2008年上海市普通高等學校春季招生考試---數(shù)學試卷.pdf

上海市教育考試院保留版權保留版權數(shù)學 2008 春 第 1頁 共 16頁 2008 年上海市普通高等學校春季招生考試 數(shù)學試卷 考生注意 考生注意 1 答卷前 考生務必將姓名 高考座位號 校驗碼等填寫清楚 答卷前 考生務必將姓名 高考座位號 校驗碼等填寫清楚 2 本試卷共有 本試卷共有 22 道試題 滿分道試題 滿分 150 分 考試時間分 考試時間 120 分鐘 一 分鐘 一 填空題 本大題滿分填空題 本大題滿分 48 分 本大題共有分 本大題共有 12 題 只要求直接 填寫結果 每題填對得 題 只要求直接 填寫結果 每題填對得 4 分 否則一律得零分分 否則一律得零分 1 已知集合 1Ax x 或 23x 24Bxx 則AB 2 計算 1 31 lim 32 n nn n 3 函數(shù) 2 6 1 xx f x x 的定義域是 4 方程2cos1 4 x 在區(qū)間 0 內(nèi)的解是 5 已知數(shù)列 n a是公差不為零的等差數(shù)列 1 1a 若 125 aaa 成等比數(shù)列 則 n a 6 化簡 cossin 36 7 已知P是雙曲線 22 2 1 9 xy a 右支上的一點 雙曲線的一條漸近線方程為30 xy 設 12 FF 分別為雙曲線的左 右焦點 若 2 3PF 則 1 PF 8 已知一個凸多面體共有 9 個面 所有棱長均為 1 其平面展開圖 如右圖所示 則該凸多面體的體積V 9 已知無窮數(shù)列 n a前n項和 1 1 3 nn Sa 則數(shù)列 n a的各項和為 得分評 卷 人 得分評 卷 人 o y x bnbn 1b2b3b1 a3 a2 a1 an 1 an 10 古代 五行 學說認為 物質(zhì)分金 木 土 水 火五種屬性 金克木 木克土 土 克水 水克火 火克金 將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列 設事件A表示 排列 中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰 則事件A出現(xiàn)的概率是 結果用數(shù)值表示 11 已知 12 n a aa 12 n b bb n是正整數(shù) 令 112n Lbbb 223 Lbb n b nn Lb 某人用右圖分析得到恒等式 1 122nn aba ba b 112233 a Lc Lc L kk c L nn c L 則 k c 2 kn 12 已知 1 2 3 4 AB 直線 1 l 2 0 0 xly 和 3 lx 3y10 設 i P是 i l 1 2 3 i 上與A B兩點距離平方和最小的點 則 123 PP P的面積是 二 選擇題 本大題滿分二 選擇題 本大題滿分 16 分 本大題共有分 本大題共有 4 題 每題都給出 四個結論 其中有且只有一個結論是正確的 必須把正確結論 的代號寫在題后的圓括號內(nèi) 選對得 題 每題都給出 四個結論 其中有且只有一個結論是正確的 必須把正確結論 的代號寫在題后的圓括號內(nèi) 選對得 4 分 否則一律得零分分 否則一律得零分 13 已知向量 2 3 3 ab 若 ab 則 等于 答 A 2 3 B 2 C 9 2 D 2 3 14 已知橢圓 22 1 102 xy mm 長軸在y軸上 若焦距為4 則m等于 答 A 4 B 5 C 7 D 8 15 已知函數(shù) f xg x 定義在R上 h xf xg x 則 f xg x 均為奇函 數(shù) 是 h x為偶函數(shù) 的 答 A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件 16 已知Cz 且22i1 iz 為虛數(shù)單位 則22iz 的最小值是 答 A 2 B 3 C 4 D 5 三 解答題 本大題滿分三 解答題 本大題滿分 86 分 本大題共有分 本大題共有 6 題 解答下列各題必須寫出必要的步驟題 解答下列各題必須寫出必要的步驟 17 本題滿分 本題滿分 12 分 分 已知 2 cos 32 求 2cos sin2sin 的值 解 得分評 卷 人 18 本題滿分 本題滿分 12 分 分 在平面直角坐標系xOy中 AB 分別為直線2xy 與xy 軸的交點 C為AB的 中點 若拋物線 2 2 0 ypxp 過點C 求焦點F到直線AB的距離 解 得分評 卷 人 19 本題滿分 本題滿分 14 分 本題共有分 本題共有 2 個小題 第個小題 第 1 小題滿分小題滿分 6 分 第 分 第 2 小題滿分小題滿分 8 分 分 已知函數(shù) 2 log21 x f x 1 求證 函數(shù) f x在 