橢 圓習(xí)題精選精講.doc

橢 圓習(xí)題精選精講（1）第一定義把橢圓從圓中分離橢圓從圓（壓縮）變形而來，從而使得橢圓與圓相關(guān)而又相異. 它從圓中帶來了中心和定長，但又產(chǎn)生了2個新的定點焦點. 準(zhǔn)確、完整地掌握橢圓的定義，是學(xué)好橢圓、并進而學(xué)好圓錐曲線理論的基礎(chǔ).【例1】 若點M到兩定點F1（0，-1），F(xiàn)2（0，1）的距離之和為2，則點M的軌跡是 （ ）.橢圓 .直線 .線段 .線段的中垂線.【解析】注意到且故點M只能在線段上運動，即點M的軌跡就是線段，選C.【評注】橢圓的定義中有一個隱含條件，那就是動點到兩定點的距離之和必須大于兩定點間的距離.忽視這一點，就會錯誤地選A.（2）勾股數(shù)組橢圓方程的幾何特征橢圓的長、短半軸a、b和半焦距c，滿足a2=b2+c2.在a、b、c三個參數(shù)中，只要已知或求出其中的任意兩個，便可以求出第3個，繼而寫出橢圓方程和它的一切特征數(shù)值.橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式有明顯的幾何特征，這個幾何特征就反映在這個勾股數(shù)組上. 所謂解橢圓說到底是解這個勾股數(shù)組.【例2】已知圓，圓內(nèi)一定點（3，0），圓過點且與圓內(nèi)切，求圓心的軌跡方程. 【解析】如圖，設(shè)兩圓內(nèi)切于C，動點P（x，y），則A、P、C共線. 連AC、PB，為定長，而A（-3，0），B（3，0）為定點，圓心的軌跡是橢圓.且.所求軌跡方程為：. （3）第二定義橢圓的個性向圓錐曲線共性加盟如果說橢圓第一定義的主要功能是導(dǎo)出了橢圓的方程，那么橢圓的第二定義則給橢圓及其方程給出了深刻的解釋.根據(jù)這個解釋，我們可以方便地解決許多關(guān)于橢圓的疑難問題.【例3】已知橢圓，能否在此橢圓位于y軸左側(cè)部分上找一點P，使它到左準(zhǔn)線的距離是它到兩焦點F1，F(xiàn)2距離的比例中項.【解析】由橢圓方程知：.橢圓的左準(zhǔn)線為：.設(shè)存在橢圓上一點P（x，y）（x0，取，選D.【評注】直線與曲線相切的解析意義是相應(yīng)的一元二次方程有相等二實根，因而可轉(zhuǎn)化為其判別式為零處理；同理，直線與曲線相交要求相應(yīng)的判別式大于零，相離則要求這個判別式小于零. （2）導(dǎo)數(shù)法把方程與函數(shù)鏈接由于解析法往往牽涉到比較繁雜的運算，所以人們在解題中研究出了許多既能減少運算，又能達到解題目的的好方法，導(dǎo)數(shù)法就是最為明顯的一種.【例5】求證：過橢圓上一點的切線方程為：.【證明一】（解析法）設(shè)所求切線方程為：，代入橢圓方程：.化簡得：直線與橢圓相切，方程（1）有相等二實根.其判別式=0，即：.化簡得：點在橢圓上，方程（2）之判別式.故方程（2）亦有相等二實根，且其根為：.則切線方程為：.再化簡即得：.【證明二】（導(dǎo)數(shù)法）對方程兩邊取導(dǎo)數(shù)：.則切線方程為：.再化簡即得：.【評注】（1）兩種證法的繁簡相差多大，一看便知（2）這個切線方程的實際意義很大.在有關(guān)運算中直接引用這個公式是十分省事的.（3）幾何法為解析法尋根朔源減少解析計算的又一個重要手段，是在解題中充分運用平面幾何知識.【例6】（07.湖南文科.9題）設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點，是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為（為半焦距）的點，且，則橢圓的離心率是（ ）A B C D【解析】如圖有，設(shè)右準(zhǔn)線交x軸于H，選D.【例7】已知橢圓和圓總有公共點，則實數(shù)的取值范圍是 （ ）【解析】如右圖橢圓的中心在原點，且長、短半軸分別為a=2，b=1；圓的圓心為C（a，0）且半徑R=1.顯然，當(dāng)圓C從橢圓左邊與之相切右移到橢圓右邊與之相切時都有公共點.此時圓心的橫坐標(biāo)由-3增加到3，故a，選C.在解析幾何解體中引入平面幾何知識包含兩個重要方面，一是恰當(dāng)?shù)剡\用平面幾何知識及其推理功能，二是利用圖形變換去進行數(shù)量的分析與計算.