量子力學習題解答-第2章.doc

第二章定態(tài)薛定諤方程本章主要內(nèi)容概要：1. 定態(tài)薛定諤方程與定態(tài)的性質(zhì)：在勢能不顯含時間的情況下，含時薛定諤方程可以通過分離變量法來求解。首先求解定態(tài)薛定諤方程（能量本征值方程） 求解時需考慮波函數(shù)的標準條件（連續(xù)、有限、單值等）。能量本征函數(shù)具有正交歸一性（分立譜） 或函數(shù)正交歸一性（連續(xù)譜） 由能量本征函數(shù)可以得到定態(tài)波函數(shù) 定態(tài)波函數(shù)滿足含時薛定諤方程。對分立譜，定態(tài)是物理上可實現(xiàn)的態(tài)，粒子處在定態(tài)時，能量具有確定值，其它力學量（不顯含時間）的期待值不隨時間變化。對連續(xù)譜，定態(tài)不是物理上可實現(xiàn)的態(tài)（不可歸一化），但是它們可以疊加成物理上可實現(xiàn)的態(tài)。含時薛定諤方程的一般解可由定態(tài)解疊加而成，在分離譜情況下為 系數(shù)由初始波函數(shù)確定 ， 由波函數(shù)的歸一性，可以得到系數(shù)的歸一性 對態(tài)測量能量只能得到能量本征值，得到的幾率是，能量的期待值可由 求出。這種方法與用 方法等價。 2. 一維典型例子：（a）一維無限深勢阱（分立譜，束縛態(tài)） 能量本征函數(shù)和能量本征值為 若 則能量本征函數(shù)和能量本征值為 是基態(tài)（能量最低），是第一激發(fā)態(tài)。波函數(shù)相對于勢阱的中心是奇偶交替的：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，依次類推。（b）一維簡諧振子（分立譜，束縛態(tài)）： 能量本征函數(shù)和能量本征值為 其中厄米多項式，可由母函數(shù)生成 厄米多項式多項式滿足遞推關(guān)系 定義產(chǎn)生算符與湮滅算符 則有 當處于能量本征態(tài)時 （c）一維自由粒子（連續(xù)譜，散射態(tài)）： 定態(tài)薛定諤方程為 能量本征函數(shù)和本征值為 能量本征函數(shù)滿足函數(shù)正交歸一性 定態(tài)波函數(shù)為 定態(tài)不是物理上可實現(xiàn)的態(tài)（不可歸一化），它代表一個向右傳播的正弦波（）或向左傳播的正弦波（），波的傳播速度(相速度)為 盡管定態(tài)不是物理上可實現(xiàn)的態(tài)，但是定態(tài)疊加成的波包 可以是物理上可實現(xiàn)（可歸一化）的態(tài)。其中疊加系數(shù)由初始波包決定 由能量本征函數(shù)滿足函數(shù)正交歸一性 波包在空間的傳播速度稱為群速度 （d）一維函數(shù)勢阱： 函數(shù)的性質(zhì)為 在處由于函數(shù)勢的存在，波函數(shù)的導數(shù)出現(xiàn)躍變 （如果是函數(shù)勢，上式中做代換） 束縛態(tài)：只有一個束縛態(tài)，能量本征函函數(shù)和本征值為 散射態(tài)（連續(xù)譜）：定態(tài)薛定諤方程的解為 盡管散射態(tài)不是可歸一化的態(tài)，但是我們可以用它作為代表來討論入射粒子（波包）被勢反射或透射的情況。由波函數(shù)及其導數(shù)在連續(xù)和躍變條件，可以得出反射波振幅，透射波振幅與入射波振幅的關(guān)系（設，沒有從右向左入射的波）。計算出反射波幾率流密度，投射波幾率流密度，入射波幾率流密度，可以得到反射系數(shù)和透射系數(shù)。由幾率流密度定義 （三維情況為） 計算出 反射系數(shù)和透射系數(shù)之和為1. *習題2.1 證明下列三個定理解：（a） 證：假設在定態(tài)解把實數(shù)改為復數(shù)，則若在時刻，波函數(shù)是歸一化的，即 在以后時刻 所以要求在任何時候都有必須有，即必須為實數(shù)。（b）設滿足定態(tài)薛定諤方程 把這個式子取復共軛，注意到是實的，得到 顯然和是同一薛定諤方程的解，所以它們的線性疊加 或也是同一薛定諤方程的解。顯然是實函數(shù)，所以一維定態(tài)薛定諤方程的解總可以取為實函數(shù)。