2013屆萬學(xué)公共課學(xué)員6月份模擬測試題(數(shù)一答案).pdf

1 2013 屆萬學(xué)公共課學(xué)員屆萬學(xué)公共課學(xué)員 6 月份模擬測試題答案月份模擬測試題答案 數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)一 答題注意事項(xiàng)答題注意事項(xiàng) 1 考試要求考試要求 考試時間考試時間 180 分鐘分鐘 滿分滿分 150 分分 2 基本信息基本信息 學(xué)員姓名學(xué)員姓名 分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù) 2 一 選擇題一 選擇題 本題共 8 小題 每小題 4 分 滿分 32 分 每小題給出的四個選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)符合題目要求 把所選 項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi) 1 設(shè) 56 1 cos 2 0 sin 56 x xx f xt dt g x 則當(dāng)0 x 時 f x是 g x的 A 低階無窮小 B 等價無窮小 C 高階無窮小 D 同階但不等價的無窮小 答案 C 解析 1 cos 2 2 0 5645 000 sin sin 1 cos sin limlimlim 56 x xxx t dt f xxx xxg xxx 洛 2 2 2 4545 000 11 1 cos 24 limlimlim0 1 xxx xxx xx xxxxx 等等 2 設(shè)函數(shù) 2 1 lim 1 n n x f x x 討論函數(shù) f x的間斷點(diǎn) 其結(jié)論為 A 存在間斷點(diǎn)1x B 存在間斷點(diǎn)1x C 存在間斷點(diǎn)0 x D 不存在間斷點(diǎn) 答案 A 解析 應(yīng)選 A 當(dāng)1x 時 2 1 lim0 1 n n x f x x 當(dāng)1x 時 1 f x 當(dāng)1x 時 0 f x 當(dāng)1x 時 1f xx 所以 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 x x f xxx x x 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 可見1x 為 f x的間斷點(diǎn) 選 A 3 已知函數(shù) yf x 對一切x滿足 2 3 1 x xfxx fxe 若 00 0 0 f xx 則 A 0 f x是 f x的極大值 B 0 f x是 f x的極小值 C 點(diǎn) 00 xf x是曲線 yf x 的拐點(diǎn) D 0 f x不是 f x的極值 點(diǎn) 00 xf x也不是曲線 yf x 的拐點(diǎn) 答案 B 解析 00 2 000 00 11 13 1 xx fxexfxe xx 因?yàn)?0 1 x e 與 0 x同號 故 0 0fx 所以 0 f x是 3 f x的極小值 又因?yàn)?0 0fx 所以點(diǎn) 00 xf x不是曲線 yf x 的拐點(diǎn) 從而知應(yīng)選 B 4 設(shè)有下列命題 若 1 212 n nn uu收斂 則 1n n u收斂 若 1n n u收斂 則 1 1000 n n u收斂 若1lim 1 n n nu u 則 1n n u發(fā)散 若 1 n nn vu收斂 則 1n n u 1n n v都收斂 則以上命題中正確的是 A B C D 答案 A 解析 是錯誤的 如令 n n u 1 顯然 1n n u發(fā)散 而 1 212 n nn uu收斂 是正確的 因?yàn)楦淖?