高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明3.2數(shù)學(xué)證明學(xué)案北師大版選修1_2.doc

2數(shù)學(xué)證明1理解演繹推理的概念(重點(diǎn))2掌握演繹推理的基本模式，并能用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理(重點(diǎn))3能用“三段論”證明簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理數(shù)學(xué)證明閱讀教材P58P59“例2”以上部分，完成下列問(wèn)題1證明(1)證明命題的依據(jù)：命題的條件和已知的定義、公理、定理(2)證明的方法：演繹推理2演繹推理的主要形式演繹推理的一種形式：三段論，其推理形式如下：(1)大前提：提供了一個(gè)一般性道理(2)小前提：研究對(duì)象的特殊情況(3)結(jié)論：根據(jù)大前提和小前提作出的判斷判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)“三段論”就是演繹推理()(2)演繹推理的結(jié)論是一定正確的()(3)演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理()【答案】(1)(2)(3)質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：_解惑：_疑問(wèn)2：_解惑：_疑問(wèn)3：_解惑：_小組合作型把演繹推理寫(xiě)成三段論的形式將下列演繹推理寫(xiě)成三段論的形式(1)一切奇數(shù)都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇數(shù)；(2)三角形的內(nèi)角和為180，RtABC的內(nèi)角和為180；(3)通項(xiàng)公式為an3n2(n2)的數(shù)列an為等差數(shù)列【精彩點(diǎn)撥】三段論推理是演繹推理的主要模式，推理形式為“如果bc，ab，則ac.”其中，bc為大前提，提供了已知的一般性原理；ab為小前提，提供了一個(gè)特殊情況；ac為大前提和小前提聯(lián)合產(chǎn)生的邏輯結(jié)果【自主解答】(1)一切奇數(shù)都不能被2整除(大前提)75不能被2整除(小前提)75是奇數(shù)(結(jié)論)(2)三角形的內(nèi)角和為180.(大前提)RtABC是三角形(小前提)RtABC的內(nèi)角和為180.(結(jié)論)(3)數(shù)列an中，如果當(dāng)n2時(shí)，anan1為常數(shù)，則an為等差數(shù)列(大前提)通項(xiàng)公式an3n2，n2時(shí)，anan13n23(n1)23(常數(shù))(小前提)通項(xiàng)公式為an3n2(n2)的數(shù)列an為等差數(shù)列(結(jié)論)把演繹推理寫(xiě)成“三段論”的一般方法：(1)用“三段論”寫(xiě)推理過(guò)程時(shí)，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中大前提提供了一個(gè)一般性原理，小前提提供了一種特殊情況，兩個(gè)命題結(jié)合起來(lái)，揭示一般性原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系(2)在尋找大前提時(shí)，要保證推理的正確性，可以尋找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提再練一題1將下列演繹推理寫(xiě)成三段論的形式(1)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對(duì)角線互相平分；(2)等腰三角形的兩底角相等，A，B是等腰三角形的兩底角，則AB.【解析】(1)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，(大前提)菱形是平行四邊形，(小前提)菱形的對(duì)角線互相平分(結(jié)論)(2)等腰三角形的兩底角相等，(大前提)A，B是等腰三角形的兩底角，(小前提)AB.(結(jié)論)演繹推理在幾何中的應(yīng)用如圖321所示，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB邊上的點(diǎn)，BFDA，DEBA，求證：DEAF.寫(xiě)出“三段論”形式的演繹推理. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67720015】圖321【精彩點(diǎn)撥】用三段論的模式依次證明：(1)DFAE，(2)四邊形AEDF為平行四邊形，(3)DEAF.【自主解答】(1)同位角相等，兩直線平行，(大前提)BFD和A是同位角，且BFDA，(小前提)所以DFAE.(結(jié)論)(2)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，(大前提)DEBA且DFEA，(小前提)所以四邊形AFDE為平行四邊形(結(jié)論)(3)平行四邊形的對(duì)邊相等，(大前提)DE和AF為平行四邊形的對(duì)邊，(小前提)所以DEAF.