線性回歸推導(dǎo)及實(shí)例.doc

數(shù)據(jù)點(diǎn)基本落在一條直線附近。這告訴我們，變量X與Y的關(guān)系大致可看作是線性關(guān)系，即它們之間的相互關(guān)系可以用線性關(guān)系來(lái)描述。但是由于并非所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)完全落在一條直線上，因此X與Y的關(guān)系并沒有確切到可以唯一地由一個(gè)X值確定一個(gè)Y值的程度。其它因素，諸如其它微量元素的含量以及測(cè)試誤差等都會(huì)影響Y的測(cè)試結(jié)果。如果我們要研究X與Y的關(guān)系，可以作線性擬合（2-1-1）我們稱（2-1-1）式為回歸方程，a與b是待定常數(shù)，稱為回歸系數(shù)。從理論上講，（2-1-1）式有無(wú)窮多組解，回歸分析的任務(wù)是求出其最佳的線性擬合。二、最小二乘法原理如果把用回歸方程計(jì)算得到的i值(i=1,2,n)稱為回歸值，那么實(shí)際測(cè)量值yi與回歸值i之間存在著偏差，我們把這種偏差稱為殘差，記為ei(i=1,2,3,n)。這樣，我們就可以用殘差平方和來(lái)度量測(cè)量值與回歸直線的接近或偏差程度。殘差平方和定義為:(2-1-2)所謂最小二乘法，就是選擇a和b使Q(a,b)最小，即用最小二乘法得到的回歸直線是在所有直線中與測(cè)量值殘差平方和Q最小的一條。由(2-1-2)式可知Q是關(guān)于a,b的二次函數(shù)，所以它的最小值總是存在的。下面討論的a和b的求法。三、正規(guī)方程組根據(jù)微分中求極值的方法可知，Q(a,b)取得最小值應(yīng)滿足 (2-1-3)由(2-1-2)式，并考慮上述條件，則(2-1-4)(2-1-4)式稱為正規(guī)方程組。解這一方程組可得(2-1-5)其中(2-1-6)(2-1-7)式中，Lxy稱為xy的協(xié)方差之和，Lxx稱為x的平方差之和。如果改寫(2-1-1)式，可得(2-1-8)或(2-1-9)由此可見，回歸直線是通過點(diǎn)的，即通過由所有實(shí)驗(yàn)測(cè)量值的平均值組成的點(diǎn)。從力學(xué)觀點(diǎn)看，即是N個(gè)散點(diǎn)的重心位置?，F(xiàn)在我們來(lái)建立關(guān)于例1的回歸關(guān)系式。將表2-1-1的結(jié)果代入(2-1-5)式至(2-1-7)式，得出a=1231.65b=-2236.63因此，在例1中灰鑄鐵初生奧氏體析出溫度(y)與氮含量(x)的回歸關(guān)系式為y=1231.65-2236.63x四、一元線性回歸的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理如果X和Y都是相關(guān)的隨機(jī)變量，在確定x的條件下，對(duì)應(yīng)的y值并不確定，而是形成一個(gè)分布。當(dāng)X取確定的值時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望值也就確定了，因此Y的數(shù)學(xué)期望是x的函數(shù)，即E(Y|X=x)=f(x)(2-1-10)這里方程f(x)稱為Y對(duì)X的回歸方程。如果回歸方程是線性的，則E(Y|X=x)=+x(2-1-11)或Y=+x+(2-1-12)其中 隨機(jī)誤差從樣本中我們只能得到關(guān)于特征數(shù)的估計(jì)，并不能精確地求出特征數(shù)。因此只能用f(x)的估計(jì)式來(lái)取代（2-1-11）式，用參數(shù)a和b分別作為和的估計(jì)量。那么，這兩個(gè)估計(jì)量是否能夠滿足要求呢？1. 