量子力學(xué)習(xí)題解答-第2章.doc

第二章定態(tài)薛定諤方程本章主要內(nèi)容概要：1. 定態(tài)薛定諤方程與定態(tài)的性質(zhì)：在勢(shì)能不顯含時(shí)間的情況下，含時(shí)薛定諤方程可以通過分離變量法來求解。首先求解定態(tài)薛定諤方程（能量本征值方程） 求解時(shí)需考慮波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件（連續(xù)、有限、單值等）。能量本征函數(shù)具有正交歸一性（分立譜） 或函數(shù)正交歸一性（連續(xù)譜） 由能量本征函數(shù)可以得到定態(tài)波函數(shù) 定態(tài)波函數(shù)滿足含時(shí)薛定諤方程。對(duì)分立譜，定態(tài)是物理上可實(shí)現(xiàn)的態(tài)，粒子處在定態(tài)時(shí)，能量具有確定值，其它力學(xué)量（不顯含時(shí)間）的期待值不隨時(shí)間變化。對(duì)連續(xù)譜，定態(tài)不是物理上可實(shí)現(xiàn)的態(tài)（不可歸一化），但是它們可以疊加成物理上可實(shí)現(xiàn)的態(tài)。含時(shí)薛定諤方程的一般解可由定態(tài)解疊加而成，在分離譜情況下為 系數(shù)由初始波函數(shù)確定 ， 由波函數(shù)的歸一性，可以得到系數(shù)的歸一性 對(duì)態(tài)測(cè)量能量只能得到能量本征值，得到的幾率是，能量的期待值可由 求出。這種方法與用 方法等價(jià)。 2. 一維典型例子：（a）一維無(wú)限深勢(shì)阱（分立譜，束縛態(tài)） 能量本征函數(shù)和能量本征值為 若 則能量本征函數(shù)和能量本征值為 是基態(tài)（能量最低），是第一激發(fā)態(tài)。波函數(shù)相對(duì)于勢(shì)阱的中心是奇偶交替的：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，依次類推。（b）一維簡(jiǎn)諧振子（分立譜，束縛態(tài)）： 能量本征函數(shù)和能量本征值為 其中厄米多項(xiàng)式，可由母函數(shù)生成 厄米多項(xiàng)式多項(xiàng)式滿足遞推關(guān)系 定義產(chǎn)生算符與湮滅算符 則有 當(dāng)處于能量本征態(tài)時(shí) （c）一維自由粒子（連續(xù)譜，散射態(tài)）： 定態(tài)薛定諤方程為 能量本征函數(shù)和本征值為 能量本征函數(shù)滿足函數(shù)正交歸一性 定態(tài)波函數(shù)為 定態(tài)不是物理上可實(shí)現(xiàn)的態(tài)（不可歸一化），它代表一個(gè)向右傳播的正弦波（）或向左傳播的正弦波（），波的傳播速度(相速度)為 盡管定態(tài)不是物理上可實(shí)現(xiàn)的態(tài)，但是定態(tài)疊加成的波包 可以是物理上可實(shí)現(xiàn)（可歸一化）的態(tài)。其中疊加系數(shù)由初始波包決定 由能量本征函數(shù)滿足函數(shù)正交歸一性 波包在空間的傳播速度稱為群速度 （d）一維函數(shù)勢(shì)阱： 函數(shù)的性質(zhì)為 在處由于函數(shù)勢(shì)的存在，波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)躍變 （如果是函數(shù)勢(shì)，上式中做代換） 束縛態(tài)：只有一個(gè)束縛態(tài)，能量本征函函數(shù)和本征值為 散射態(tài)（連續(xù)譜）：定態(tài)薛定諤方程的解為 盡管散射態(tài)不是可歸一化的態(tài)，但是我們可以用它作為代表來討論入射粒子（波包）被勢(shì)反射或透射的情況。由波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在連續(xù)和躍變條件，可以得出反射波振幅，透射波振幅與入射波振幅的關(guān)系（設(shè)，沒有從右向左入射的波）。