(結(jié)論)1用“三段論”證明命題的步驟(1)理清楚證明命題的一般思路；(2)找出每一個(gè)結(jié)論得出的原因；(3)把每個(gè)結(jié)論的推出過(guò)程用“三段論”表示出來(lái)2幾何證明問(wèn)題中，每一步都包含著一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，將一般性原理應(yīng)用于特殊情況，就能得出相應(yīng)結(jié)論再練一題2證明：如果梯形的兩腰和一底相等，那么它的對(duì)角線必平分另一底上的兩個(gè)角【解】已知在梯形ABCD中(如圖所示)，ABDCAD，AC和BD是它的對(duì)角線，求證：CA平分BCD，BD平分CBA.證明：等腰三角形的兩底角相等，(大前提)DAC是等腰三角形，DCDA，(小前提)12.(結(jié)論)兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，(大前提)1和3是平行線AD，BC被AC 所截的內(nèi)錯(cuò)角，(小前提)13.(結(jié)論)等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等，(大前提)2，3都等于1，(小前提)2和3相等(結(jié)論)即CA平分BCD.同理BD平分CBA.探究共研型演繹推理在代數(shù)中的應(yīng)用探究1演繹推理的結(jié)論一定正確嗎？【提示】演繹推理的結(jié)論不會(huì)超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論一定正確探究2因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0，a1)是增函數(shù)，而yx是對(duì)數(shù)函數(shù)，所以yx是增函數(shù)上面的推理形式和結(jié)論正確嗎？【提示】推理形式正確，結(jié)論不正確因?yàn)榇笄疤崾清e(cuò)誤的已知a，b，m均為正實(shí)數(shù)，ba，用三段論形式證明：.【精彩點(diǎn)撥】利用不等式的性質(zhì)證明【自主解答】因?yàn)椴坏仁?兩邊)同乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)不改變方向，(大前提)b0，(小前提)所以mbma.(結(jié)論)因?yàn)椴坏仁絻蛇呁由弦粋€(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變，(大前提)mbma，(小前提)所以mbabmaab，即b(am)a(bm)(結(jié)論)因?yàn)椴坏仁絻蛇呁砸粋€(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，(大前提)b(am)0，(小前提)所以，即0”，你認(rèn)為這個(gè)推理()A大前提錯(cuò)誤B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤D是正確的【解析】這個(gè)三段論推理的大前提是“任何實(shí)數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實(shí)數(shù)”，結(jié)論是“a20”顯然結(jié)論錯(cuò)誤，原因是大前提錯(cuò)誤【答案】A3函數(shù)y2x5的圖像是一條直線，用三段論表示為：大前提：_；小前提：_；結(jié)論：_.【答案】一次函數(shù)的圖像是一條直線函數(shù)y2x5是一次函數(shù)函數(shù)y2x5的圖像是一條直線4如圖322所示，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以ABCD，BCAD.圖322又因?yàn)锳BC和CDA的三邊對(duì)應(yīng)相等，所以ABCCDA.上述推理的兩個(gè)步驟中分別省略了 _、_.【答案】大前提大前提5用三段論的形式寫(xiě)出下列演繹推理(1)矩形的對(duì)角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對(duì)角線相等；(2)0.是有理數(shù)【解】(1)因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，(大前提)而正方形是矩形，(小前提)所以正方形的對(duì)角線相等(結(jié)論)(3)所有的循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)，(大前提)0.是循環(huán)小數(shù)，(小前提)所以，0.是有理數(shù)(結(jié)論)我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(八)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1給出下面一段演繹推理：有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，(大前提)整數(shù)是有理數(shù)，(小前提)整數(shù)是真分?jǐn)?shù)(結(jié)論)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)?)A大前提錯(cuò)誤B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤D非以上錯(cuò)誤【解析】舉反例，如2是有理數(shù)，但不是真分?jǐn)?shù)，故大前提錯(cuò)誤【答案】A2已知在ABC中，A30，B60，求證：BCAC.方框部分的證明是演繹推理的()A大前提B小前提C結(jié)論D三段論【解析】因?yàn)楸绢}的大前提是“在同一個(gè)三角形中，大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”，證明過(guò)程省略了大前提，方框部分的證明是小前提，結(jié)論是“BCAC”故選B.