（4）轉(zhuǎn)移法將生疏向熟知化歸做數(shù)學(xué)題如果題題都從最原始的地方起步，顯然是勞神費力且違反數(shù)學(xué)原則的.不失時機地運用前此運算成果就成為數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)特點.而轉(zhuǎn)移法正是這一思想的具體體現(xiàn).【例8】（06.全國一卷.20題）在平面直角坐標(biāo)系中，有一個以和為焦點，離心率為的橢圓.設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x,y軸的交點分別為A,B且向量OM=OA+OB.試求點M的軌跡方程【分析】點P在已知軌跡（橢圓在第一象限的部分）上，是主動點；點M在未知軌跡上，且隨著點P的運動而運動，是被動點.故本例是典型的國際已知軌跡求未知軌跡，適合用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法解之.此外，過橢圓上一點P的切線方程，可以直接運用例5的結(jié)論.【解析】橢圓的半焦距，離心率.又橢圓的焦點在y軸上，故其方程為：. 設(shè)點P的坐標(biāo)為那么過點P的橢圓切線方程為：在方程（2）中，令y=0，得.設(shè)點M的坐標(biāo)為.由OM=OA+OB，代入（1）：.，所求點M的軌跡方程是：.轉(zhuǎn)移法求軌跡方程的基本步驟是：（1）在已知軌跡上任取一點M（x0，y0），并寫出其滿足的已知關(guān)系式；（2）設(shè)P（x，y）為待求軌跡上一點，并根據(jù)題設(shè)條件求出兩個坐標(biāo)的關(guān)系式；（3）用x，y的代數(shù)式分別表示x0，y0，代入（1）中的關(guān)系式化簡即得.（5）三角法與解析法珠聯(lián)璧合三角學(xué)的資源豐富，方法靈活.在解析幾何解題中適當(dāng)引入三角知識，優(yōu)點多多.例如橢圓方程的三角形式是：，既將點的坐標(biāo)中的兩個變量減少為一個，又可以利用三角的優(yōu)勢去解決解析幾何中的疑難.【例9】若P是橢圓上的點，F(xiàn)1和F2是焦點，則的最大值和最小值分別是【解析】橢圓的長、短半軸分別為a=2，b=，半焦距c=1.焦點坐標(biāo)分別為：F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）.設(shè)橢圓上一點為，那么.同理；.于是故所求最大值為4，最小值是3.【例10】如圖1，中心在原點O的橢圓的右焦點為F（3，0），右準(zhǔn)線l的方程為：x = 12。（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓上任取三個不同點，使，證明為定值，并求此定值.【分析】本題選自07.重慶卷.22題，是壓軸題.難度很大.動手前一定要選擇好恰當(dāng)?shù)钠祁}路徑，否則將陷入繁雜的計算而不得自拔. 有關(guān)的3條線段都是焦半徑，企圖用橢圓的第一定義或兩點距離公式出發(fā)將是徒勞的.正確 的解題途徑是：（1）利用橢圓的第二定義；（2）題中有3個相等的角度，應(yīng)不失時機地引入三角知識.【解析】橢圓的半焦距c=3，右準(zhǔn)線x = 12圖2.故橢圓方程為：，其離心率.如圖2設(shè)為橢圓上符合條件的三點，令.作P1H1于H1，令，設(shè)P1Fx=則P2Fx=+120P3Fx= 120-.于是，而.同理：.于是，故為定值.如果讀者有極坐標(biāo)的有關(guān)知識，則本題的解法將更為簡潔圓錐曲線的極坐標(biāo)方程是：.其中e是橢圓的離心率，p是相應(yīng)焦點到準(zhǔn)線的距離，是極徑與極軸的夾角.巧用定義求橢圓中四類最值問題圓錐曲線的定義既是推導(dǎo)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的依據(jù)，又是用來解決一些問題的重要方法，一般情況下，當(dāng)問題涉及焦點或準(zhǔn)線，且用其它方法不易求解時，可考慮運用定義求解，下面以橢圓為例歸納四類最值問題。一、的最值若A為橢圓內(nèi)一定點（異于焦點），P是C上的一個動點，F(xiàn)是C的一個焦點，e是C的離心率，求的最小值。