高中數(shù)學(xué)教案必修1第十一講：函數(shù)模型及其應(yīng)用.doc

博途教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義(一）學(xué)員姓名: 年 級(jí)：高 一 日期：輔導(dǎo)科目：數(shù) 學(xué) 學(xué)科教師：劉云豐 時(shí)間：課 題第十一講：函數(shù)模型及其應(yīng)用授課日期 教學(xué)目標(biāo)1、培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行信息綜合列出函數(shù)解析式；2、會(huì)利用函數(shù)圖象性質(zhì)對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行處理得出數(shù)學(xué)結(jié)論.教學(xué)內(nèi)容函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題分析建立數(shù)學(xué)模型和根據(jù)實(shí)際問(wèn)題擬合判斷數(shù)學(xué)模型；教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程來(lái)源:Zxxk.Com一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題在課本第三章的章頭圖中，有一大群喝水、嬉戲的兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋.1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒(méi)有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞，數(shù)量達(dá)到75億只.可愛(ài)的兔子變得可惡起來(lái)，75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口.這使澳大利亞人頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣.這段話道出了其中的意蘊(yùn)：對(duì)于一個(gè)種群的數(shù)量，如果在理想狀態(tài)(如沒(méi)有天敵、食物充足等)下，那么它將呈指數(shù)增長(zhǎng)；但在自然狀態(tài)下，種群數(shù)量一般符合對(duì)數(shù)增長(zhǎng)模型.2、 提出問(wèn)題，探索新知我市有甲、乙兩家乒乓球俱樂(lè)部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費(fèi)方式不同.甲家每張球臺(tái)每小時(shí)5元；乙家按月計(jì)費(fèi)，一個(gè)月中30小時(shí)以內(nèi)(含30小時(shí))每張球臺(tái)90元，超過(guò)30小時(shí)的部分每張球臺(tái)每小時(shí)2元.小張準(zhǔn)備下個(gè)月從這兩家中的一家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)，其活動(dòng)時(shí)間不少于15小時(shí)，也不超過(guò)40小時(shí). 設(shè)在甲家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為f(x)元(15x40)，在乙家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為g(x)元(15x40)，試求f(x)和g(x).A、B兩城相距100 km，在兩地之間距A城x km處D地建一核電站給A、B兩城供電，為保證城市安全.核電站距城市距離不得少于10 km.已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)=0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月.把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)，并求定義域.分析以上實(shí)例屬于那種函數(shù)模型.討論結(jié)果：f(x)=5x(15x40).g(x)=y=5x2+(100x)2(10x90)；分別屬于一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型.三、應(yīng)用示例例1 一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.(1)求圖3-2-2-1中陰影部分的面積，并說(shuō)明所求面積的實(shí)際含義；(2)假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km,試建立行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s km與時(shí)間t h的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象.圖3-2-2-1活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)：圖中橫軸表示時(shí)間，縱軸表示速度，面積為路程；由于每個(gè)時(shí)間段速度不斷變化，汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s km與時(shí)間t h的函數(shù)為分段函數(shù).解：(1)陰影部分的面積為501+801+901+751+651=360.陰影部分的面積表示汽車在這5小時(shí)內(nèi)行駛的路程為360 km.(2)根據(jù)圖，有s=這個(gè)函數(shù)的圖象如圖3-2-2-2所示.圖3-2-2-2變式訓(xùn)練 電信局為了滿足客戶不同需要，設(shè)有A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話時(shí)間(分鐘)之間關(guān)系如下圖(圖3-2-2-3)所示(其中MNCD).(1)分別求出方案A、B應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)表達(dá)式f(x)和g(x)；(2)假如你是一位電信局推銷人員，你是如何幫助客戶選擇A、B兩種優(yōu)惠方案？并說(shuō)明理由.圖3-2-2-3解：(1)先列出兩種優(yōu)惠方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：f(x)=g(x)=(2)當(dāng)f(x)=g(x)時(shí),x-10=50,x=200.