增加或減少級數(shù)的有限項(xiàng) 不改變級數(shù)的收斂性 是正確的 因?yàn)橛?lim 1 n n nu u 可得到 n u不趨向于零 n 所以 1n n u發(fā)散 是錯誤的 如令 n v n u nn 1 1 顯然 1n n u 1n n v都發(fā)散 而 1 n nn vu收斂 故選 A 5 設(shè) s 21 均為n維向量 下列結(jié)論不正確 的是 A 若對于任意一組不全為零的數(shù) s kkk 21 都有0 2211 ss kkk 則 s 21 線性無關(guān) B s 21 線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s C 若 s 21 線性相關(guān) 則對于任意一組不全為零的數(shù) s kkk 21 都有 0 2211 ss kkk D s 21 線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個向量線性無關(guān) 答案 C 解析 A 若對于任意一組不全為零的數(shù) s kkk 21 都有0 2211 ss kkk 則 s 21 必線性無關(guān) 因?yàn)槿?s 21 線性相關(guān) 則存在一組不全為零的數(shù) s kkk 21 使得 0 2211 ss kkk 矛盾 可見 A 成立 4 B s 21 線性無關(guān) 則此向量組的秩為s 反過來 若向量組 s 21 的秩為s 則 s 21 線性無關(guān) 因此 B 成立 C 若 s 21 線性相關(guān) 則存在一組 而不是對任意一組不全為零的數(shù) s kkk 21 都有 0 2211 ss kkk C 不成立 D s 21 線性無關(guān) 則其任一部分組線性無關(guān) 當(dāng)然其中任意兩個向量線性無關(guān) 可見 D 也成 立 綜上所述 應(yīng)選 C 6 設(shè) A B為n階矩陣 且A與B相似 E為n階單位矩陣 則 A EAEB B A與B有相同的特征值和特征向量 C A與B都相似于一個對角矩陣 D 對任意常數(shù)t tEA 與tEB 相似 答案 D 解析 A相似于B 則存在可逆陣 使 1 P APB 則 111 PtEA PP tEPP APtEB 則tEA 相似于tEB 選 D 7 設(shè)隨機(jī)變量 1 01 1 2 111 424 i Xi 且滿足 12 0 1P X X 則 12 P XX 等于 A 0 B 1 4 C 1 2 D 1 答案 A 解析 由下表 1 加上 12 0 0P X X 得表 2 表 1 表 2 1 X 2 X 1 0 1 1 1 4 0 1 2 1 1 4 1 4 1 2 1 4 再由邊緣分布得 1 X 2 X 1 0 1 1 0 0 1 4 0 1 2 1 0 0 1 4 1 4 1 2 1 4 5 所以 12 P XX 0 選 A 8 設(shè)X是一隨機(jī)變量 2 0E XD X 常數(shù) 則對任意常數(shù)c必有 A 222 E XcE Xc B 22 E XcE X C 22 E XcE X D 22 E XcE X 答案 D 解析 選項(xiàng) A 顯然不對 因?yàn)?2222222 2 2 E XcE XcXcE XcE XcE Xc 選項(xiàng) B 也不可能 事實(shí)上 22 22 222 2 E XcE Xc E XE XcEc E XEcE X 故應(yīng)選 D 二 填空題二 填空題 本小題共 6 小題 每小題 4 分 滿分 24 分 把答案填在題中橫線上 9 設(shè) 2 1 ln 1 x y x 則 0 x y 答案 0 3 2 x y 解析 2 2 11 ln ln 1 ln 1 12 x yxx x 2 112 211 x y xx 2 22 2 1112 2 2 1 1 xxx y xx 所以 13 0 1 2 22 y 2 X 1 X 1 0 1 1 0 1 4 0 1 4 0 1 4 0 1 4 1 2 1 0 1 4 0 1 4 1 4 1 2 1 4 6 10 設(shè) f x有一個原函數(shù) sin x x 則 2 xfx dx 答案 4 1 解析 由題設(shè)知 sin x f x x 從而 2 222 22 cossinsin 224 11 xfx dxxdf xxf xf x dx xxxx xx 11 曲線 1 ln 0 yxex x 的漸近線方程為 答案 1 yx e 解析 鉛直漸近線 看是否存在 0 x 使 0 lim xx y x 或 0 lim xx y x 由于0 x 所以 0 x只可能是 0 因?yàn)?0 1 limln 0 x xe x 故無鉛直漸進(jìn)線 又因 1 lim limln xx y xxe x 故無水平漸近線 再考慮斜漸近線 1 limlim ln 1 xx y x e xx 1 lim lim ln 1 xx y xxxe x 命 1 u x 從而 000 ln 1 1ln 1 ln 11 lim limlimlim x uuu uu e eu ee y xx uuue 所以有且僅有一條漸 