四年級奧數(shù)正式教材老師用.doc

華博教育讓孩子未來不是夢中小學(xué)成才教育專家專注學(xué)習(xí)的每一個細節(jié)目錄目錄- 1 -（一） 找規(guī)律- 3 -數(shù)列中的規(guī)律- 3 -圖形中的規(guī)律- 4 -（二） 數(shù)字謎- 8 - 橫式字謎- 8 - 豎式字謎- 11 -（三） 定義新運算- 14 -（四） 雞兔同籠- 18 -（五） 行程問題- 20 -追擊及遇問題- 20 -火車過橋- 24 -（六） 植樹問題- 27 -（七） 有趣的數(shù)陣圖- 31 -（八） 有趣的數(shù)陣圖練習(xí)- 35 -（九） 枚舉法- 39 -（十） 邏輯推理- 43 -（十一） 抽屜原理- 46 -（十二） 倒推法的妙用- 49 -（十三） 火柴棍游戲- 55 -擺圖形游戲- 55 - 移動火柴，變換圖形游戲- 56 -去掉火柴，變換圖形游戲- 57 -（十四） 巧求面積習(xí)題- 58 -（十五） 方程式解應(yīng)用題- 60 -（十六） 移多補少平均數(shù)- 61 -（十七） 一筆畫- 63 -（1） 找規(guī)律觀察是解決問題的根據(jù)。通過觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況下，我們可以從以下幾個方面來找規(guī)律：1根據(jù)每組相鄰兩個數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；2根據(jù)相隔的每兩個數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；3要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；4數(shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認為是正確的。數(shù)列中的規(guī)律一、例題與方法指導(dǎo)例1：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。1，4，7，10，（ ），16，19思路導(dǎo)航：在這列數(shù)中，相鄰的兩個數(shù)的差都是3，即每一個數(shù)加上3都等于后面的數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，括號里應(yīng)填的數(shù)為：10+3=13或163=13像上面按照一定的順序排列的一串?dāng)?shù)叫做數(shù)列。例2：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。 1，2，4，7，（ ），16，22思路導(dǎo)航：在這列數(shù)中，前4個數(shù)每相鄰的兩個數(shù)的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括號里的數(shù)少4，括號里應(yīng)填：7+4=11。經(jīng)驗證，所填的數(shù)是正確的。應(yīng)填的數(shù)為：7+4=11或16-5=11例3：先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12思路導(dǎo)航：在這列數(shù)中，第一個數(shù)減去3的差是第三個數(shù)，第二個數(shù)加上2的和是第四個數(shù)，第三個數(shù)減去3的差是第五個數(shù)，第四個數(shù)加上2的和是第六個數(shù)依此規(guī)律，8后面的一個數(shù)為：17-3=14，11前面的數(shù)為：8+2=102、 鞏固訓(xùn)練1.先找出下列各列數(shù)的排列規(guī)律，然后在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）2，6，10，14，（ ），22，26（2）3，6，9，12，（ ），18，21（3）33，28，23，（ ），13，（ ），3（4）55，49，43，（ ），31，（ ），19（5）3，6，12，（ ），48，（ ），192（6）2，6，18，（ ），162，（ ）（7）128，64，32，（ ），8，（ ），2（8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，32.