第4講 數(shù)學(xué)概念的劃分和命題.ppt

第四講數(shù)學(xué)概念和命題 數(shù)學(xué)概念的劃分 概念的內(nèi)涵借助于定義來(lái)揭示 那么概念的外延借助于哪種方法來(lái)揭示呢 前面講述的概念間的關(guān)系是揭示外延的一種方法 此外還有借助于概念的劃分來(lái)揭示概念外延的方法 概念的劃分是把一個(gè)屬概念 按一定標(biāo)準(zhǔn)分為若干個(gè)不相容的種概念的邏輯方法 劃分是一種科學(xué)的分類 與通常將某一事物分成若干種情況的說(shuō)法 在意義上有較大差別 劃分必須按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行 邏輯學(xué)上的劃分是一種專有名詞的任何劃分包含三部分 它們是劃分的母項(xiàng) 屬概念 劃分的子項(xiàng) 各個(gè)種概念 以及劃分的標(biāo)準(zhǔn) 劃分必須遵守一定的原則 要求 劃分必須按照同一標(biāo)準(zhǔn) 定義所規(guī)定 劃分的各子項(xiàng)間必須是不相容關(guān)系 定義所規(guī)定 劃分必須相稱 即劃分的子項(xiàng)的外延之和必須等于被劃分的屬概念的外延 劃分不能越級(jí) 而被劃分的屬概念必須是劃分的各子概念的最鄰近的屬概念 是保證劃分的一致性 不能混亂 要求 和 是保證劃分 不漏 不重 要求 是保證劃分層次分明 清晰 合理 不符合要求 和 劃分中沒(méi)有同一標(biāo)準(zhǔn) 且各子項(xiàng)關(guān)系不是不相容關(guān)系 不符合要求 其中只有兩邊相等的三角形被漏掉 不符合要求 直角梯形最鄰近的屬是梯形 而不是四邊形 按劃分的要求 四邊形應(yīng)劃分為 這樣的劃分是按照標(biāo)準(zhǔn) 四邊形的每組對(duì)邊的平行關(guān)系 其中沒(méi)有一組對(duì)邊平行為一類 只有一組對(duì)邊平行為一類 有兩組對(duì)邊平行為一類 共三類 故劃分為個(gè)子項(xiàng) 數(shù)學(xué)的判斷判斷同概念一樣也是思維的一種形式 它反映了概念與概念的聯(lián)系 判斷表達(dá)人們對(duì)思維對(duì)象具有某種屬性或不具有某種間的屬性的斷定判斷是對(duì)思維對(duì)象有所斷定的思維形式 判斷必須通過(guò)語(yǔ)言或符號(hào)來(lái)表達(dá)與用詞語(yǔ)表達(dá)概念不同 判斷的表達(dá)形式是語(yǔ)句 我們將表達(dá)判斷的語(yǔ)句叫做命題 這3個(gè)語(yǔ)句都是判斷 它們都表達(dá)了對(duì)思維對(duì)象的性質(zhì)或關(guān)系作出了肯定或否定 命題是一種特殊表達(dá)形式的語(yǔ)句 有所斷定 是判斷的基本特征 如 4是素?cái)?shù)嗎 不是判斷 無(wú)所斷定的語(yǔ)句不是判斷即不是命題 因?yàn)樗葲](méi)有肯定什么 也沒(méi)有否定什么 命題具有真 假意義如 凡直角都相等 是真的 正三角形是中心對(duì)稱圖形 是假的 因此可知 命題是具有真假意義的語(yǔ)句 具有真意義的命題稱為真命題 反之為假命題 判斷的種類在邏輯學(xué)中 判斷可按不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類 按判斷的量分類 有全稱判斷 特稱判斷按判斷的質(zhì)分類 有肯定判斷 否定判斷按判斷的關(guān)系分類 有直言判斷 假言判斷 選言判斷按質(zhì)與量來(lái)分 共有4類 