當(dāng)客戶通話時(shí)間為200分鐘時(shí)，兩種方案均可;當(dāng)客戶通話時(shí)間為0x200分鐘，g(x)f(x),故選擇方案A；當(dāng)客戶通話時(shí)間為x200分鐘時(shí)，g(x)f(x),故選方案B.點(diǎn)評(píng)：在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應(yīng)當(dāng)注意提高讀圖的能力.另外，本例題用到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的重要模型.例2 人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù).早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯(T.R.Malthus,17661834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：y=y0ert,其中t表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，y0表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率.下表是19501959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料：年份1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)萬(wàn)人55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率(精確到0.000 1),用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；(2)如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在哪一年我國(guó)的人口達(dá)到13億？解：(1)設(shè)19511959年的人口增長(zhǎng)率分別為r1,r2,r3,r9.由55196(1+r1)=56300，可得1951年的人口增長(zhǎng)率為r10.020 0.同理,可得r20.0210，r30.0229，r40.0250，r50.0197，r60.0223，r70.0276，r80.0222，r90.0184.于是，19501959年期間，我國(guó)人口的年平均增長(zhǎng)率為r=(r1+r2+r9)90.0221.令y0=55 196，則我國(guó)在19511959年期間的人口增長(zhǎng)模型為y=55 196e0.0221t,tN.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并作出函數(shù)y=55 196e0.0221t(tN)的圖象(圖3-2-2-4).圖3-2-2-4由圖可以看出，所得模型與19501959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合.(2)將y=130000代入y=55 196e0.0221t,由計(jì)算器可得t38.76.所以，如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么大約在1950年后的第39年(即1989年)我國(guó)的人口就已達(dá)到13億.由此可以看到，如果不實(shí)行計(jì)劃生育，而是讓人口自然增長(zhǎng)，今天我國(guó)將面臨難以承受的人口壓力.變式訓(xùn)練 一種放射性元素,最初的質(zhì)量為500 g,按每年10%衰減.(1)求t年后,這種放射性元素質(zhì)量的表達(dá)式;(2)由求出的函數(shù)表達(dá)式,求這種放射性元素的半衰期(剩留量為原來(lái)的一半所需的時(shí)間叫做半衰期).(精確到0.1.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)解：(1)最初的質(zhì)量為500 g.經(jīng)過(guò)1年后,=500(110%)=5000.91;經(jīng)過(guò)2年后,=5000.9(110%)=5000.92;由此推知,t年后,=5000.9t.(2)解方程5000.9t=250,則0.9t=0.5,所以t=6.6(年),即這種放射性元素的半衰期約為6.6年.知能訓(xùn)練 某電器公司生產(chǎn)A型電腦.1993年這種電腦每臺(tái)平均生產(chǎn)成本為5 000元,并以純利潤(rùn)20%確定出廠價(jià).從1994年開(kāi)始,公司通過(guò)更新設(shè)備和加強(qiáng)管理,使生產(chǎn)成本逐年降低.到1997年,盡管A型電腦出廠價(jià)僅是1993年出廠價(jià)的80%,但卻實(shí)現(xiàn)了50%純利潤(rùn)的高效益.(1)求1997年每臺(tái)A型電腦的生產(chǎn)成本;(2)以1993年的生產(chǎn)成本為基數(shù),求1993年至1997年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù).(精確到0.01,以下數(shù)據(jù)可供參考:=2.236,=2.449)活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo).出廠價(jià)=單位商品的成本+單位商品的利潤(rùn).解：(1)設(shè)1997年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本為x元,依題意,得x(1+50%)=5000(1+20%)80%,解得x=3200(元).(2)設(shè)1993年至1997年間每年平均生產(chǎn)成本降低的百分率為y,則依題意,得5000(1y)4=3200,解得y1=1,y2=1+(舍去).所以y=10.11=11%,即1997年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本為3 200元,1993年至1997年生產(chǎn)成本平均每年降低11%.點(diǎn)評(píng)：函數(shù)與方程的應(yīng)用是本章的重點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們體會(huì)它們的關(guān)系.拓展提升某家電企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周(按120個(gè)工時(shí)計(jì)算)生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱共360臺(tái)，且冰箱至少生產(chǎn)60臺(tái).