(jí)數(shù)系數(shù) 得到傅氏級(jí)數(shù)表達(dá)式 2 計(jì)算特征值 得到系統(tǒng)響應(yīng) 周期信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)例題 例3 2 4LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為求如圖周期信號(hào)f t 通過(guò)該系統(tǒng)的響應(yīng)y t 解 1 求傅氏級(jí)數(shù)系數(shù) f t 的傅氏級(jí)數(shù)表示 周期信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)例題 2 求f t 通過(guò)LTI系統(tǒng)后各諧波分量的特征值 系統(tǒng)響應(yīng) 3 3連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的復(fù)指數(shù)分解 傅立葉變換 周期信號(hào)可分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)之和 傅立葉級(jí)數(shù) 非周期信號(hào)能否分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)之和 周期信號(hào)fT t 非周期信號(hào)f t 周期T 演示 周期方波信號(hào)的非周期演變 周期方波信號(hào)fT t 非周期信號(hào)f t 周期T 3 3 1 3 3連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的復(fù)指數(shù)分解 傅立葉變換 假設(shè)f t 是周期為T(mén)的周期信號(hào) 則f t 一定可以寫(xiě)成 傅立葉反變換 傅立葉變換 傅立葉變換FourierTransform 傅立葉逆變換InverseFourierTransform f t 稱(chēng)為信號(hào)的時(shí)域表示 F 稱(chēng)為信號(hào)的頻域表示 信號(hào)f t 與其傅氏變換F 一一對(duì)應(yīng) 傅氏變換的物理意義 傅氏逆變換式可寫(xiě)為 非周期信號(hào)可以分解為無(wú)窮多個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)之和 傅氏變換稱(chēng)為信號(hào)的頻譜密度函數(shù) 復(fù)指數(shù)信號(hào)的幅度為 幅度譜 相位譜 3 3 9 1 F 是一個(gè)密度函數(shù)的概念 2 F 是一個(gè)連續(xù)譜 3 F 包含了從零到無(wú)限高頻所有頻率分量 4 各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系 常用信號(hào)的傅立葉變換 單邊指數(shù)信號(hào) 3 3 11 常用信號(hào)的傅立葉變換 雙邊指數(shù)信號(hào) 3 3 13 常用信號(hào)的傅立葉變換 矩形脈沖信號(hào) 門(mén)函數(shù) 3 3 14 常用信號(hào)的傅立葉變換 單位沖激信號(hào) 單位沖激信號(hào)的傅立葉變換的幅度恒為1 單位沖激信號(hào)等幅地包含所有頻率成份 常用系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)來(lái)描述LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 3 3 15 物理意義 在時(shí)域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量 因此 這種頻譜常稱(chēng)為 均勻譜 或 白色譜 常用信號(hào)的傅立葉變換 信號(hào) 傅氏變換的收斂 傅氏變換的存在條件 狄里赫利條件 1 信號(hào)f t 絕對(duì)可積 2 3 信號(hào)f t 在任意有限區(qū)間內(nèi) 只有有限個(gè)極大和極小值點(diǎn) 信號(hào)f t 在任意有限區(qū)間內(nèi) 只有有限個(gè)間斷點(diǎn) 