按判斷本身是否還包含有其他判斷可分為簡(jiǎn)單判斷和復(fù)合判斷 簡(jiǎn)單判斷是不包含有其他判斷的判斷 復(fù)合判斷是包含有至少一個(gè)其他判斷的判斷 如下列的判斷分別是相應(yīng)的簡(jiǎn)單判斷和復(fù)合判斷 1 所有的自然數(shù)不是無(wú)理數(shù) 簡(jiǎn)單判斷 性質(zhì)判斷 2 2小于3 簡(jiǎn)單判斷 關(guān)系判斷 3 如果兩個(gè)角是對(duì)頂角 那么這兩個(gè)角相等 復(fù)合判斷 充分條件假言判斷 4 一個(gè)自然數(shù)只有能被3整除 才能被9整除 復(fù)合判斷 必要條件假言判斷 5 當(dāng)且僅當(dāng)兩直線的斜率相等時(shí) 這兩直線才平行 復(fù)合判斷 充分必要條件假言判斷 6 平面上的兩直線若不平行 則互相垂直或互相不垂直 復(fù)合判斷 選言判斷 7 3既是整數(shù)又是實(shí)數(shù) 復(fù)合判斷 聯(lián)言判斷 8 并非所有實(shí)數(shù)都是有理數(shù) 復(fù)合判斷 負(fù)判斷 數(shù)學(xué)命題 1 數(shù)學(xué)命題的意義3 2 a b 2 a2 2ab b2 ABC A B C 判斷有真假之分 命題也相應(yīng)地有真假之分 用A B C或者p q r表示任意的命題 當(dāng)p是真命題時(shí) 記作 p 1 p是假命題時(shí) 記作 p 0 1和0稱為命題的真值 2 命題的基本運(yùn)算命題的基本運(yùn)算有否定 非 合取 與 析取 或 蘊(yùn)涵 若 則 等價(jià) 當(dāng)且僅當(dāng) 等 1 否定 2 合取 3 析取 4 蘊(yùn)涵 5 等價(jià) 非 與 或 若 則 當(dāng)且僅當(dāng)統(tǒng)稱為邏輯聯(lián)結(jié)詞 在一個(gè)命題中若沒(méi)有邏輯聯(lián)結(jié)詞出現(xiàn) 則該命題稱為簡(jiǎn)單命題 否則叫做復(fù)合命題 以p q分別表示簡(jiǎn)單命題 以上五個(gè)聯(lián)結(jié)詞結(jié)合簡(jiǎn)單命題形成如下五類復(fù)合命題 負(fù)命題聯(lián)言命題選言命題充分條件假言命題充分必要條件假言命題 3 命題運(yùn)算律 1 復(fù)合命題的真值 一個(gè)復(fù)合命題的真值取決于構(gòu)成它的各個(gè)命題的值 可以利用真值表來(lái)計(jì)算 2 命題運(yùn)算中常用的定律 數(shù)學(xué)命題的四種形式及其關(guān)系 在數(shù)學(xué)中 為了全面地研究命題中條件和結(jié)論的邏輯聯(lián)系 往往把一個(gè)命題的條件和結(jié)論換位 或者把條件和結(jié)論變?yōu)樗鼈兊姆穸?就可以得到三個(gè)新的命題 互逆關(guān)系 互否關(guān)系 互逆否關(guān)系 例1原命題 若一個(gè)四邊形是平行四邊形 則它的對(duì)角線互相垂直 假 逆命題 若一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直 則它是平行四邊形 假 否命題 若一個(gè)四邊形不是平行四邊形 則它的對(duì)角線不互相垂直 假 逆否命題 若一個(gè)四邊形的對(duì)角線不互相垂直 則它不是平行四邊形 假 例2原命題 在 ABC中 若AB AC 則 C B 真 逆命題 在 ABC中 若 C B 則AB AC 真 否命題 在 ABC中 若AB AC 則 C B 真 逆否命題 在 ABC中 若 C B