先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）10，11，13，16，20，（ ），31（2）1，4，9，16，25，（ ），49，64（3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2（4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8（5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0（6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1（7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2（8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，143、 拓展提升先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）（2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14（4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ）（5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12（6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ）（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ）圖形中的規(guī)律我們通常會碰到一些圖形，它們在某一方面，比如顏色，形狀，大小，結(jié)構(gòu)，位置或繁難等有些共同的特征或變化規(guī)律，你能通過觀察找規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律推斷出結(jié)果嗎？一、例題與方法指導(dǎo)例1.下面哪個圖形和其他幾個不一樣，你能找出來嗎？思路導(dǎo)航：題中幾個圖形的共同特征是：先連接各邊中點，組成一個復(fù)合圖形。所不同的是，B圖形是一個三角形，而其他幾個圖形都是四邊形，這樣，只有B與其他幾個不一樣。例2.找出下組圖形中不同的項。思路導(dǎo)航：題中只有D圖形不是由A翻轉(zhuǎn)過來的，其他圖形都是在同一個平面內(nèi)通過把A圖形旋轉(zhuǎn)而得到的。故不同的選項應(yīng)該為D例3.在下面圖形中找出一個與眾不同的.(1) (2) (3) (4) (5)思路導(dǎo)航：很容易看出題目圖中(1)逆時針旋轉(zhuǎn)就是(4),但是這樣一來,(2)、(3)、(5)都與它們不同了.題目上要求找出一個.所以放棄這種想法.圖(2)順時針旋轉(zhuǎn),且大、小兩個矩形顏色互換一下就得到(5).而圖(1)與(3)的變化規(guī)律也是這樣:順時針旋轉(zhuǎn),大小兩部分顏色互換.因此(1)與(3)配對,(2)與(5)配對.解:與眾不同的是題目圖中的(4).例4.依照下面圖中所給圖形的變化規(guī)律,在空格中填圖.思路導(dǎo)航：我們分花盆、花莖、花葉、花朵四個部分逐步觀察.(1)花盆:花盆的形狀每一行都是由同樣的三種形狀組成,所以第三行所缺的形狀便是應(yīng)填的圖案中的花盆形狀;花盆的顏色在同一行中都是由黑、白、灰(畫有斜線)三色組成,圖中第三行已有白、灰二色，所以應(yīng)填的花盆為黑色(如下圖(1);(2)花莖:如同上面一樣的分析.花莖的形狀為魚鉤狀,方向向右(如下圖(2);(3)花葉:花葉數(shù)量為兩朵,方向是向左、右平展(如下圖(3);(4)花朵:形狀為圓形(如下圖(4). (1) (2) (3) (4) 解:依照所給圖形的變化規(guī)律,空格中應(yīng)填的圖形如圖(4).2、 鞏固訓(xùn)練1.按順序觀察圖52中圖形的變化，想一想，按圖形的變化規(guī)律，在帶“?”的空格處應(yīng)畫什么樣的圖形?分析 觀察中，注意到圖51中每行三角形的個數(shù)依次減少，而正方形的個數(shù)依次增多，且三角形的個數(shù)按4、3、X、1的順序變化.顯然X應(yīng)等于2;圖52中黑點的個數(shù)從左到右逐次增多，且每一格(第一格除外)比前面的一格多兩個點.事實上，本題中幾何圖形的變化僅表現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系上，是一種較為基本的、簡單的變化模式。解：在圖52的“?”處應(yīng)是2.