19.4線段的垂直平分線.ppt

19 4 4線段的垂直平分線 線段的垂直平分線 PA PB P1 P1A P1B 命題 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 動手操作 作線段AB的中垂線MN 垂足為C 在MN上任取一點P 連結(jié)PA PB 量一量 PA PB的長 你能發(fā)現(xiàn)什么 由此你能得到什么規(guī)律 證明 MN AB 已知 PCA PCB 垂直的定義 在 PCA和 PCB中 PCA PCB SAS PA PB 全等三角形的對應(yīng)邊相等 C 命題 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 PA PB 直線MN AB 垂足為C 且AC CB 已知 如圖 點P在MN上 求證 C PA PB 點P在線段AB的垂直平分線上 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 當(dāng)點P與點C重合時 上述證明有什么缺陷 PCA與 PCB將不存在 PA與PB還相等嗎 相等 此時 PA CA PB CB已知AC CB PA PB 線段的垂直平分線 C 性質(zhì)定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 PA PB 點P在線段AB的垂直平分線上 逆命題 和一條線段兩個端點距離相等的點 在這條線段的垂直平分線上 A B P 已知 線段AB 且PA PB 求證 點P在線段AB的垂直平分線MN上 過點P作PC AB垂足為C 在Rt PCA和Rt PCB中PA PB PC PC PCA PCB HL PC是線段AB的垂直平分線 即點P在線段AB的垂直平分線MN上 證明 和一條線段兩個端點距離相等的點 在這條線段的垂直平分線上 逆定理 和線段兩個端點距離相等的所有點的集合 線段的垂直平分線可以看作是 如圖 ABC中 邊AB BC的垂直平分線交于點O 1 求證 OA OB OC 2 點O是否也在邊AC的垂直平分線上呢 由此你能得出什么結(jié)論 證明 點O在線段AB的垂直平分線上 OA OB 點O在線段BC的垂直平分線上 OB OC OA OB 點O在線段AC的垂直平分線上 結(jié)論 三角形三邊垂直平分線交于一點 這一點到三角形三個頂點的距離相等 泰安市政府為了方便居民的生活 計劃在三個住宅小區(qū)A B C之間修建一個購物中心 試問 該購物中心應(yīng)建于何處 才能使得它到三個小區(qū)的距離相等 A B C 實際問題1 線段的垂直平分線 1 求作一點P 使它和 ABC的三個頂點距離相等 實際問題1 高速公路 A B 在某高速公路L的同側(cè) 有兩個工廠A B 為了便于兩廠的工人看病 市政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)院 使得兩個工廠的工人都沒意見 問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處 你的方案是什么 生活中的數(shù)學(xué) L 1 在 ABC中 ACB 90 AB 8cm BC的垂直平分線DE交AB于D點 則CD 4cm 2 在 ABC PM QN分別垂直平分AB AC 則 1 若BC 10cm則 APQ的周長 cm 2 若 BAC 100 則 PAQ 10 200 3 在 ABC中 AB AC AB的中垂線與AC所在的直線相交所得的銳角為50 則 B 700或200 證明 連結(jié)BC AB AC 已知 A點在線段BC的垂直平分線上 垂直平分線性質(zhì)定理 同理 D點也在線段BC的垂直平分線上 兩點確定一條直線 直線AD是線段BC的垂直平分線 E是AD延長線上一點 已知 BE CE 垂直平分線性質(zhì)定理 例1已知 如圖 AB AC DB DC E是AD延長線上一點 求證 BE CE 證明 連結(jié)MA MN垂直平分線AB 已知 BM AM 垂直平分線性質(zhì)定理 B MAB 等角對等邊 AB AC 已知 B C 等邊對等角 BAC 120 B C 30 三角形內(nèi)角和定理 CAM CAB MAB 90 AM CM 直角三角形中 30 所對的直角邊等于斜邊的一半 CM 2BM 例2已知 如圖 在 ABC中 A 120 AB AC MN垂直平分AB分別交BC AB于M N 求證 CM 2BM A B C M N 例3已知 如圖 AD是 ABC的角平分線 DE AB于E DF AC于F 求證 AD垂直平分EF 證明 AD平分 BAC DE AB于E DF AC于F 已知 AED AFD 90 DE DF 角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等 D點在線段EF的垂直平分線上 垂直平分線性質(zhì)定理 在Rt AFD和Rt AED中AD AD 公共邊 DE DF 已證 AFD AED HL AF AE A點在線段EF的垂直平分線上 垂直平分線性質(zhì)定理 AD垂直平分EF 4 如圖 CD EF分別是AB BC的垂直平分線 請你指出圖中相等的線段有哪些 AD BD CF BF AC BC CE BE 1 2 3 CF DF 即 BF CF DF 證明題 5 已知 如圖 線段CD垂直平分AB AB平分 CAD 求證 AD BC 證明 線段CD垂直平分AB 已知 CA CB 線段垂直平分線的性質(zhì)定理 1 3 等邊對等角 又 AB平分 CAD 已知 1 2 角平分線的定義 2 3 等量代換 AD BC 內(nèi)錯角相等 兩直線平行 挑戰(zhàn)自我 駛向勝利的彼岸 1 如圖 已知AB是線段CD的垂直平分線 E是AB上的一點 如果EC 7cm 那么ED cm 如果 ECD 600 那么 EDC 0 7 60 2 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 BC的垂直平分線交斜邊AB于D 交BC于E AB 7 8 AC 3 9 圖中角度等于60 的角有 A 2個 B 3個 C 4個 D 5個 一 選擇題 練習(xí) D 3 若一個三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上 則這個三角形是 A 銳角三角形 B 鈍角三角形 C 直角三角形 D 任意三角形 C 4 已知 如圖 AB AC DB DC 求證 AD所在直線是BC的垂直平分線 二 解答題 練習(xí) 先證明 ABD ACD 再導(dǎo)出 BAD CAD 根據(jù)等腰三角形性質(zhì)定理推論1即可證出 5 如圖 在 ABC中 已知AC 27 AB的垂直平分線交AB于點D 交AC于點E BCE的周長等于50 求BC的長 老師期望 做完題目后 一定要 悟 到點東西 納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去 AD BD DE AB EA EB 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等 AC 27 EA EC 27 EB EC 27 EB EC BC 50 BC 23 例1已知 如圖 在Rt ABC中 B 90 ED垂直平分AC交AC于D 交BC于E BAE BAC 2 5 求 C的度數(shù) 分析 由于ED垂直平分AC 則有EA EC 從而 EAC C 根據(jù) BAE BAC 2 5 可設(shè) BAE 2k BAC 5k 則 EAC C 3k 由直角三角形兩銳角互余 C BAC 90 得3k 5k 90 求出k值即可 點評 有比例條件的 一般用到設(shè)比例系數(shù) 例2 已知 ABC中 C 90 A 30o BD平分 ABC交AC于D 求證 D點在AB的垂直平分線上 證明 30o C 90o A 30o 已知 ABC 60o 三角形內(nèi)角和定理 A ABD 等量代換 D點在AB的垂直平分線上 和一條線段兩個端點距離相等的點 在這條線段的垂直平分線上 AD BD 等角對等邊 3 已知 如圖 ABC中 M N分別是AB BC的中點 DM AB于M DN BC于N BAD 80 求 DAB DCB的度數(shù) 100 定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 定理2到一個角的兩邊的距離相等的點 在這個角的平分線上 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合 3 14線段的垂直平分線 定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 逆定理和一