計(jì)算出反射波幾率流密度，投射波幾率流密度，入射波幾率流密度，可以得到反射系數(shù)和透射系數(shù)。由幾率流密度定義 （三維情況為） 計(jì)算出 反射系數(shù)和透射系數(shù)之和為1. *習(xí)題2.1 證明下列三個(gè)定理解：（a） 證：假設(shè)在定態(tài)解把實(shí)數(shù)改為復(fù)數(shù)，則若在時(shí)刻，波函數(shù)是歸一化的，即 在以后時(shí)刻 所以要求在任何時(shí)候都有必須有，即必須為實(shí)數(shù)。（b）設(shè)滿足定態(tài)薛定諤方程 把這個(gè)式子取復(fù)共軛，注意到是實(shí)的，得到 顯然和是同一薛定諤方程的解，所以它們的線性疊加 或也是同一薛定諤方程的解。顯然是實(shí)函數(shù)，所以一維定態(tài)薛定諤方程的解總可以取為實(shí)函數(shù)。（c）對(duì)進(jìn)行空間反演，得到如果勢(shì)能是偶函數(shù)，則有 因此和是同一薛定諤方程的解，所以它們的線性疊加 也是同一薛定諤方程的解。，所以當(dāng)勢(shì)能是偶函數(shù)，定態(tài)薛定諤方程的解總可以取為有確定宇稱的解。*習(xí)題2.2 解：如果，那么和它的二次導(dǎo)數(shù)有同樣的符號(hào)。如果是正值，它將一直增加，這與我們，的要求不符，導(dǎo)致函數(shù)是不可歸一化的。如果是負(fù)值，它將一直減少（絕對(duì)值在增大），這同樣與我們，的要求不符，導(dǎo)致函數(shù)是不可歸一化的。我們還可以從另一個(gè)方面討論這個(gè)問題。設(shè)是定態(tài)薛定諤方程的一個(gè)歸一化解，我們有 在經(jīng)典力學(xué)中我們同樣有，一個(gè)粒子在一個(gè)勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，它的總能量為動(dòng)能加勢(shì)能，因?yàn)閯?dòng)能，所以總能勢(shì)能勢(shì)能最小值。如果總能勢(shì)能最小值，將意味著動(dòng)能為負(fù)值，這顯然是不可能的。在量子力學(xué)中，如果，則意味著動(dòng)能的期待值為負(fù)值，或的期待值為負(fù)值。這對(duì)歸一化的解是不可能的。 *習(xí)題2.5解：(a) 利用哈密頓本征函數(shù)的正交歸一性 所以 (b) 代入 并令 (c) 時(shí) 完成積分得到 (以為中心的振蕩)（d）由動(dòng)量期待值與坐標(biāo)期待值之間的關(guān)系（e）對(duì)測(cè)量能量，得到的幾率為1/2,得到的幾率為1/2.，這個(gè)幾率同時(shí)刻是一樣的，也就是說不隨時(shí)間變化，這是能量守恒的體現(xiàn)。為什么會(huì)隨時(shí)間變化,而不隨時(shí)間變化?因?yàn)槭枪茴D算苻的本征函數(shù), , 干涉項(xiàng)由于本征函數(shù)的正交性,結(jié)果為零。但是對(duì)算苻,干涉項(xiàng)一般不為零 (與, 與一般不會(huì)正交)*習(xí)題2.7 解：（a）的圖形為歸一化波函數(shù) 所以 （b）一維無(wú)限深勢(shì)阱的定態(tài)波函數(shù)為 把初始波函數(shù)用定態(tài)展開 其中展開系數(shù)為 利用積分公式 可以求出 所以 （）測(cè)量能量得到結(jié)果為的幾率是（d）其中利用了級(jí)數(shù)求和公式（這些公式可由函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式得到，可在數(shù)學(xué)手冊(cè)上查到） 習(xí)題.