近線 為斜漸近線 1 yx e 12 2 0 48 dx xx 答案 8 解析 222 00 0 12 limlimarctan 482 2 22 b b bb dxdxx xxx 121 lim arctanarctan1 222488 b b 13 設(shè) 101 020 101 A 而2n 為正整數(shù) 則 1 2 nn AA 7 答案 000 000 000 解析 2 101101202 0200200402 101101202 AA 故有 122 000 2 2 000 000 nnn AAAAA 14 設(shè)隨機(jī)變量XY和相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布 2 0 3 N 而 19 XX和 19 YY分別是來自總體 XY和的簡單隨機(jī)樣本 則統(tǒng)計(jì)量 19 22 19 XX U YY 服從 分布 參數(shù)為 答案 服從t分布 參數(shù)為9 解析 令 1 2 9 33 ii ii XY XYi 則 0 1 0 1 ii XNYN 記 129 XXXX 222 129 YYYY 顯然 0 1 3 X N 2 9 Y 且 X 與 Y 獨(dú)立 因 此 19 2222 19 3 9 9 X XXX Ut YYYY 三 解答題三 解答題 本題共 9 小題 滿分 94 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 15 本小題滿分 9 分 設(shè) uf x y z 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) yy x zz x 分別由方程0 xy ey 和0 z exz 所確定 求 du dx 解析 由復(fù)合函數(shù)求 偏 導(dǎo)數(shù)公式 有 123 dudydz fff dxdxdx 2 分 再由0 xy ey 兩邊對x求導(dǎo)數(shù) 有 0 xy dydy exy dxdx 解得 2 11 xy xy dyyey dxxexy 或 5 分 又由0 z exz 兩邊對x求導(dǎo)數(shù) 有 0 zdz dz exz dxdx 解得 z dzzz dxexxzx 或 7 分 代入 du dx 的式子中 得 2 123 1 duyz fff dxxyxzx 9 分 16 本小題滿分 11 分 求二重積分 22 1 2 1 xy D yxedxdy 的值 其中D是由直線yx 11yx 及圍成的平面區(qū)域 解析 首先畫出積分區(qū)域 2222 11 22 1 xyxy DDD yxedxdyydxdyxyedxdy 其中 2 分 8 11 2 1 111 12 1 23 x D Iydxdydxydyxdx 5 分 2222 2222 2 2 11 1 22 2 11 1111 11 2222 111 1 1 1 22 1 0 xyxxy D x xxyxy x x Ixyedxdydxxyedy xedxyedyxeedx xexe edx 11 分 其中最后一步由于被積函數(shù)為x的奇函數(shù) 在對稱區(qū)間上積分 其值為 0 所以所求積分 22 1 2 2 1 3 xy D yxedxdy 17 本小題滿分 9 分 設(shè)級數(shù) 468 2 42 4 62 4 6 8 xxx x 的和函數(shù)為 S x 求 I S x所滿足的一階微分方程 II S x的表達(dá)式 解析 I 由 468 2 42 4 62 4 6 8 xxx S xx 兩邊對x求導(dǎo) 得 357 2 22 42 4 6 2 xxx Sxx x xS x 3 分 所以 S x滿足下述一階線性微分方程及相應(yīng)的初始條件 3 0 0 2 x S xxS xS 4 分 II 求一階微分方程 3 2 x yxy 并滿足 0 0y 的解 由通解公式 22 2 33 22 2 2 22 1 2 xx xdxxdx x xx yeedxCeedxC x Ce 7 分 9 滿足初始條件 0 0y 的解為 2 2 2 1 2 x x ye 8 分 另一方面 由 I 知 II 的 S x也滿足此微分方程及初始條件 0 0S 因此和函數(shù) 2 2 2 1 2 x x S xe 9 分 18 本小題滿分 10 分 設(shè) f x在 a b上連續(xù) 在 a b內(nèi)可導(dǎo) 且 1f af b 試證存在 a b 使得 1eff 