（c）對進行空間反演，得到如果勢能是偶函數(shù)，則有 因此和是同一薛定諤方程的解，所以它們的線性疊加 也是同一薛定諤方程的解。，所以當勢能是偶函數(shù)，定態(tài)薛定諤方程的解總可以取為有確定宇稱的解。*習題2.2 解：如果，那么和它的二次導數(shù)有同樣的符號。如果是正值，它將一直增加，這與我們，的要求不符，導致函數(shù)是不可歸一化的。如果是負值，它將一直減少（絕對值在增大），這同樣與我們，的要求不符，導致函數(shù)是不可歸一化的。我們還可以從另一個方面討論這個問題。設是定態(tài)薛定諤方程的一個歸一化解，我們有 在經(jīng)典力學中我們同樣有，一個粒子在一個勢場中運動，它的總能量為動能加勢能，因為動能，所以總能勢能勢能最小值。如果總能勢能最小值，將意味著動能為負值，這顯然是不可能的。在量子力學中，如果，則意味著動能的期待值為負值，或的期待值為負值。這對歸一化的解是不可能的。 *習題2.5解：(a) 利用哈密頓本征函數(shù)的正交歸一性 所以 (b) 代入 并令 (c) 時 完成積分得到 (以為中心的振蕩)（d）由動量期待值與坐標期待值之間的關(guān)系（e）對測量能量，得到的幾率為1/2,得到的幾率為1/2.，這個幾率同時刻是一樣的，也就是說不隨時間變化，這是能量守恒的體現(xiàn)。為什么會隨時間變化,而不隨時間變化?因為是哈密頓算苻的本征函數(shù), , 干涉項由于本征函數(shù)的正交性,結(jié)果為零。但是對算苻,干涉項一般不為零 (與, 與一般不會正交)*習題2.7 解：（a）的圖形為歸一化波函數(shù) 所以 （b）一維無限深勢阱的定態(tài)波函數(shù)為 把初始波函數(shù)用定態(tài)展開 其中展開系數(shù)為 利用積分公式 可以求出 所以 （）測量能量得到結(jié)果為的幾率是（d）其中利用了級數(shù)求和公式（這些公式可由函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式得到，可在數(shù)學手冊上查到） 習題.解：（a）初始波函數(shù)為 歸一化 所以 （b）一維無限深勢阱的定態(tài)波函數(shù)為 把初始波函數(shù)用定態(tài)展開 其中展開系數(shù)為 所以測量能量得到基態(tài)的幾率為*習題 2.12 解：由 ， 習題 2.13 解：（a）歸一化 所以 （b） 其中 是諧振子基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的能量。 （c） 利用 ， 或者 由Ehrenfests定理 代入諧振子勢能，及，有 顯然滿足Ehrenfests定理如果用替代，則有 其中，重復上面的計算，有顯然此時，仍然滿足（也必須滿足）。討論：當不同的諧振子定態(tài)疊加時，只有疊加態(tài)中有相鄰態(tài)時，即有態(tài)時，必須還有態(tài)，才會以的形式震蕩。（d）測量能量得到的幾率是，得到的幾率是。習題 2.14 解：本題其實就是以經(jīng)典頻率為的基態(tài)為體系的初始態(tài)，體系的哈密頓為 能量本征函數(shù)為 能量本征值為 含時薛定諤方程的一般解為 當時， 顯然對測量能量，不可能得到，因為現(xiàn)在的能量本征態(tài)中，沒有這個本征值，所以測量能量得到的幾率為零?，F(xiàn)在體系基態(tài)的能量為，所以測量能量得到的幾率是，由 代入 （注意在時刻，體系的能量期待值不是，因為體系的哈密頓是頻率為的諧振子哈密頓。） 習題2.19 解：把 代入 得到 顯然，幾率流是朝正方向，即波的傳播方向流動。*習題2.27 解：（a）（a） 對束縛態(tài)必須有，解薛定諤方程： 其解為 其中 并且已經(jīng)利用了波函數(shù)在時應為有限的條件。 波函數(shù)在處必須連續(xù)，我們有 但是由于此處勢能為無限大，所以波函數(shù)的導數(shù)是不連續(xù)的，波函數(shù)導數(shù)的躍變可以由薛定諤方程求出。在處，由積分 得到 其中 為波函數(shù)導數(shù)在處的躍變。同樣可以求得波函數(shù)導數(shù)在處的躍變?yōu)?