而且在這些間斷點(diǎn)處f t 必須是有限值 3 3 18 吉布斯現(xiàn)象 滿足狄里赫利條件的連續(xù)時(shí)間信號(hào)存在傅氏變換 可以用傅氏逆變換表示 然而當(dāng)積分區(qū)間只取有限頻段近似時(shí) 和周期信號(hào)的情況一樣 在f t 的跳變點(diǎn)附近會(huì)出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象 3 3 19 3 4傅立葉變換的性質(zhì) 傅立葉變換的性質(zhì)從不同側(cè)面反映了一個(gè)信號(hào)的時(shí)域特性和頻域描述間的對(duì)應(yīng)關(guān)系掌握這些性質(zhì)對(duì)理解和認(rèn)識(shí)傅氏變換的實(shí)質(zhì)及熟練應(yīng)用傅氏變換解決信號(hào)處理中的具體問(wèn)題十分重要 線性 若 則 其中 為任意常數(shù) 兩個(gè)信號(hào)加權(quán)求和的傅氏變換等于各個(gè)信號(hào)傅氏變換的加權(quán)求和 線性同樣適用于多個(gè)信號(hào)加權(quán)求和的情況 3 4 1 1 線性 已知信號(hào) 根據(jù)線性 其傅氏變換為 已知信號(hào)f t 的傅氏變換 根據(jù)線性 該信號(hào)為 2 時(shí)移特性 信號(hào)的時(shí)移不改變其傅立葉變換的幅度譜 僅在其相位譜上增加的相移 若則 3 4 2 2 時(shí)移特性 已知 根據(jù)時(shí)移特性 已知 根據(jù)時(shí)移特性 3 頻移特性 若 則 信號(hào)在時(shí)域乘以一個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào) 其傅氏變換在頻域被頻移 3 4 6 例3 4 1利用傅氏變換的性質(zhì) 求下列信號(hào)的傅氏變換 歐拉公式 1 復(fù)指數(shù)信號(hào) 2 余弦信號(hào) 3 正弦信號(hào) 解 1 2 頻移特性 線性 歐拉公式 3 線性 例 調(diào)幅信號(hào)的頻譜 載波技術(shù) 4 時(shí)間和頻率標(biāo)度 若 則 如果信號(hào)在時(shí)域上壓縮 或擴(kuò)展 倍 相應(yīng)的傅立葉變換就在頻域上擴(kuò)展 或壓縮 倍 該性質(zhì)又稱(chēng)為傅氏變換的尺度變換特性 已知 根據(jù)尺度變換特性 演示 4 時(shí)間和頻率標(biāo)度 時(shí)寬為的門(mén)函數(shù) 時(shí)寬為的門(mén)函數(shù) 沿時(shí)間軸壓縮兩倍 時(shí)域反轉(zhuǎn)特性 在尺度變換特性中 令則 信號(hào)在時(shí)域上關(guān)于縱坐標(biāo)反轉(zhuǎn) 則其傅氏變換在頻域上也反轉(zhuǎn) 已知 a a 時(shí)域反轉(zhuǎn)頻域反轉(zhuǎn) 時(shí)域壓縮 時(shí)域展寬 時(shí)域中的壓縮 擴(kuò)展 等于頻域中的擴(kuò)展 壓縮 例題 例3 4 2已知 求信號(hào)的傅氏變換 解 令 時(shí)移特性 令 尺度變換 3 4 18 5 共軛對(duì)稱(chēng)性 若 則 時(shí)域共軛頻域共軛并且反轉(zhuǎn) f t 為實(shí)信號(hào) 6 對(duì)偶性 若 則 對(duì)某些信號(hào) 直接由定義式計(jì)算傅氏變換可能非常困難 但利用對(duì)偶性可使問(wèn)題變得十分簡(jiǎn)單 3 4 29 傅氏變換的性質(zhì)例題 例3 4 4求信號(hào)的傅氏變換 解 對(duì)偶性 直接計(jì)算積分困難 脈寬的矩形脈沖 矩形脈沖是實(shí)偶信號(hào) 令 3 4 31 傅氏變換的性質(zhì)例題 若信號(hào)在時(shí)域?yàn)殚T(mén)函數(shù) 則其頻譜為抽樣函數(shù)若信號(hào)的頻譜為門(mén)函數(shù) 則其時(shí)域?yàn)槌闃雍瘮?shù) 傅氏變換的性質(zhì)例題 例3 4 5求信號(hào)的傅氏變換 解 對(duì)偶性 按傅氏變換定義式直接計(jì)算積分困難 雙邊指數(shù)信號(hào) 線性 3 4 32 7 時(shí)域卷積特性 若 則 兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域上的卷積 對(duì)應(yīng)于兩信號(hào)在頻域上頻譜的乘積 利用時(shí)域卷積特性可簡(jiǎn)化對(duì)LTI系統(tǒng)的響應(yīng)的求解 傅氏變換的性質(zhì)例題 例3 4 6已知一LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)沖激響應(yīng)為 解 直接計(jì)算沖激響應(yīng)與輸入信號(hào)的卷積較困難 下面采用傅氏變換的時(shí)域卷積特性求解 時(shí)域卷積特性 求輸入信號(hào)的響應(yīng) 傅氏變換的性質(zhì)例題 2 8 時(shí)域微分特性 若 則 信號(hào)f t 在時(shí)域求導(dǎo) 則對(duì)應(yīng)其頻譜在頻域乘以 連續(xù)對(duì)f t 求導(dǎo)n次 則 3 4 35 3 4 36 8 時(shí)域微分特性 利用時(shí)域微分特性 對(duì)余弦信號(hào)的傅氏變換對(duì)利用時(shí)域微分特性 線性 整理 3 4 37 傅氏變換的性質(zhì)例題 1 例3 4 8求下列信號(hào)的傅立葉變換 1 符號(hào)函數(shù) 2 階躍信號(hào) 9 時(shí)域積分特性 若 則 3 4 41 10 能量定理 帕斯瓦爾關(guān)系 若 則 對(duì)信號(hào)功率的積分 對(duì)能量譜密度的積分 總能量 信號(hào)功率 單位時(shí)間內(nèi)的能量 能量譜密度 單位頻率內(nèi)的能量 帕斯瓦爾關(guān)系Parseval srelation 帕斯瓦關(guān)系又稱(chēng)能量定理 3 4 43 連續(xù)時(shí)間信號(hào)f t 信號(hào)能量信號(hào)和功率信號(hào) 1 信號(hào)的瞬時(shí)功率 離散時(shí)間信號(hào)f n 連續(xù)時(shí)間信號(hào)f t 2 信號(hào)的能量 離散時(shí)間信號(hào)f n 5能量信號(hào)和功率信號(hào) 連續(xù)時(shí)間信號(hào)f t 3 信號(hào)的平均功率 離散時(shí)間信號(hào)f n 能量譜 帕斯瓦爾定理 11 幅度調(diào)制 時(shí)域相乘 特性 若 則 兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域相乘 對(duì)應(yīng)它們?cè)陬l域的卷積 兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域相乘 可以看成是用一個(gè)信號(hào)的幅度去改變 調(diào)制 另一個(gè)信號(hào)的幅度 所以稱(chēng)為幅度調(diào)制特性 3 4 45 傅氏變換的性質(zhì)例題 例3 4 10已知信號(hào)f t 的頻譜如圖 求信號(hào)的傅立葉變換 頻譜搬移形狀不變幅度減半 傅氏變換的性質(zhì)例題 例3 4 11求信號(hào)的頻譜 解 幅度調(diào)制特性 卷積的微分積分特性 傅氏變換的性質(zhì)例題 2 12 頻域微分和積分特性 若 則 頻域積分特性為 頻域微分特性為 對(duì)求n階導(dǎo)數(shù) 傅氏變換的性質(zhì)例題 例3 4 12求信號(hào)的傅氏變換 解 頻域微分特性 3 4 51 3 4 49 例 一升余弦脈沖 波形如圖所示 表示為 試求f t 的傅里葉變換 求升余弦的FT 3 5周期信號(hào)的傅立葉變換 周期信號(hào)f t 傅立葉級(jí)數(shù)表示 復(fù)指數(shù)信號(hào)的傅立葉變換 周期信號(hào)f t 的傅立葉變換 3 5 1 周期信號(hào)的傅立葉變換 周期信號(hào)的傅立葉變換由沖激串組成沖激出現(xiàn)在各次諧波頻率處 求周期信號(hào)傅氏變換的步驟 1 求傅氏級(jí)數(shù)系數(shù) 得到傅氏級(jí)數(shù)表示 2 求傅氏變換 第k個(gè)沖激的強(qiáng)度與相應(yīng)的傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)成正比 例 沖激串信號(hào) 求其傅立葉