例1. 已知橢圓內(nèi)有一點A（2，1），F(xiàn)是橢圓C的左焦點，P為橢圓C上的動點，求的最小值。分析：注意到式中的數(shù)值“”恰為，則可由橢圓的第二定義知等于橢圓上的點P到左準(zhǔn)線的距離。這種方法在本期橢圓中減少運算量的主要方法一文中已經(jīng)介紹過，這里不再重復(fù)，答案為。二、的最值若A為橢圓C內(nèi)一定點（異于焦點），P為C上的一個動點，F(xiàn)是C的一個焦點，求的最值。例2. 已知橢圓內(nèi)有一點A（2，1），F(xiàn)為橢圓的左焦點，P是橢圓上動點，求的最大值與最小值。解：如圖1，設(shè)橢圓的右焦點為，可知其坐標(biāo)為（3，0）圖1由橢圓的第一定義得：可知，當(dāng)P為的延長線與橢圓的交點時，最大，最大值為，當(dāng)P為的延長線與橢圓的交點時，最小，最小值為。故的最大值為，最小值為。三、的最值若A為橢圓C外一定點，為C的一條準(zhǔn)線，P為C上的一個動點，P到的距離為d，求的最小值。例3. 已知橢圓外一點A（5，6），為橢圓的左準(zhǔn)線，P為橢圓上動點，點P到的距離為d，求的最小值。解：如圖2，設(shè)F為橢圓的左焦點，可知其坐標(biāo)為圖2根據(jù)橢圓的第二定義有：，即可知當(dāng)P、F、A三點共線且P在線段AF上時，最小，最小值。故的最小值為10。四、橢圓上定長動弦中點到準(zhǔn)線距離的最值例4. 定長為的線段AB的兩個端點分別在橢圓上移動，求AB的中點M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離。解：設(shè)F為橢圓的右焦點，如圖3，作于A”，BB”于B”，MM”于M”圖3則當(dāng)且僅當(dāng)AB過焦點F時等號成立。故M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離為。評注：是橢圓的通徑長，是橢圓焦點弦長的最小值，是AB能過焦點的充要條件。橢圓中減少運算量的主要方法橢圓中減少運算量提高計算速度有多種方法，以下的四種主要方法比較常用，能夠有效地減少運算量，希望同學(xué)們切實掌握。一、追根溯源，回歸定義橢圓中許多性質(zhì)都是由定義派生出來的，如果能夠從其定義出發(fā)，挖掘它的性質(zhì)，把定量的計算和定性的分析有機地結(jié)合起來，則可以大大地減少運算量。例1. （全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）給定A（-2，2），已知B是橢圓上的動點，F(xiàn)是左焦點，當(dāng)取得最小值時，求B點坐標(biāo)。分析：如果設(shè)點B的坐標(biāo)，再求則計算量相當(dāng)大，而如果利用橢圓的第二定義，把轉(zhuǎn)化為B點到左準(zhǔn)線的距離就簡單的多。解：由已知橢圓方程得：，左準(zhǔn)線為。如圖1，過B點作左準(zhǔn)線的垂線，垂足為N。過A點作此準(zhǔn)線的垂線，垂足為M。根據(jù)橢圓的第二定義得：則（為定值）當(dāng)且僅當(dāng)B點是線段AM與橢圓的交點時等號成立?？山獾肂點的坐標(biāo)是二、充分運用平面幾何性質(zhì)結(jié)合平面幾何的知識解決橢圓中的有關(guān)問題，也是避免繁雜運算的有效途徑之一。例2. 橢圓的焦點為，點P為其上的動點。當(dāng)為鈍角時，點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_。分析：用為鈍角的充要條件和焦半徑公式以及余弦定理解題，最后因計算量過大均可能造成繁解或錯解。而充分運用平面幾何性質(zhì)則會得以簡解。解：依題意以原點為圓心，為半徑作圓，則是圓的直徑。若P點在圓外，則為銳角；若P點在圓上，則為直角；若P點在圓內(nèi)，則為鈍角。聯(lián)立消去得：故即為所求。三、利用圖形的性質(zhì)化繁為簡細觀題意，察看圖形特征，從中找出解題突破口，也可以避免大量的運算。例3. （四川高中數(shù)學(xué)競賽）已知P點在圓上移動，Q點在橢圓上移動，求的最大值。分析：如圖2，本題如能從圖形出發(fā)，看到的最大值，等于的最大值與圓的半徑之和，則可避免大量的運算。