請觀察右圖中已有的幾個圖形，并按規(guī)律填出空白處的圖形。分析 首先可以看出圖形的第一行、第二列都是由一個圓、一個三角形和一個正方形所組成的;其次，在所給出的圖形中，我們發(fā)現(xiàn)各行、各列均沒有重復(fù)的圖形，而且所給出的圖形中，只有圓、三角形和正方形三種圖形.由此，我們知道這個圖的特點是： 僅由圓、三角形、正方形組成; 各行各列中，都只有一個圓、一個三角形和一個正方形。因此，根據(jù)不重不漏的原則，在第二行的空格中應(yīng)填一個三角形，而第三行的空格中應(yīng)填一個正方形。解略。3.按順序觀察下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“?”處填上合適的圖形.分析 顯然，圖(a)、圖(b)中都是圓，而圖(c)中卻不是圓;同時，圖(a)、(c)中都有3個圖形，而(b)中只有兩個.由此可知：圖(a)到(b)的變化規(guī)律對應(yīng)于圖(c)到(d)的變化規(guī)律.再注意到圖(a)到圖(b)中圖形在繁簡、多少、位置幾方面的變化，就容易得到圖(d)中的圖形了。解：在上圖的“?”處應(yīng)填如下圖形.4.下圖中的圖形是按一定規(guī)律排列的，請仔細觀察，并在“?”處填上適當(dāng)?shù)膱D形.分析 本題中，首先可以注意到每個圖形都由大、小兩部分組成，而且，大、小圖形都是由正方形、三角形和圓形組成， 圖中的任意兩個圖形均不相同.因此，我們不妨試著把大、小圖形分開來考慮，再一次觀察后我們可以發(fā)現(xiàn)：對于大圖形來說，每行每列的圖形決不重復(fù)。因此，每行每列都只有一個大正方形，一個大三角形和一個大圓，對于小圖形也是如此，這樣，“?”處的圖形就不難得出。解：圖中，(b)、(f)、(h)處的圖形分別應(yīng)填下面的圖甲、圖乙、圖丙.小結(jié)：對于較復(fù)雜的圖形來說，有時候需要把圖形分開幾部分來單獨考慮其變化規(guī)律，從而把復(fù)雜問題簡單化。（2） 數(shù)字謎小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字游戲，例如“空中碼頭”（打一城市名）。謎底你還記得嗎？記不得也沒關(guān)系，想想“空中”指什么？“天”。這個地名第1個字可能是天?！按a頭”指什么呢？碼頭又稱渡口，聯(lián)系這個地名開頭是“天”字，容易想到“天津”這個地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。這樣謎底就出來了：天津。算式謎又被稱為“蟲食算”，意思是說一道算式中的某些數(shù)字被蟲子吃掉了無法辨認，需要運用四則運算各部分之間的關(guān)系，通過推理判定被吃掉的數(shù)字，把算式還原?！跋x食算”主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數(shù)字常常用、等圖形符號或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字母來代替未知的數(shù)字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數(shù)字，相同的數(shù)字或字母表示同一個數(shù)字。文字算式謎也是最難的一種算式謎。在數(shù)學(xué)里面，文字也可以組成許許多多的數(shù)學(xué)游戲，就讓我們一起來看看吧。橫式字謎1、 例題與方法指導(dǎo)例1 ，8，97在上面的3個方框內(nèi)分別填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)字，可以使得這3個數(shù)的平均數(shù)是150。那么所填的3個數(shù)字之和是多少？思路導(dǎo)航：150*3-8-97-5=340所以3個數(shù)之和為3+4+5=12。例2 在下列算式的中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得等式成立：（1）6456=0，（2）7837=1，（3）332=17，（4）858=6。分析：（1） 6104/56=109 （2）7548/37=204（3） 3393/29=117（4）8468/58=146例3 在算式40796=9998的各個方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字后，就可以使其成為正確的等式。求其中的除數(shù)。分析：40796/102=399.98。