內(nèi)單調(diào)遞增 2 記 1 fx為函數(shù) f x的反函數(shù) 若關于x的方程 1 fxmf x 在 1 2 上有 解 求m的取值范圍 證明 1 解 2 得分評 卷 人 20 本題滿分 本題滿分 14 分 本題共有分 本題共有 2 個小題 第個小題 第 1 小題滿分小題滿分 6 分 第 分 第 2 小題滿分小題滿分 8 分 分 某廠根據(jù)市場需求開發(fā)折疊式小凳 如圖所示 凳面為三角形的尼龍布 凳腳為三 根細鋼管 考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素 設計小凳應滿足 凳子高度為 30cm 三根細鋼管相交處的節(jié)點O與凳面三角形 ABC重心的連線垂直于凳面和地面 1 若凳面是邊長為20cm的正三角形 三只凳腳與地 面所成的角均為45 確定節(jié)點O分細鋼管上下兩段的比 值 精確到0 01 2 若凳面是頂角為120 的等腰三角形 腰長為24cm 節(jié)點O分細鋼管上下兩段之比為2 3 確定三根細鋼管 的長度 精確到0 1cm 解 1 2 得分評 卷 人 A B C O 21 本題滿分 本題滿分 16 分 本題共有分 本題共有 3 個小題 第個小題 第 1 小題滿分小題滿分 3 分 第 分 第 2 小題滿分小題滿分 5 分 第分 第 3 小題滿分小題滿分 8 分 分 在直角坐標平面xOy上的一列點 1122 1 2 AaAa nn A n a 簡記為 n A 若由 1nnn bA Aj 構成的數(shù)列 n b滿足 1 1 2 nn bbn 其中j 為方 向與y軸正方向相同的單位向量 則稱 n A為T點列 1 判斷 123 11 1 1 2 3 23 AAA 1 n An n 是否為T點 列 并說明理由 2 若 n A為T點列 且點 2 A在點 1 A的右上方 任取其中連續(xù)三點 1kk AA 2k A 判斷 12kkk A AA 的形狀 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 并予以證明 3 若 n A為T點列 正整數(shù)1mnpq 滿足mqnp 求證 nqmp A AjA Aj 解 1 2 得分評 卷 人 證明 3 22 本題滿分 本題滿分 18 分 本題共有分 本題共有 3 個小題 第個小題 第 1 小題滿分小題滿分 4 分 第 分 第 2 小題滿分小題滿分 6 分 第分 第 3 小題滿分小題滿分 8 分 分 已知z是實系數(shù)方程 2 20 xbxc 的虛根 記它在直角坐標平面上的對應點為 Re Im z Pzz 1 若 b c在直線20 xy 上 求證 z P在圓 1 C 22 1 1xy 上 2 給定圓C 222 xmyr Rmr 0r 則存在唯一的線段s滿足 若 z P在圓C上 則 b c在線段s上 若 b c是線段s上一點 非端點 則 z P在 圓C上 寫出線段s的表達式 并說明理由 3 由 2 知線段s與圓C之間確定了一種對應關系 通過這種對應關系的研究 填寫 表一 表中 1 s是 1 中圓 1 C的對應線段 證明 1 解 2 得分評 卷 人 3 表一 線段線段s與線段與線段 1 s的關系 的關系mr 的取值或表達式的取值或表達式 s所在直線平行于1 s 所在直線 s所在直線平分線段 1 s 線段s與線段 1 s長度相等 2008 年上海市普通高等學校春季招生考試 數(shù) 學 試 卷 參考答案及評分標準 說明說明 1 本解答列出試題的一種或幾種解法 如果考生的解法與所列解法不同本解答列出試題的一種或幾種解法 如果考生的解法與所列解法不同 可參照解答 中評分標準的精神進行評分 可參照解答 中評分標準的精神進行評分 2 評閱試卷 應堅持每題評閱到底 不要因為考生的解答中出現(xiàn)錯誤而中斷對該題的 評閱 評閱試卷 應堅持每題評閱到底 不要因為考生的解答中出現(xiàn)錯誤而中斷對該題的 評閱 當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤 影響了后繼部分 但該步以后的解答未改變這一 題的內(nèi)容和難度時 可視影響程度決定后面部分的給分 這時原則上不應超過后面部分應 給分數(shù)之半 如果有較嚴重的概念性錯誤 就不給分 當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤 影響了后繼部分 但該步以后的解答未改變這一 題的內(nèi)容和難度時 可視影響程度決定后面部分的給分 這時原則上不應超過后面部分應 給分數(shù)之半 如果有較嚴重的概念性錯誤 就不給分 3 第第 17 題至第題至第 22 題中右端所注的分數(shù) 表示考生正確做到這一步應得的該題累加分 數(shù) 