已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品每臺(tái)所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如下表：家電名稱空調(diào)彩電冰箱每臺(tái)所需工時(shí)每臺(tái)產(chǎn)值(千元)432問(wèn)每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱各多少臺(tái)，才能使周產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少?(以千元為單位)解：設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱分別為x臺(tái)、y臺(tái)、z臺(tái)，每周產(chǎn)值為f千元，則f=4x+3y+2z，其中由可得y=360-3x,z=2x,代入得則有30x120.故f=4x+3(360-3x)+22x=1080-x,當(dāng)x=30時(shí)，fmax=1 080-30=1050.此時(shí)y=360-3x=270,z=2x=60.答:每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)30臺(tái)，彩電270臺(tái)，冰箱60臺(tái)，才能使每周產(chǎn)值最高，最高產(chǎn)值為1 050千元.點(diǎn)評(píng)：函數(shù)方程不等式有著密切的關(guān)系，它們相互轉(zhuǎn)化組成一個(gè)有機(jī)的整體,請(qǐng)同學(xué)們借助上面的實(shí)例細(xì)心體會(huì).四、課堂小結(jié)本節(jié)重點(diǎn)學(xué)習(xí)了函數(shù)模型的實(shí)例應(yīng)用，包括一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等；另外還應(yīng)關(guān)注函數(shù)方程不等式之間的相互關(guān)系.5、 課后練習(xí)1按復(fù)利計(jì)算利率的儲(chǔ)蓄，銀行整存一年，年息8，零存每月利息2，現(xiàn)把2萬(wàn)元存入銀行3年半，取出后本利和應(yīng)為人民幣（）A萬(wàn)元B萬(wàn)元C萬(wàn)元D萬(wàn)元解析：3年半本利和的計(jì)算問(wèn)題，應(yīng)轉(zhuǎn)為3年按年息8計(jì)算，而半年按6個(gè)月（月息2）計(jì)算，又由于是復(fù)利問(wèn)題，故只有選B2某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開(kāi)始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路，下圖中，縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則下列四個(gè)圖形中較符合該生走法的是（）解析：由于d表示學(xué)生的家與學(xué)校的距離，因而首先排除A、C選項(xiàng)，又因?yàn)閳D中線段的斜率的絕對(duì)值表示前進(jìn)速度的大小，因而排除B，故只能選擇D。3.商店某種貨物的進(jìn)價(jià)下降了8，但銷售價(jià)沒(méi)變，于是這種貨物的銷售利潤(rùn)由原來(lái)的r增加到（r10），那么r的值等于（）A12B15C25D50解析：銷售利潤(rùn)100設(shè)銷售價(jià)為y，進(jìn)價(jià)為x，則解之得r15。4如下圖所示，點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，設(shè)M是CD邊的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)沿著ABCM運(yùn)動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程x為自變量，三角形APM的面積函數(shù)的圖象形狀大致是（）解析：本題主要考查求分段函數(shù)的解析式，如圖所示，當(dāng)0x1時(shí)，yx1x；當(dāng)1x2時(shí)，y1（x1）（2x）x；當(dāng)2x2.5時(shí)，y（x）1x則圖形為A。5有一質(zhì)量均勻的杠桿的支點(diǎn)在它的一端，而距支點(diǎn)1m處掛一個(gè)490kg的物體，同時(shí)加力于杠桿的另一端，使杠桿保持水平，若杠桿本身每米重5kg，則最省力的桿長(zhǎng)為_(kāi)。答案：14m解析：如圖所示，設(shè)桿長(zhǎng)為xm，向上用力為F依杠桿原理易得49015xFx，則F70，當(dāng)且僅當(dāng)，即x14m時(shí)，F(xiàn)的最小值為70kg。6甲、乙兩地相距skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)ckm/h，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度vkm/h的平方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元（1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？答案：（1）y，0vc；（2）當(dāng)c，v時(shí)，最小值為2s；當(dāng)c，vc時(shí)，最小值為s（bc）。7為了適應(yīng)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展需要，某市政府決下進(jìn)行經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)調(diào)整，加快發(fā)展第三產(chǎn)業(yè).已知該市現(xiàn)有第二產(chǎn)業(yè)從業(yè)人員100萬(wàn)人，平均每人全年可創(chuàng)造產(chǎn)值a萬(wàn)元，現(xiàn)欲從中分流出x萬(wàn)人去從事第三產(chǎn)業(yè)，假設(shè)分流后繼續(xù)從事第二產(chǎn)業(yè)的人員平均每人全年創(chuàng)造產(chǎn)值大約可增加2x%，而分流出的從事第三產(chǎn)業(yè)的人員，平均每人全年可創(chuàng)造產(chǎn)值ab萬(wàn)元(a,b均為正常數(shù)，0x100).(1)在保證該市第二產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值不能減少的情況下，求x的取值范圍.(2)在(1)的條件下，當(dāng)該市第二、三產(chǎn)業(yè)的總