例4 我學(xué)數(shù)學(xué)樂我學(xué)數(shù)學(xué)樂=數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)在上面的乘法算式中，“我、學(xué)、數(shù)、樂”分別代表的4個不同的數(shù)字。如果“樂”代表9，那么“我數(shù)學(xué)”代表的三位數(shù)是多少？ 分析：學(xué)=1，我=8，數(shù)=6 ，81619*81619=6661661161例5 （）=24在式中的4個方框內(nèi)填入4個不同的一位數(shù)，使左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小，并且等式成立。思路導(dǎo)航：這樣，我們可以先用字母代替數(shù)字，原等式寫成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(abc、”等。表示運算意義的表達式，通常是使用四則運算符號，例如ab=3a-3b，新運算使用的符號是，而等號右邊表示新運算意義的則是四則運算符號。正確解答定義新運算這類問題的關(guān)鍵是要確切理解新運算的意義，嚴(yán)格按照規(guī)定的法則進行運算。如果沒有給出用字母表示的規(guī)則，則應(yīng)通過給出的具體的數(shù)字表達式，先求出表示定義規(guī)則的一般表達式，方可進行運算。值得注意的是：定義新運算一般是不滿足四則運算中的運算律和運算性質(zhì)，所以，不能盲目地運用定律和運算性質(zhì)解題。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.設(shè) ab都表示數(shù)，規(guī)定ab表示a的4倍減去b的3倍，即ab=4a-3b,試計算56，65。解56-54-63=20-18=2 65=64-53=24-15=9說明 例1定義的沒有交換律，計算中不得將前后的數(shù)交換。例2.對于兩個數(shù)a、b,規(guī)定ab表示3a+2b,試計算（56）7，5（67）。思路導(dǎo)航：先做括號內(nèi)的運算。解 （56）7=（53+62）7=277=273+72=95 5（67）=5（63+72）=532=53+322=79說明 本題定義的運算不滿足結(jié)合律。這是與常規(guī)的運算有區(qū)別的。例3.已知23=234，42=45，一般地，對自然數(shù)a、b，ab 表示a(a+1)（a+b-1）.計算（63）-（52）。思路導(dǎo)航：原式=67-56 =336-30規(guī)定：a=a+(a+1)+(a+2)+（a+b-1）,其中a,b表示自然數(shù)。例4.求1100的值。已知x10=75,求x.思路導(dǎo)航：（1）原式=1+2+3+100=（1+100）1002=5050（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+（X+9）=75,所以10X+(1+2+3+9)=75 10x+45=75 10x=30 x=32、 鞏固訓(xùn)練1.若對所有b,ab =ax,x是一個與b無關(guān)的常數(shù)；ab=(a+b)2,且（13）3=1（33）。求（14）2的值。分析 注意本題有兩種運算，由（13）3=1（33），可求出x.解 因為（13）3=1（33），所以（1x）即（x+3）2=xx+3=2xx=3因為（14）2 =（14）2 =（4+2）2 =32. 如果規(guī)定：=234，=345，=456，=8910，求+-+-+-的值。解題思路依題意可以看出：定義的新運算為連續(xù)三個數(shù)的乘積，而且，里的數(shù)就是三個連續(xù)數(shù)中的中間的哪個數(shù)，即是2，3，4三個連續(xù)的乘積，是3，4，5三個連續(xù)睡的乘積，從而不難求出+-+-+-的值。解：原式=8910+789-678+567-456+345-234=720+504+-339+210-120+60-24=10143、 能力提升答案（4） 雞兔同籠雞兔同籠問題是指雞與兔同在一個籠中，已知雞與兔的總頭數(shù)以及雞與兔的總足數(shù)，求雞和兔各是多少只的應(yīng)用題。這種類型題是古代趣題，在現(xiàn)實生活和生產(chǎn)中應(yīng)用廣泛，有著十分重要的使用價值。雞兔問題，也叫簡換問題。解答時，一般采用假設(shè)法，即假定全部的只數(shù)都是雞或者是兔，算出假定情況下的足數(shù)和實際上的足數(shù)和、足數(shù)差，然后推算出雞和兔的只數(shù)。