2012版初高中銜接教材數(shù)學(xué)部分.doc

數(shù)學(xué)部分第一講 代數(shù)式及其恒等變形導(dǎo)學(xué)：初中學(xué)生必須能快速而且準(zhǔn)確地進(jìn)行代數(shù)式及其恒等變形.用運(yùn)算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是代數(shù)式.整式和分式統(tǒng)稱為有理式.本講主要學(xué)習(xí)：整式及其恒等變形、二次根式及其恒等變形.1.1 整式及其恒等變形【方法要點(diǎn)】冪的乘（除）法運(yùn)算：，（為正整數(shù)）.多項(xiàng)式乘法公式：（1）平方差公式：；（2）完全平方公式：， ；（3）立方和、差公式：，；（4）完全立方公式：,【試一試】下列運(yùn)算正確嗎？如果不對，應(yīng)怎樣改正？（1）； （2）；（3）； （4） .觀察下列一組單項(xiàng)式：，按此規(guī)律，第n個(gè)單項(xiàng)式是 .3現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算：，其中為實(shí)數(shù)，則= .【想一想】以下問題如何解決？解題時(shí)應(yīng)注意些什么？例. 計(jì)算：.解：原式=；例.求代數(shù)式的值：（1）當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式的值.（2）已知代數(shù)式的值為8，求代數(shù)式的值 （3）已知，時(shí)，求的值.解：（1）原式=.當(dāng)時(shí)，原式為-9；（2）由知，得；（3）原式=.當(dāng)，時(shí)，原式為3.【練一練】求解下列各題，并請你結(jié)合本節(jié)【試一試】、【想一想】中的內(nèi)容，談?wù)務(wù)降暮愕茸冃蔚奶攸c(diǎn)，你認(rèn)為整式的恒等變形在簡化計(jì)算中有哪些好處？1計(jì)算2（1）已知.，則y的最小值是多少？（2）若，則的值是多少？3已知，則的值為多少？4已知，求代數(shù)式的值.5先化簡，再求值：（1），其中；（2），其中.6小明家買了一套價(jià)格為80萬元的住房，按要求需首期（第一年）付房款30萬元，從第二年起，每年付房款5萬元與上一年剩余房款的利息之和，假設(shè)剩余房款年利率為6.06%，則第年小明家需還款 萬元.1.2 二次根式及其恒等變形【方法要點(diǎn)】根式：式子表示的是實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根；二次根式的性質(zhì)：（）； ；（，）； （，）.【試一試】1.下列計(jì)算正確嗎？如果不對，應(yīng)怎樣改正？（1）； （2）；（3）； （4） .2.觀察分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律：0，3，則第10個(gè)數(shù)據(jù)是什么？3.估算的值（ ）在1和2之間 在2和3之間 在3和4之間 在4和5之間4.要使式子有意義，的取值范圍是（ ） 且 或 且【想一想】以下問題如何解決？解題時(shí)應(yīng)注意些什么？例.已知，化簡解：由知異號，再由知，可得，從而.所以=.例2.比較大?。海?）與 （2）與 （3）與解：，而，；，而，故-；，而，即例3已知，、為實(shí)數(shù)，求的值.解：由題知.得，.例4.計(jì)算（1）； （2）；（3）.解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=.例5.已知，求的取值范圍.解：由知，注意到，則有，所以，故.【練一練】求解下列各題，并請你結(jié)合本節(jié)【試一試】、【想一想】中的內(nèi)容，談?wù)劯降暮愕茸冃蔚奶攸c(diǎn)，你認(rèn)為根式的恒等變形在簡化計(jì)算中有哪些好處？若，化簡.2.使有意義，應(yīng)滿足的條件是什么？3.下列計(jì)算正確的是（ ） 4.先化簡再求值：，其中.5.計(jì)算：（1）； （2）；（3）； （4）.6.已知，求的值.7.已知，試求的值.8.我們知道，形如，的數(shù)可以化簡，其化簡的目的主要是把原數(shù)分母中的無理數(shù)化為有理數(shù)，如：；，這樣的化簡過程叫做分母有理化.