解：（a）初始波函數(shù)為 歸一化 所以 （b）一維無(wú)限深勢(shì)阱的定態(tài)波函數(shù)為 把初始波函數(shù)用定態(tài)展開 其中展開系數(shù)為 所以測(cè)量能量得到基態(tài)的幾率為*習(xí)題 2.12 解：由 ， 習(xí)題 2.13 解：（a）歸一化 所以 （b） 其中 是諧振子基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的能量。 （c） 利用 ， 或者 由Ehrenfests定理 代入諧振子勢(shì)能，及，有 顯然滿足Ehrenfests定理如果用替代，則有 其中，重復(fù)上面的計(jì)算，有顯然此時(shí)，仍然滿足（也必須滿足）。討論：當(dāng)不同的諧振子定態(tài)疊加時(shí)，只有疊加態(tài)中有相鄰態(tài)時(shí)，即有態(tài)時(shí)，必須還有態(tài)，才會(huì)以的形式震蕩。（d）測(cè)量能量得到的幾率是，得到的幾率是。習(xí)題 2.14 解：本題其實(shí)就是以經(jīng)典頻率為的基態(tài)為體系的初始態(tài)，體系的哈密頓為 能量本征函數(shù)為 能量本征值為 含時(shí)薛定諤方程的一般解為 當(dāng)時(shí)， 顯然對(duì)測(cè)量能量，不可能得到，因?yàn)楝F(xiàn)在的能量本征態(tài)中，沒有這個(gè)本征值，所以測(cè)量能量得到的幾率為零?，F(xiàn)在體系基態(tài)的能量為，所以測(cè)量能量得到的幾率是，由 代入 （注意在時(shí)刻，體系的能量期待值不是，因?yàn)轶w系的哈密頓是頻率為的諧振子哈密頓。） 習(xí)題2.19 解：把 代入 得到 顯然，幾率流是朝正方向，即波的傳播方向流動(dòng)。*習(xí)題2.27 解：（a）（a） 對(duì)束縛態(tài)必須有，解薛定諤方程： 其解為 其中 并且已經(jīng)利用了波函數(shù)在時(shí)應(yīng)為有限的條件。 波函數(shù)在處必須連續(xù)，我們有 但是由于此處勢(shì)能為無(wú)限大，所以波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的，波函數(shù)導(dǎo)數(shù)的躍變可以由薛定諤方程求出。在處，由積分 得到 其中 為波函數(shù)導(dǎo)數(shù)在處的躍變。同樣可以求得波函數(shù)導(dǎo)數(shù)在處的躍變?yōu)?所以 與 一起整理得到 其中 這個(gè)以為未知數(shù)的方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式為零，即 得到 這個(gè)方程可以表示為 所以我們有兩個(gè)解（單d勢(shì)阱時(shí)有一個(gè)解，雙d勢(shì)阱時(shí)有兩個(gè)解，你可以推論當(dāng)有N個(gè)d勢(shì)阱時(shí)，應(yīng)該有N個(gè)解） 對(duì) 得到滿足的方程為 數(shù)值解這兩個(gè)方程（注意）得到 所以能量為 注意當(dāng)取時(shí)，單d勢(shì)阱的能量為，所以雙阱時(shí)的兩個(gè)能量本征值，一個(gè)比單阱時(shí)大，一個(gè)比單阱時(shí)低。 對(duì)情況，滿足的方程為 數(shù)值解為 所以能量為 但是的解，不符合波函數(shù)必須歸一化的要求（在這種情況下，波函數(shù)在三個(gè)區(qū)間都是常數(shù)，積分為無(wú)限大，或者說不符合我們開始要求的束縛態(tài)的要求。）所以現(xiàn)在我們只有一個(gè)解。下面求出兩種情況下的波函數(shù)。首先把所有的系數(shù)都用表示，可以解出 對(duì)，滿足的解，有 所以波函數(shù)為 可以看出這是一個(gè)偶函數(shù)。歸一化 積分得到解出 這個(gè)波函數(shù)的圖形為對(duì)，滿足的解，有所以波函數(shù)為 可以看出這是一個(gè)奇函數(shù)。