【答案】B3在證明f(x)2x1為增函數(shù)的過(guò)程中，有下列四個(gè)命題：增函數(shù)的定義是大前提；增函數(shù)的定義是小前提；函數(shù)f(x)2x1滿足增函數(shù)的定義是大前提；函數(shù)f(x)2x1滿足增函數(shù)的定義是小前提其中正確的命題是()ABCD【解析】根據(jù)三段論特點(diǎn)，過(guò)程應(yīng)為：大前提是增函數(shù)的定義；小前提是f(x)2x1滿足增函數(shù)的定義；結(jié)論是f(x)2x1為增函數(shù)，故正確【答案】A4(2016鄭州高二檢測(cè))在R上定義運(yùn)算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)1對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則()A1a1B0a2CaDa【解析】xyx(1y)，(xa)(xa)(xa)(1xa)x2xa2a0，不等式(xa)(xa)1對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，14(a2a1)0，解得a.故選C.【答案】C5“四邊形ABCD是矩形，所以四邊形ABCD的對(duì)角線相等”，補(bǔ)充該推理的大前提是()A正方形的對(duì)角線相等B矩形的對(duì)角線相等C等腰梯形的對(duì)角線相等D矩形的對(duì)邊平行且相等【解析】得出“四邊形ABCD的對(duì)角線相等”的大前提是“矩形的對(duì)角線相等”【答案】B二、填空題6在三段論“因?yàn)閍(1,0)，b(0，1)，所以ab(1,0)(0，1)100(1)0，所以ab”中，大前提：_，小前提：_，結(jié)論：_.【解析】本題省略了大前提，即“a，b均為非零向量，若ab0，則ab”【答案】若a，b均為非零向量，ab0，則aba(1,0)，b(0，1)，且ab(1,0)(0，1)100(1)0ab7(2016蘇州高二檢測(cè))一切奇數(shù)都不能被2整除，21001是奇數(shù)，所以21001不能被2整除其演繹推理的“三段論”的形式為_(kāi).【答案】一切奇數(shù)都不能被2整除，(大前提)21001是奇數(shù)，(小前提)所以21001不能被2整除(結(jié)論)8若f(ab)f(a)f(b)(a，bN*)，且f(1)2，則_.【解析】利用三段論f(ab)f(a)f(b)(a，bN*)(大前提)令b1，則f(1)2.(小前提)2，(結(jié)論)原式222 018.【答案】2 018三、解答題9用三段論的形式寫(xiě)出下列演繹推理(1)自然數(shù)是整數(shù)，所以6是整數(shù)；(2)ycos x(xR)是周期函數(shù)【解】(1)自然數(shù)是整數(shù)，(大前提)6是自然數(shù)，(小前提)所以6是整數(shù)(結(jié)論)(2)三角函數(shù)是周期函數(shù)，(大前提)ycos x(xR)是三角函數(shù)，(小前提)所以ycos x(xR)是周期函數(shù)(結(jié)論)10已知yf(x)在(0，)上單調(diào)遞增且滿足f(2)1，f(xy)f(x)f(y). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67720016】(1)求證：f(x2)2f(x)；(2)求f(1)的值；(3)若f(x)f(x3)2，求x的取值范圍【解】(1)f(xy)f(x)f(y)，(大前提)f(x2)f(xx)f(x)f(x)2f(x)(結(jié)論)(2)f(1)f(12)2f(1)，(小前提)f(1)0.(結(jié)論)(3)f(x)f(x3)f(x(x3)22f(2)f(4)，(小前提)且函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，(大前提)解得0x1.(結(jié)論)能力提升1有一段演繹推理是這樣的：直線平行于平面，則直線平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b平面，直線a平面，直線b平面，則直線b直線a.結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?)A大前提錯(cuò)誤B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤D非以上錯(cuò)誤【解析】大前提是錯(cuò)誤的，直線平行于平面，但不一定平行于平面內(nèi)所有直線，還有異面直線的情況【答案】A2“1a2”是“對(duì)任意的正數(shù)x，都有2x1”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)“對(duì)任意的正數(shù)x，都有2x1”成立時(shí)，ax2x2對(duì)xR恒成立，而x2x222，a.(1,2)，“1a2”是“對(duì)任意的正數(shù)x，都有2x1”的充分不必要條件【答案】A3已知f(1,1)1，f(m，n)N*(m，nN*)，且對(duì)任意m，nN*都有：f(m，n1)f(m，n)2，f(m1,1)2f(m,1)給出以下三個(gè)結(jié)論：(1)f(1,5)9，(2)f(5,1)16，(3)f(5,6)26.其中正確結(jié)論為_(kāi)【解析】由題設(shè)條件可知：(1)f(1,5)f(1,4)2f(1,3)4f(1,2)6f(1,1)8189.(2)f(5,1)2f(4,1)4f(3,1)8f(2,1)16f(1,1)16.(3)f(5,6)f(5,5)2f(5,4)4f(5,1)102f(4,1)104f(3,1)1016f(1,1)10161026.【答案】(1)(2