計算時的主要數(shù)量關(guān)系是：1.如果假定全部是兔，則雞的只數(shù)=（每只兔的足數(shù)總頭數(shù)總足數(shù)）（每一只雞與兔足數(shù)的差）簡單理解就是：雞的只數(shù)=（4 總頭數(shù)總足數(shù)）2兔的只數(shù)=總頭數(shù)雞的只數(shù)2.如果假定全部是雞，則兔的只數(shù)=（總足數(shù)每只雞的足數(shù)總頭數(shù)） （每一只雞與兔足數(shù)的差）簡單寫就是兔的只數(shù)=（總足數(shù)2 總頭數(shù)） 2雞的只數(shù)=總頭數(shù)兔的只數(shù)1、 例題與方法指導(dǎo)例1. 雞兔同籠，共有100個頭，320只腳，問雞和兔各是多少只？思路導(dǎo)航：雞有2只腳，兔有4只腳，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，當(dāng)成一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來，當(dāng)成一只腳，那么兔子和雞一樣，都是2只腳。雞和兔的總腳數(shù)就是1002=200（只），但比實際320只腳要少320200=120（只），為什么會少了120只腳呢？是因為每只兔子只算一只前腳，一只后腳，而少算了一只前腳和一只后腳。也就是說每只兔子都少算了兩只腳，一共少算了120只腳，所以兔子應(yīng)該有1202=60（只）。解法一： 解法二：2100=200（只）4100=400（只）320200=120（只） 400320=80（只）1202=60（只） 802=40（只）10060=40（只） 10040=60（只）答：雞有40只，兔有60只。例2. 5元紙幣和2元紙幣總張數(shù)是200張，已知它們的總面值是940元，這兩種紙幣各多少張？思路導(dǎo)航：（1）假設(shè)200張紙幣完全是2元，共值： 2200=400（元）（2）比實際少： 940400=540（元）（3）2元換成5元，每張增加： 52=3（元）（4）5元紙幣有： 5403=180（張）（5）2元紙幣有： 200180=20（張）答：有180張5元、20張2元紙幣。例3. 雞兔同籠，雞比兔多25只，腳數(shù)共176只，雞、兔各多少只？思路導(dǎo)航：假設(shè)去掉多的25只雞，則一共去掉225=50（只）腳，那么17650=126（只）腳是雞和兔一樣多的腳的總數(shù)量，而一對雞兔共有24=6（只）腳，可以求出去掉25只雞以后一共多少對雞和兔，然后再加上去掉的25只雞。225=50（只）17650=126（只）24=6（只）1266=21（對）雞、兔各21只21+25=46（只） 雞的只數(shù)答：雞有46只，兔有21只。2、 鞏固訓(xùn)練1.雞兔同籠，共有頭90只，腳252只。雞兔各多少只？2.雞兔同籠，共有頭80只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)多40只，雞兔各多少只？3.30枚硬幣由2分和5分組成，共值9角9分，兩種硬幣各多少枚？3、 拓展提升1. 雞兔共100只，雞的腳數(shù)比兔少40只，雞兔各多少只？2. 46人去劃船，一共乘坐10條船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各多少條？3. 某車棚共停放三輪車和自行車共39輛，兩種車輪總和96個，三輪車和自行車各多少輛？（5） 行程問題行程問題是小學(xué)奧數(shù)中變化最多的一個專題，不論在奧數(shù)競賽中還是在“小升初”的升學(xué)考試中，都擁有非常重要的地位。行程問題中包括：火車過橋、流水行船、沿途數(shù)車、獵狗追兔、環(huán)形行程、多人行程，等等。每一類問題都有自己的特點，解決方法也有所不同，但是，行程問題無論怎么變化，都離不開“三個量，三個關(guān)系”：這三個量是：路程(s)、速度(v)、時間(t)三個關(guān)系：1. 簡單行程： 路程 = 速度 時間2. 相遇問題： 路程和 = 速度和 時間3. 追擊問題： 路程差 = 速度差 時間牢牢把握住這三個量以及它們之間的三種關(guān)系，就會發(fā)現(xiàn)解決行程問題還是有很多方法可循的。追擊及遇問題1、 例題與方法指導(dǎo)例1.有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米？思路導(dǎo)航：這個三人行程的問題由兩個相遇、一個追擊組成，題目中所給的條件只有三個人的速度，以及一個“3分鐘”的時間。