歸一化 積分得到解出 這個(gè)波函數(shù)的圖形為 對(duì)情況， （我們也只需考慮這種情況），我們得到 所以波函數(shù)為是偶函數(shù)。除了能量與時(shí)不同外，形式上這個(gè)波函數(shù)與時(shí)，能量為的波函數(shù)一樣。（b） *習(xí)題2.34： 解: (a) 對(duì)情況，定態(tài)薛定諤方程的解為 其中 并且我們已經(jīng)假設(shè)在僅有透射波。由波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在處的連續(xù)條件 消去F得到 反射系數(shù)為 （b）對(duì)于情況，定態(tài)薛定諤方程的解為 其中 由波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在處的連續(xù)條件 消去F得到 反射系數(shù)為 （a） 由于右邊透射波區(qū)域勢(shì)能與左邊入射波區(qū)域不一樣，所以透射系數(shù)不能簡(jiǎn)單地用，而應(yīng)該用透射波幾率流密度比上入射波幾率流密度。其中幾率流密度的定義為（一維情況） 對(duì)于情況，代入入射波，透射波，我們得到 所以 即除了振幅之比外，還有波矢之比出現(xiàn)。對(duì)于，代入透射波，可以求出（透射波是指數(shù)衰減波，它不能傳到無(wú)限遠(yuǎn)處，透射波是實(shí)函數(shù)，幾率流密度公式中的兩項(xiàng)相互抵消），所以。（d）對(duì)于情況，我們可以求出， 所以 對(duì)于，所以反射系數(shù)在這種情況下等于1。 習(xí)題2.37： 解：利用三角公式 其中 是一維無(wú)限方勢(shì)阱能量本征函數(shù)。歸一化 所以在時(shí)刻，波函數(shù)為 其中 是一維無(wú)限方勢(shì)阱能量本征值。 其中 坐標(biāo)的期待值為 代入 最后得到 *習(xí)題2.38： 解：（a） 體系的初始波函數(shù)為 當(dāng)右阱壁從移到后，體系的能量本征函數(shù)和本征值為 所以我們需要把用現(xiàn)在的本征函數(shù)展開 展開系數(shù)可以由傅里葉技巧求出 對(duì)能量進(jìn)行測(cè)量得到的幾率為 顯然是最可幾幾率，所以測(cè)量得到的幾率最大，注意這個(gè)能量與勢(shì)阱壁沒有移動(dòng)時(shí)的基態(tài)能量一樣。（b）所以次最可幾幾率是（c），這正是勢(shì)阱移動(dòng)前的基態(tài)能量，所以勢(shì)阱移動(dòng)前后體系的能量是一樣的，這是能量守恒的體現(xiàn)。習(xí)題2.42： 解：定態(tài)薛定諤方程在區(qū)域與諧振子的方程完全一樣，但是在處波函數(shù)必須為零，所以我們可以從諧振子的本征函數(shù)中選出滿足在處的能量本征函數(shù)函數(shù)，顯然為奇函數(shù)的滿足我們的要求，而為偶函數(shù)的不滿足要求。所以半諧振子勢(shì)的解是諧振子解中的那些解。能量本征值為 基態(tài)為的態(tài)，這比諧振子基態(tài)能量高。習(xí)題2.44： 解： 對(duì)偶函數(shù)解，在和兩個(gè)區(qū)域定態(tài)薛定諤方程的解為 其中 在處波函數(shù)連續(xù)已經(jīng)滿足，（函數(shù)勢(shì)引起）波函數(shù)導(dǎo)數(shù)躍變給出 在的邊界條件給出 由此我們得到能級(jí)滿足的方程 數(shù)值解這個(gè)超越方程（如下圖）可以得到解從圖中可以看出，解得的值略大于 而且隨著的增加越來越靠近，所以能量本征值為 此式右邊為阱寬為的無(wú)限深勢(shì)阱的能量本征值，所以在勢(shì)在勢(shì)阱中心存在的情況下，能量本征值比沒有時(shí)略有增加。當(dāng)勢(shì)的強(qiáng)度減弱（減?。瑘D中直線變得更加傾斜，將更加接近于阱寬為的無(wú)限深勢(shì)阱的能量本征值。當(dāng)勢(shì)的強(qiáng)度增加（增大），圖中直線將變