證明證明 將要證的式子改寫成為 effe 2 分 左邊是 x x e f x 想到用拉格朗日中值定理 存在 a b 使 ba x x e f be f a e f xeff ba 7 分 但 1f af b 所以上式左邊為 ba x x ee ee ba 拉 于是存在 a b 使 1eff 10 分 19 本小題滿分 13 分 利用高斯公式計(jì)算曲面積分 222 coscoscos xyzdS 其中 為錐面 222 xyz 介于平 面0z 及 0 zh h 之間的部分的下側(cè) cos cos cos 是 在點(diǎn) x y z處的法向量的方向余弦 解析 添加輔助面 1 為 222 zh xyh 的上側(cè) 則 1 與一起構(gòu)成一個封閉曲面 記它們圍成的空間閉 區(qū)域?yàn)?2 分 利用高斯公式 便得 1 22 222 coscoscos 2 2 xy h xy D xyzdS xyz dv dxdyxyz dz 6 分 10 其中 222 xy Dx yxyh 由積分的奇偶性和對稱性 知 22 0 xy h xy D dxdyxy dz 8 分 即得 1 2222224 1 coscoscos 2 xy D xyzdShxy dxdyh 10 分 而 11 222224 coscoscos xy D xyzdSz dSh dxdyh 12 分 因此 222444 11 coscoscos 22 xyzdShhh 13 分 20 本小題滿分 11 分 取何值時 方程組 123 123 123 21 2 4551 xxx xxx xxx 無解 有唯一解或有無窮多解 并在有無窮多解時 寫出方程組 的通解 解析 方法 1 對原方程組的增廣矩陣作初等行變換 211211 1122103 455165506 A b 211 2103 54009 2 分 當(dāng) 4 5 且1 時 3r Ar A b 原方程組有唯一解 4分 當(dāng) 4 5 時 2 3r Ar A b 原方程組無解 6 分 當(dāng)1 時 原方程組的同解方程組為 123 1 1 21 33 99 xxx x x 8 分 原方程組有無窮多解 其通解為 1 2 3 1 1 x xk xk k是任意常數(shù) 11 分 方法 2 原方程組系數(shù)矩陣的行列式 11 2121 1110 1 54 455450 A 2 分 故知當(dāng) 4 5 且1 時 原方程組有唯一解 4 分 當(dāng) 4 5 時 對原方程組的增廣矩陣作初等行變換 得 4 211 5 1045510455 4 1124551045510 5 45510009 4551 r Ar A b 原方程組無解 6 分 1 時 對原方程組的增廣矩陣作初等行變換 得 211111121112 111203330111 455109990000 8 分 原方程組有無窮多解 其通解為 1 2 3 1 1 x xk xk k是任意常數(shù) 11 分 21 本小題滿分 10 分 設(shè)A為三階實(shí)對稱矩陣 且滿足條件 2 20AA 已知A的秩為 2r A 求 I 求A的全部特征值 II 當(dāng)k為何值時 矩陣AkE 為正定矩陣 其中E為三階單位矩陣 解析 I 設(shè) 是A的任一特征值 是A的屬于 的特征向量 即 0A 兩邊左乘A 得 22 AA 上式相加得 22 2 2 AA 因 2 20AA 0 從而 2 20 故A的特征值 的取值 0 2 2 分 因A為三階實(shí)對稱矩陣 必相似于對角陣 且 2 r Ar 故 2 2 0 A 4 分 12 即A有特征值 0 2 二重 5 分 II AkE 是實(shí)對稱陣 由 1 知AkE 的特征值為2 2 kkk 7 分 20 0 k AkE k 正定 9 分 故當(dāng)2k 時 AkE 是正定矩陣 10 分 22 本小題滿分 11 分 設(shè)隨機(jī)變量 X Y相互獨(dú)立 其概率密度函數(shù)分別為 1 01 0 X x fx 其他 0 0 0 y Y ey fy y 求2ZXY 的概率密度函數(shù) 解析 由于 X Y相互獨(dú)立 所以 X Y的聯(lián)合概率密度函數(shù) 01 0 0 y XY exy f x yfx fy 其他 2 分 因此隨機(jī)變量Z的分布函數(shù)為 2 2 z x y z F zP ZzPXYzf x y dxdy 3 分 當(dāng)0 2 z 即0z 時 0 z F z 4 分 當(dāng)01 2 z 即02z 時 2 2 22 000 2 2