我們把叫做的有理化因式， 做的有理化因式.請完成下列各題：（1）的有理化因式是 ，的有理化因式是 ；（2）化簡；（3）比較，的大小，并說明理由.9.觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：，驗(yàn)證：；，驗(yàn)證：；（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；（2）上述各式反映的規(guī)律,寫出用a（a為任意自然數(shù)且）表示的等式,并給出驗(yàn)證.第二講 因式分解導(dǎo)學(xué)：在前一講里，我們會根據(jù)多項(xiàng)式乘法的分配律、交換律與結(jié)合律,求出若干個(gè)多項(xiàng)式的乘積那么，把這一過程反過來，我們能做什么呢？能把一個(gè)多項(xiàng)式化為若干個(gè)次數(shù)較低的多項(xiàng)式（或單項(xiàng)式）的乘積！把一個(gè)多項(xiàng)式化為若干個(gè)整式的積的過程叫做因式分解，也叫分解因式，從定義不難看出，因式分解是整式乘法的逆運(yùn)算.“化積”與“整式”是因式分解的兩個(gè)基本特征因式分解通常以“能分則分，直到不能再分”為原則，把一個(gè)多項(xiàng)式盡可能地分解為不能再分的幾個(gè)整式的乘積在數(shù)學(xué)解題中，因式分解是一種重要的思想方法，我們必須學(xué)會其中幾種最常用的方法！ 提取公因式法與運(yùn)用公式法【方法要點(diǎn)】提取公因式法，即把多項(xiàng)式中各項(xiàng)含有的公因式提出來.應(yīng)用公式法，即直接運(yùn)用以下乘法公式進(jìn)行因式分解（1）平方差公式：；（2）完全平方公式：；（3）立方和差公式：；（4）完全立方公式：.【試一試】以下因式分解對嗎？如果不對，應(yīng)怎樣改正？（1）； （2）.下面多項(xiàng)式可以用平方差公式分解因式嗎？說說你的理由.(1)； (2)； (3) 分解因式：(1)；(2)；(3) ；(4)【想一想】以下問題如何解決？解題時(shí)應(yīng)注意些什么？例. 把下列各式分解因式：； ；解：原式；原式；原式；原式例.把下列各式分解因式： ； 解：原式；原式；原式=例.把下列各式分解因式：； 解：原式；原式=；原式=【練一練】求解下列各題，并請你結(jié)合本節(jié)【試一試】、【想一想】中的內(nèi)容，談?wù)動锰崛」蚍ㄅc運(yùn)用公式法分解因式的特點(diǎn)，你認(rèn)為因式分解在簡化計(jì)算中有哪些好處？將下列各式分解因式：； 計(jì)算下列各式的值：；2.2 十字相乘法【方法要點(diǎn)】十字相乘法是一種操作性很強(qiáng)又很實(shí)用的因式分解方法，通常表現(xiàn)為兩種形式：第一種叫分拆系數(shù)形式，由中二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)與一次項(xiàng)系數(shù)間的關(guān)系得出，如圖；第二種叫分拆項(xiàng)形式，即把二次三項(xiàng)式中的二次項(xiàng)拆成二個(gè)一次式的乘積，再把常數(shù)項(xiàng)寫成二個(gè)常數(shù)的乘積，然后交叉相乘的和是一次項(xiàng)，如圖 圖 圖【試一試】試指出下列各式中實(shí)數(shù)的值： ；.用十字相乘法分解下列因式:； ；.【想一想】 以下問題是如何解決的?十字相乘法僅適用于對二次三項(xiàng)式的因式分解嗎?例 把下列各式分解因式：; ； 解：；.例 請連續(xù)二次運(yùn)用十字相乘法分解下列各式：； 解：，而，原式=； ，而，原式=；，而，原式=例 你能根據(jù)右邊的圖示，寫出一個(gè)多項(xiàng)式及其它的分解式嗎？ 如能，你可寫出幾個(gè)呢？ 解：從二次三項(xiàng)式考慮，有； ； 如從更一般考慮，可以為； 【練一練】求解下列各題，并請你結(jié)合本節(jié)【試一試】、【想一想】中的內(nèi)容，談?wù)動檬窒喑朔ǚ纸庖蚴降奶攸c(diǎn)，你認(rèn)為用這一方法時(shí)要注意些什么？ 將下列各式分解因式：； ；將下列各式分解因式：； ；2.3 分組分解法【方法要點(diǎn)】分組分解法也是一種非常實(shí)用的因式分解方法，它是在多項(xiàng)式各項(xiàng)沒有直接的公因式的情況下，先通過合理分組使各組出現(xiàn)公因式或構(gòu)成某個(gè)乘法公式，然后再提取公因式或運(yùn)用乘法公式，直至把某多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式.