圖2解：設(shè)，則，即的最大值為四、利用“點差法”，設(shè)而不求與弦中點的有關(guān)問題，主要有三種題型：求平行弦的中點軌跡；求過定點的弦中點的軌跡；求被定點平分的弦所在直線的方程，都可用“點差法”減少運算量。例4. 橢圓中，過點P（1，1）的弦AB恰被點P平分，求弦AB所在的直線方程。解：設(shè)，則由得：則直線AB的斜率為：故弦AB所在直線的方程為：即利用韋達定理、曲線系方程、建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系、整體代換、三角換元等方法也能起到減少運算量、提高計算速度的作用，在此就不再贅述了。橢圓1已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程 解 設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2 又22,將m+n=2,代入得mn=由、式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1 2圓中，求面積最小的圓的半徑長。解： （III）面積最小的圓的半徑應(yīng)是點F到直線l的距離，設(shè)為r 3已知、是橢圓的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，點B也在橢圓上，且滿足為坐標(biāo)原點），若橢圓的離心率等于 （）求直線AB的方程； （）若的面積等于，求橢圓的方程； （）在（）的條件下，橢圓上是否存在點M使得的面積等于？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解： （）由知直線AB經(jīng)過原點，又由因為橢圓離心率等于，故橢圓方程可以寫成， 設(shè)所以，故直線AB的斜率，因此直線AB的方程為 （）連接AF1、BF1，由橢圓的對稱性可知，所以故橢圓方程為 （）由（）可以求得假設(shè)在橢圓上存在點M使得的面積等于，設(shè)點M到直線AB的距離為d，則應(yīng)有，所以 設(shè)M所在直線方程為與橢圓方程聯(lián)立消去x得方程即故在橢圓上不存在點M使得的面積等于4已知F1、F2是橢圓的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，點B也在橢圓上，且滿足（O是坐標(biāo)原點），若橢圓的離心率等于 （1）求直線AB的方程； （2）若三角形ABF2的面積等于，求橢圓的方程；解：（1）由知，由直AB經(jīng)過原點，又由，因為橢圓的離心率等于，所以，故橢圓方程 設(shè)A (x，y)，由，知x = c，A (c，y)，代入橢圓方程得， 故直線AB的斜率因此直線AB的方程為 （2）連結(jié)AF1、BF1、AF2、BF2，由橢圓的對稱性可知， 所以，又由，解得，故橢圓的方程為5 已知橢圓，它的上下頂點分別是A、B，點M是橢圓上的動點（不與A、B重合），直線AM交直線y=2于點N，且.（）求橢圓的方程； （）若斜率為1的直線l交橢圓于P、Q兩點，求證：與向量a=（3，1）共線（其中O為坐標(biāo)原點）.解：（I）由題意，A（0，1），B（0，1），設(shè)M（x0，y0），x00. 則直線AM的方程為 ， 又M（x0，y0）在橢圓上， 、聯(lián)立并消去y0，得 橢圓方程為 （II）解法一：設(shè)直線PQ方程為y=x+b. 解法二：設(shè)， .，得，6已知直線相交于A、B兩點，且（I）求橢圓C的離心率；（II）若橢圓C的右焦點關(guān)于直線l的對稱點在圓上，求橢圓C的方程.解：（I）設(shè). 由.該方程的兩根為，由韋達定理，得 ， （II）設(shè)橢圓的右焦點為F（c，0），F(xiàn)關(guān)于直線l的對稱點為，則 故所求橢圓方程為. 7已知定點A（2，0），動點B是圓（F為圓心）上一點，線段AB的垂直平分線交BF于P。 （1）求動點P的軌跡方程； （2）直線交P點的軌跡于M，N兩點，若P點的軌跡上存在點C，使求實數(shù)m的值；解：（1）由題意：|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8|PA|+|PF|=8|AF|P點軌跡為以A、F為焦點的