所以 與 一起整理得到 其中 這個以為未知數(shù)的方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式為零，即 得到 這個方程可以表示為 所以我們有兩個解（單d勢阱時有一個解，雙d勢阱時有兩個解，你可以推論當有N個d勢阱時，應該有N個解） 對 得到滿足的方程為 數(shù)值解這兩個方程（注意）得到 所以能量為 注意當取時，單d勢阱的能量為，所以雙阱時的兩個能量本征值，一個比單阱時大，一個比單阱時低。 對情況，滿足的方程為 數(shù)值解為 所以能量為 但是的解，不符合波函數(shù)必須歸一化的要求（在這種情況下，波函數(shù)在三個區(qū)間都是常數(shù)，積分為無限大，或者說不符合我們開始要求的束縛態(tài)的要求。）所以現(xiàn)在我們只有一個解。下面求出兩種情況下的波函數(shù)。首先把所有的系數(shù)都用表示，可以解出 對，滿足的解，有 所以波函數(shù)為 可以看出這是一個偶函數(shù)。歸一化 積分得到解出 這個波函數(shù)的圖形為對，滿足的解，有所以波函數(shù)為 可以看出這是一個奇函數(shù)。歸一化 積分得到解出 這個波函數(shù)的圖形為 對情況， （我們也只需考慮這種情況），我們得到 所以波函數(shù)為是偶函數(shù)。除了能量與時不同外，形式上這個波函數(shù)與時，能量為的波函數(shù)一樣。（b） *習題2.34： 解: (a) 對情況，定態(tài)薛定諤方程的解為 其中 并且我們已經(jīng)假設在僅有透射波。由波函數(shù)及其導數(shù)在處的連續(xù)條件 消去F得到 反射系數(shù)為 （b）對于情況，定態(tài)薛定諤方程的解為 其中 由波函數(shù)及其導數(shù)在處的連續(xù)條件 消去F得到 反射系數(shù)為 （a） 由于右邊透射波區(qū)域勢能與左邊入射波區(qū)域不一樣，所以透射系數(shù)不能簡單地用，而應該用透射波幾率流密度比上入射波幾率流密度。其中幾率流密度的定義為（一維情況） 對于情況，代入入射波，透射波，我們得到 所以 即除了振幅之比外，還有波矢之比出現(xiàn)。對于，代入透射波，可以求出（透射波是指數(shù)衰減波，它不能傳到無限遠處，透射波是實函數(shù)，幾率流密度公式中的兩項相互抵消），所以。（d）對于情況，我們可以求出， 所以 對于，所以反射系數(shù)在這種情況下等于1。 習題2.37： 解：利用三角公式 其中 是一維無限方勢阱能量本征函數(shù)。歸一化 所以在時刻，波函數(shù)為 其中 是一維無限方勢阱能量本征值。 其中 坐標的期待值為 代入 最后得到 *習題2.38： 解：（a） 體系的初始波函數(shù)為 當右阱壁從移到后，體系的能量本征函數(shù)和本征值為 所以我們需要把用現(xiàn)在的本征函數(shù)展開 展開系數(shù)可以由傅里葉技巧求出 對能量進行測量得到的幾率為 顯然是最可幾幾率，所以測量得到的幾率最大，注意這個能量與勢阱壁沒有移動時的基態(tài)能量一樣。（b）所以次最可幾幾率是（c），這正是勢阱移動前的基態(tài)能量，所以勢阱移動前后體系的能量是一樣的，這是能量守恒的體現(xiàn)。習題2.42： 解：定態(tài)薛定諤方程在區(qū)域與諧振子的方程完全一樣，但是在處波函數(shù)必須為零，所以我們可以從諧振子的本征函數(shù)中選出滿足在處的能量本征函數(shù)函數(shù)，顯然為奇函數(shù)的滿足我們的要求，而為偶函數(shù)的不滿足要求。所以半諧振子勢的解是諧振子解中的那些解。能量本征值為 基態(tài)為的態(tài)，這比諧振子基態(tài)能量高。習題2.44： 解： 對偶函數(shù)解，在和兩個區(qū)域定態(tài)薛定諤方程的解為 其中 在處波函數(shù)連續(xù)已經(jīng)滿足，（函數(shù)勢引起）波函數(shù)導數(shù)躍變給出 在的邊界條件給出 由此我們得到能級滿足的方程 數(shù)值解這個超越方程（如下圖）可以得到解從圖中可以看出，解得的值略大于 而且隨著的增加越來越靠近，所以能量本征值為 此式右邊為阱寬為的無限深勢阱的能量本征值，所以在勢在勢阱中心存在的情況下，能量本征值比沒有時略有增加。當勢的強度減弱（減?。?，圖中直線變得更加傾斜，將更加接近于阱寬為的無限深勢阱的能量本征值。當勢的強度增加（增大），圖中直線將變