分組分解法的關(guān)鍵在于合理分組這里的合理，就是要使分組后的各組具有公因式或構(gòu)成某個(gè)乘法公式【試一試】以下各式應(yīng)怎樣分組，才能使分組后的各組具有公因式或構(gòu)成一個(gè)乘法公式？；把下列各式分解因式：；【想一想】下列問題是怎樣處理的？這樣處理的目的是什么？還有其它解決辦法嗎？例 把下列各式分解因式：；解：；原式 例 把下列各式分解因式： ； 解：；例 多項(xiàng)式可進(jìn)行因式分解嗎？怎樣分解？解：可以將各看成一個(gè)整體，對原多項(xiàng)式進(jìn)行重新分組，便有 【練一練】求解下列各題，并請你結(jié)合本節(jié)【試一試】、【想一想】中的內(nèi)容，概括一下用分組分解法進(jìn)行分解因式的特點(diǎn)及運(yùn)用時(shí)的關(guān)鍵點(diǎn) 將下列各式分解因式： ；已知，試求的值； 若，求證：、中至少有兩個(gè)數(shù)相等.2. 4 其它方法【方法要點(diǎn)】在因式分解中，除了上面介紹的提取公因式法、運(yùn)用公式法、十字相乘法、分組分解法以外，還有求根公式法、待定系數(shù)法等求根公式法相對二次三項(xiàng)式而言，這里的“求根公式”就是一元二次方程，當(dāng)時(shí)的兩個(gè)實(shí)根：求出了實(shí)根，也就有因式分解的結(jié)論.可見，這種方法只有在相應(yīng)一元二次方程有實(shí)根的前提下使用的；待定系數(shù)法是在已明確因式分解的方向，但不知有關(guān)系數(shù)時(shí)使用的一種方法，求出待定系的依據(jù)是“兩多項(xiàng)式恒等，對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等”【試一試】你能用十字相乘法、求根公式法分解下列因式嗎？不能用時(shí)能想到用別的方法嗎？；如已經(jīng)知道多項(xiàng)式中含有因式，你有什么辦法可求出該多項(xiàng)式的其余因式？【想一想】例 把下列各式分解因式：； 解：，,.求得方程的兩個(gè)實(shí)根為：原式；將看成常數(shù)，方程的兩根是所以，原式=.至此，你能總結(jié)出用求根公式法分解因式時(shí)的步驟是什么？例 試用待定系數(shù)法分解下列因式：；觀察與思考：本題中的兩個(gè)多項(xiàng)式各具有什么樣的整式因式呢？方向應(yīng)該是有的：在第問中，它至少可以化為一個(gè)一次整式與一個(gè)二次三項(xiàng)式的乘積；在第問中，它至少可以化為兩個(gè)二次三項(xiàng)式的乘積解：對照同次項(xiàng)前的系數(shù)得：，解得故得原式=.設(shè)對照同次項(xiàng)前的系數(shù)有：，解得【練一練】解答以下各題，并請結(jié)合本節(jié)【試一試】、【想一想】中的解法，總結(jié)一下求根公式法適用的范圍、步驟，待定系數(shù)法應(yīng)用時(shí)的情境、步驟及注意點(diǎn)等等 分解因式：； 分解因式： ； 若能分解為兩個(gè)一次因式的積，求實(shí)數(shù)的值多項(xiàng)式能分解為兩個(gè)一次因式的乘積嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？第三講 一元二次方程導(dǎo)學(xué)：一元二次方程幾種常見解法：直接開平方法、分解因式法、配方法或公式法；一元二次方程，當(dāng)判別式時(shí)，方程有兩實(shí)根，并導(dǎo)出方程的兩實(shí)根之和、兩實(shí)根之積與方程的系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理.一元二次方程的判別式和韋達(dá)定理在解決一元二次方程中的字母系數(shù)、根的關(guān)系、圖象的交點(diǎn)等問題中具有十分重要的作用. 一元二次方程根的解法【方法要點(diǎn)】一元二次方程的常見解法有：直接開平方法：，則配方法：將一元二次方程配方成的形式，再用直接開平方法求解.分解因式法：將一元二次方程化成右邊為0，左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積的形式求解.