題中右端所注的分數(shù) 表示考生正確做到這一步應得的該題累加分 數(shù) 4 給分或扣分均以給分或扣分均以 1 分為單位分為單位 答案及評分標準答案及評分標準 一 第一 第 1 至至 12 題 每一題正確的給題 每一題正確的給 4 分 否則一律得零分分 否則一律得零分 1 4x x 2 1 3 3 2 1 1 3 4 7 12 x 5 21 n an 6 cos 7 5 8 2 1 6 9 1 10 1 12 11 1kk aa 12 3 2 二 第二 第 13 至至 16 題 每一題正確的給題 每一題正確的給 4 分 否則一律得零分分 否則一律得零分 題號13141516 代號CDAB 三 第三 第 17 至至 22 題 題 17 解 原式 2cos 2sincossin 2 分 2 1 cossin sincoscos 5 分 又 2 cos 32 27 sin1 93 9 分 2cos14 sin2sin2 12 分 18 解 由已知可得 2 0 0 2 1 1 ABC 3 分 解得拋物線方程為 2 yx 6 分 于是焦點 1 0 4 F 9 分 點F到直線AB的距離為 1 02 7 24 82 12 分 19 證明 1 任取 12 xx 則 1 12 2 12222 21 log21log21log 21 x xx x f xf x 12 12 02121 xx xx 11 22 2 2121 01 log0 2121 xx xx 12 f xf x 即函數(shù) f x在 內(nèi)單調(diào)遞增 6 分 解 2 1 2 log21 0 x fxx 9 分 解法一 1 mfxf x 22 log21log21 xx 22 212 loglog1 2121 x xx 11 分 當12x 時 222123 1 52133215 xx m 的取值范圍是 22 13 log log 35 14 分 解法二 解方程 22 log21log21 xx m 得 2 21 log 1 2 m m x 11 分 2 21 12 1log2 12 m m x 解得 22 13 loglog 35 m m 的取值范圍是 22 13 log log 35 14 分 20 解 1 設 ABC的重心為H 連結OH 由題意可得 20 3 3 BH 設細鋼管上下兩段之比為 已知凳子高度為30 則 30 1 OH 3 分 節(jié)點O與凳面三角形ABC重心的連線與地面垂直 且凳面與地面平行 OBH 就是OB與平面ABC所成的角 亦即 45OBH C B A H O C B A 3020 3 13 BHOH 解得 2 3 0 63 92 3 6 分 即節(jié)點O分細鋼管上下兩段的比值約為0 63 2 設120 24BABBC 24 3AC 設 ABC的重心為H 則8 8 7BHAH 10 分 由節(jié)點O分細鋼管上下兩段之比為2 3 可知12OH 設過點ABC 的細鋼管分別為AABBCC 則 22 55 10 3760 8 22 AACCOAOHAH 22 55 10 1336 1 22 BBOBOHBH 對 應于ABC 三 點的 三根 細鋼 管 長度 分別 為60 8cm 36 1cm和 60 8cm 14 分 21 解 1 1 n a n 111 1 1 n b nnn n 顯然有 1nn bb n A是T點列 3 分 2 在 12kkk A AA 中 111221 1 1 kkkkkkkk AAaaAAaa 112211 1 kkkkkkkk AAAAaaaa 5 分 點 2 A在點 1 A的右上方 121 0baa n A 為T點列 1 0 n bb 2111 0 kkkkkk aaaabb 則 112 0 kkkk AAAA 12kkk A AA 為鈍角 12kkk A AA 為鈍角三角形 8 分 3 證明 1 mnpqmqnp 0qpnm 1121qpqqqqpp aaaaaaaa 12 qqpp bbbqp b 同理 nm aa 121 nnmn bbbnm b 12 分 由于 n A為T點列 于是 1pn bb 由 可推得 qpnm aaaa 15 分 qnpm aaaa 即 nqmp A AjA Aj 16 分 22 證明 1 由題意可得20bc 解方程 2 220 xbxb 得 2 2izbbb 2 分 點 2 2 z Pbbb 或 2 2 z Pbbb 將點 z P代入圓 1 C的方程 等號成立 z P在圓 1 C 22 1 1xy 上 4 分 2 解法一 當0 即 2 bc 時 解得 2i zbcb 點 2 z Pbcb 或 2 z Pbcb 由題意可得 222 bmcbr 整理后得 22 2cmbrm 6 分 2 40bc 222 bmcbr bmrmr 線段s為 22 2cmbrm bmrmr 若 b c是線段s上一點 非端點 則實系