無(wú)偏性把(x,y)的n組觀測(cè)值作為一個(gè)樣本，由樣本只能得到總體參數(shù)和的估計(jì)值?？梢宰C明，當(dāng)滿足下列條件：(1)(xi,yi)是n個(gè)相互獨(dú)立的觀測(cè)值(2)i是服從分布的隨機(jī)變量則由最小二乘法得到的a與b分別是總體參數(shù)和的無(wú)偏估計(jì)，即E(a)= E(b)= 由此可推知E()=E(y) 即y是回歸值在某點(diǎn)的數(shù)學(xué)期望值。2. a和b的方差可以證明，當(dāng)n組觀測(cè)值(xi,yi)相互獨(dú)立，并且D(yi)=2,時(shí)，a和b的方差為 (2-1-13)(2-1-14)以上兩式表明，a和b的方差均與xi的變動(dòng)有關(guān)，xi分布越寬，則a和b的方差越小。另外a的方差還與觀測(cè)點(diǎn)的數(shù)量有關(guān)，數(shù)據(jù)越多，a的方差越小。因此，為提高估計(jì)量的準(zhǔn)確性，xi的分布應(yīng)盡量寬，觀測(cè)點(diǎn)數(shù)量應(yīng)盡量多。建立多元線性回歸方程，實(shí)際上是對(duì)多元線性模型（2-2-4）進(jìn)行估計(jì)，尋求估計(jì)式（2-2-3）的過程。與一元線性回歸分析相同，其基本思想是根據(jù)最小二乘原理，求解使全部觀測(cè)值與回歸值的殘差平方和達(dá)到最小值。由于殘差平方和（2-2-5）是的非負(fù)二次式，所以它的最小值一定存在。 根據(jù)極值原理，當(dāng)Q取得極值時(shí)，應(yīng)滿足 由（2-2-5）式，即滿足（2-2-6） (2-2-6）式稱為正規(guī)方程組。它可以化為以下形式（2-2-7） 如果用A表示上述方程組的系數(shù)矩陣可以看出A是對(duì)稱矩陣。則有（2-2-8）式中X是多元線性回歸模型中數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)矩陣，是結(jié)構(gòu)矩陣X的轉(zhuǎn)置矩陣。(2-2-7)式右端常數(shù)項(xiàng)也可用矩陣D來(lái)表示即 因此(2-2-7)式可寫成Ab=D（2-2-10）或（2-2-11）如果A滿秩（即A的行列式）那么A的逆矩陣A-1存在，則由(2-10)式和(2-11)式得的最小二乘估計(jì)為（2-2-12）也就是多元線性回歸方程的回歸系數(shù)。 為了計(jì)算方便往往并不先求，再求b，而是通過解線性方程組(2-2-7)來(lái)求b。(2-2-7)是一個(gè)有p+1個(gè)未知量的線性方程組，它的第一個(gè)方程可化為（2-2-13）式中（2-2-14） 將（2-2-13）式代入（2-2-7）式中的其余各方程，得（2-2-15）其中（2-2-16） 將方程組（2-2-15）式用矩陣表示，則有Lb=F（2-2-17）其中于是b=L-1F（2-2-18）因此求解多元線性回歸方程的系數(shù)可由（2-2-16）式先求出L，然后將其代回（2-2-17）式中求解。求b時(shí)，可用克萊姆法則求解，也可通過高斯變換求解。如果把b直接代入（2-2-18）式，由于要先求出L的逆矩陣，因而相對(duì)復(fù)雜一些。 例2-2-1表2-2-1為某地區(qū)土壤內(nèi)含植物可給態(tài)磷(y)與土壤內(nèi)所含無(wú)機(jī)磷濃度(x1)、土壤內(nèi)溶于K2CO3溶液并受溴化物水解的有機(jī)磷濃度(x2)以及土壤內(nèi)溶于K2CO3溶液但不溶于溴化物的有機(jī)磷(x3)的觀察數(shù)據(jù)。求y對(duì)x1,x2,x3的線性回歸方程 。