公式法：一元二次方程 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，.【試一試】1你能直接口答下列方程的根嗎？（1） （2） （3） （4） （5） （6）2你能完成下列二次三項(xiàng)式的配方嗎？ （1） （2）（3） （4）（5）【想一想】 在解決以下問題的過程中你有何體會？例1.用直接開平方法或配方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） 解：（1） 即或 所以 ，. （2） 即或 所以 ，.（3） 即 所以 ，.（4）即，所以，即，.（5），得，移項(xiàng)配方：即 所以 .例2用分解因式法或公式法解下列方程（1） （2） （3） （4） （5）解：（1） 得 或 所以 . （2），得 ，即 或 所以 . （3），得或，所以 ，. （4）得或，所以 ，. （5）因?yàn)?，所?，由求根公式得，即 .例3解下列方程（1） （2） （3）解：（1）可用配方法、分解因式法、求根公式法求得方程解為 ， . （2） 得，所以 或， 所以. （3），得 ，所以 ， .【練一練】請你用一元二次方程的常用方法，并結(jié)合本節(jié)【想一想】中的內(nèi)容解下列方程（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）【方法要點(diǎn)】1若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根： ， ，則有 ； 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系是： 如果的兩根分別是，那么，.將此關(guān)系式成為韋達(dá)定理.2若二次項(xiàng)系數(shù)為1的元二次方程的兩根為，由韋達(dá)定理可知： ， 即 ，.所以，方程可化為 ，因此有以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是：【試一試】 請你判斷下列說法的對錯： 方程的兩根之和為2，兩根之積為7； （ ）方程的兩根之和為2，兩根之積為7； （ ）方程的兩根之和為0，兩根之積為； （ ）方程的兩根之和為2，兩根之積為0 （ ）2已知一元二次方程的兩根為，則這個(gè)一元二次方程可為（ ） 【想一想】以下問題如何解決？你能獨(dú)立解決嗎？例1若是一元二次方程的兩根（1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 解：是一元二次方程的兩根. ，（1） . (2) （3） 例2已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的積大21，求的值解：設(shè)是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得 ， ， ，即 ， 化簡得 ： ， 解得 ，或當(dāng)時(shí)，方程為，滿足題意；當(dāng)時(shí)，方程為，不合題意，舍去綜上知： 注意：只有在一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件下，才能用韋達(dá)定理例3已知是方程的兩根，求一個(gè)以為根的一個(gè)一元二次方程.解：由韋達(dá)定理得：，所以 ，即所以，以為兩根的一個(gè)一元二次程為：.例4已知實(shí)數(shù)滿足：， 求證：證明：由題意得：，由韋達(dá)定理知，以為實(shí)數(shù)根的關(guān)于的一元二次方程為：此時(shí)，所以即這表明方程有相等的實(shí)數(shù)根.因此.【練一練】請你結(jié)合本節(jié)【試一試】、【想一想】中的內(nèi)容和方法，求解下列各題 ；1填空題（1）已知方程的一個(gè)根是2，則它的另一個(gè)根為_, 的值為_（2）若方程的兩根分別是和，則 2已知方程的兩根為，求代數(shù)式的值.3關(guān)于的方程的兩根為滿足，求實(shí)數(shù)的值4求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程各根的相反數(shù)5已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根問是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；第四講 三角形的性質(zhì)導(dǎo)學(xué)：三角形是最常見的幾何圖形之一，在生產(chǎn)和生活中有著很廣泛的應(yīng)用.