表2-2-1土壤含磷情況觀察數(shù)據(jù)計(jì)算如下： 由(2-2-16)式代入(2-2-15)式得（2-2-19）若用克萊姆法則解上述方程組，則其解為 （2-2-20）其中計(jì)算得b1=1.7848，b2=-0.0834，b3=0.1611回歸方程為 應(yīng)用克萊姆法則求解線性方程組計(jì)算量偏大，下面介紹更實(shí)用的方法高斯消去法和消去變換。在上一節(jié)所介紹的非線性回歸分析，首先要求我們對(duì)回歸方程的函數(shù)模型做出判斷。雖然在一些特定的情況下我們可以比較容易地做到這一點(diǎn),但是在許多實(shí)際問題上常常會(huì)令我們不知所措。根據(jù)高等數(shù)學(xué)知識(shí)我們知道，任何曲線可以近似地用多項(xiàng)式表示，所以在這種情況下我們可以用多項(xiàng)式進(jìn)行逼近，即多項(xiàng)式回歸分析。一、多項(xiàng)式回歸方法假設(shè)變量y與x的關(guān)系為p次多項(xiàng)式，且在xi處對(duì)y的隨機(jī)誤差(i=1,2,n)服從正態(tài)分布N(0,)，則令xi1=xi, xi2=xi2，xip=xip則上述非線性的多項(xiàng)式模型就轉(zhuǎn)化為多元線性模型，即這樣我們就可以用前面介紹的多元線性回歸分析的方法來(lái)解決上述問題了。其系數(shù)矩陣、結(jié)構(gòu)矩陣、常數(shù)項(xiàng)矩陣分別為(2-4-11) (2-4-12)(2-4-13)回歸方程系數(shù)的最小二乘估計(jì)為(2-4-14)需要說(shuō)明的是，在多項(xiàng)式回歸分析中，檢驗(yàn)bj是否顯著，實(shí)質(zhì)上就是判斷x的j次項(xiàng)xj對(duì)y是否有顯著影響。對(duì)于多元多項(xiàng)式回歸問題，也可以化為多元線性回歸問題來(lái)解決。例如，對(duì)于(2-4-15) 令xi1=Zi1, xi2=Zi2, xi3=Zi12, xi4=Zi1Zi2, xi5=Zi22則(2-4-15)式轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化后就可以按照多元線性回歸分析的方法解決了。下面我們通過一個(gè)實(shí)例來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明多項(xiàng)式回歸分析方法。一、應(yīng)用舉例例2-4-2某種合金中的主要成分為元素A和B，試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)這兩種元素之和與合金膨脹系數(shù)之間有一定的數(shù)量關(guān)系，試根據(jù)表2-4-3給出的試驗(yàn)數(shù)據(jù)找出y與x之間的回歸關(guān)系。表2-4-3例2-4-2試驗(yàn)數(shù)據(jù)首先畫出散點(diǎn)圖（圖2-4-3）。從散點(diǎn)圖可以看出，y與x的關(guān)系可以用一個(gè)二次多項(xiàng)式來(lái)描述：i=1,2,3,13圖2-4-3例2-4-2的散點(diǎn)圖令xi1=xi,xi2=xi2,則現(xiàn)在我們就可以用本篇第二章介紹的方法求出的最小二乘估計(jì)。由表2-4-3給出的數(shù)據(jù)，求出由（2-2-16）式由此可列出二元線性方程組將這個(gè)方程組寫成矩陣形式，并通過初等變換求b1,b2和系數(shù)矩陣L的逆矩陣L-1:于是b1=-13.3854 b2=0.16598 b0=2.3323+13.385440-0.165981603.5=271.599因此下面對(duì)回歸方程作顯著性檢驗(yàn)：由（2-2-43）式S回=由（2-2-42）式S總=S殘=Lyy- S回=0.2572將上述結(jié)果代入表2-2-2中制成方差分析表如下：表2-4-4方差分析表查F檢驗(yàn)表，F(xiàn)0。01（2，10）