前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)線段、角，多邊形及內(nèi)角和，全等三角形的概念及判斷，等腰三角形的有關(guān)概念及性質(zhì)，直角三角形的概念及性質(zhì)等等.下面我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角形的一些性質(zhì)，主要有三角形的角平分線的性質(zhì)和三角形中的一些特殊點(diǎn). 三角形內(nèi)角平分線定理【知識要點(diǎn)】1. 角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.2三角形的角平分線：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.3. 三角形內(nèi)角平分線定理：三角形任意兩邊之比等于它們夾角的平分線分對邊之比.【試一試】1.已知是的角平分線，且，求和的大小.2.在中，是的角平分線，則=_.3.作一個(gè)，使，,分別為下列各角：（1）， （2）， （3）， （4）再作的角平分線，分別量出，的長，并計(jì)算. 【想一想】以下問題如何解決？解題時(shí)應(yīng)注意些什么？例1.三角形內(nèi)角平分線定理：三角形任意兩邊之比等于它們夾角的平分線分對邊之比.已知：如圖所示，是的內(nèi)角的平分線.求證：.思路1：過作角平分線的平行線，用平行線分線段成比例定理證明.證明：過作與的延長線交于，則. 且（等量代換） .思路2：利用面積法來證明.證明：過作于，于,過作于，又 .例2已知在中，是角平分線.求證：.證明：由，知，因?yàn)槭墙瞧椒志€，所以，即.例3如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的平分線，求的長.解：如圖，是的中點(diǎn)，.又是的平分線，=，即= 又 = 又，.思考：還有其它解法嗎？例4.已知：如圖，的角平分線和交于（l）求證：到、和邊的距離相等；（2）求證：平分；（3）求證：三角形中三條內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，而且這個(gè)點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.證明：（1）點(diǎn)在角平分線上，所以由角平分線性質(zhì)，點(diǎn)到的兩邊和 的距離相等.同理，點(diǎn)在角平分線上，所以點(diǎn)到的兩邊和的距離相等.所以點(diǎn)到的、和三邊距離相等；（2）由（1）可知點(diǎn)到兩邊和的距離相等，所以點(diǎn)在的角平分線上，所以平分；（3）由（2）平分，設(shè)延長線交于，則就是的角平分線，所以三角形的三條內(nèi)角的平分線、和交于交于一點(diǎn)，而且這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.【練一練】1已知是的角平分線，則 . 2已知是的角平分線且，則線段 .3已知：如圖，的外角和的平分線相交于點(diǎn).求證：點(diǎn)在的平分線上（注：點(diǎn)稱為三角形的旁心）.4.如圖，在中，是的角平分線.（1）若，求；（2）若，且，求. 三角形的“四心”【知識要點(diǎn)】三角形的四心是指三角形的重心、外心、內(nèi)心、垂心.三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn).三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn).三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn).三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(diǎn).【試一試】1三角形三條中線的交點(diǎn)是三角形的是_(填重心、外心、內(nèi)心、垂心).2三角形三條邊的垂直