第一個相遇：在3分鐘的時間里，甲、丙的路程和為（40+36）3=228（米）第一個追擊：這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時間為228 （38-36）=114（分鐘）第二個相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長為（40+38）114=8892（米）我們把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題，使解題思路更加清晰。例2.東西兩地間有一條公路長217.5千米，甲車以每小時25千米的速度從東到西地，1.5小時后，乙車從西地出發(fā)，再經(jīng)過3小時兩車還相距15千米。乙車每小時行多少千米？思路導(dǎo)航： 從圖中可以看出，要求乙車每小時行多少千米，關(guān)鍵要知道乙車已經(jīng)行了多少路程和行這段路程所用的時間。解：（1）甲車一共行多少小時？1.5+3=4.5（小時）（2）甲車一共行多少千米路程？254.5=112.5（千米）（3）乙車一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）（4）乙車每小時行多少千米？ (105-15)3=30（千米）答：乙車每小時行30千米。例3.兄妹二人同時從家里出發(fā)到學(xué)校去，家與學(xué)校相距1400米。哥哥騎自行車每分鐘行200米，妹妹每分鐘走80米。哥哥剛到學(xué)校就立即返回來在途中與妹妹相遇。從出發(fā)到相遇，妹妹走了幾分鐘？相遇處離學(xué)校有多少米？思路導(dǎo)航： 從圖中可以看出，哥與妹妹相遇時他們所走的路程的和相當(dāng)于從家到學(xué)校距離的2倍。因此本題可以轉(zhuǎn)化為“哥哥妹妹相距2800米，兩人同時出發(fā)，相向而行，哥哥每分鐘行200米，妹妹每分鐘行80米，經(jīng)過幾分鐘相遇？”的問題，解答就容易了。解：（1）從家到學(xué)校的距離的2倍：14002=2800（米）（2）從出發(fā)到相遇所需的時間：2800（200+80）=10（分）（3）相遇處到學(xué)校的距離：1400-8010=600（米） 答：從出發(fā)到相遇，妹妹走了10分鐘，相遇處離學(xué)校有600米。2、 鞏固訓(xùn)練1.兩城市相距328千米，甲、乙兩人騎自行車同時從兩城出發(fā)，相向而行。甲每小時行28千米，乙每小時行22千米，乙在中途修車耽誤1小時，然后繼續(xù)行駛，與甲相遇，求出發(fā)到相遇經(jīng)過多少時間？ 分析:如果乙在中途不停車，那么甲、乙兩人從出發(fā)到相遇共行路程的和：328+221=350（千米），兩車的速度和：28+22=50（千米/小時），然后根據(jù)相遇問題“路程和速度和=相遇時間”得 35050=7（小時） 解：（328+221）（28+22）=35050=7（小時）解法2：（328-221）（28+22）=30050=6（小時）6+1=7（小時） 答：從出發(fā)到相遇經(jīng)過了7小時。2. 快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，已知快車每小時行40千米，經(jīng)過3小時快車已過中點12千米與慢車相遇，慢車每小時行多少千米？分析: 從圖中可知：快車3小時行的路程403=120千米，比全程的一半多12千米，全程的一半是120-12=108千米。而慢車3小時行的路程比全程的一半還少12千米，所以慢車3小時行的路程是108-12=96千米，由此可以求出慢車的速度。解：甲乙兩地路程的一半：403-12=108（千米）慢車3小時行的路程：108-12=96（千米）慢車的速度：963=32（千米）答：慢車每小時行32千米。3. 小華和小明同時從甲、乙兩城相向而行，在離甲城85千米處相遇，到達對方城市后立即以原速沿原路返回，又在離甲城35千米處相遇，兩城相距多少千米？分析: 從圖上可以看出，小華和小明兩人第一次相遇時，行了一個全程，小華行了85千米。當(dāng)小華和小明第二次相遇時，共行了3個全程，這時小華共行了3個85千米，如果再加上35千米，相當(dāng)于小華行了2個全程，甲乙兩地全長也就可以求出來了。解：（1）甲乙出發(fā)到第二次相遇時，小華共行了多少千米？ 853=255（千米）（2）甲乙兩城相距多少千米？（ 255+35）2=2902=145（千米）答：兩城相距145千米。3、 拓展提升1. 客車和貨車同時從甲、乙兩地相對開出，客車每小時行54千米，貨車每小時行48千米，兩車相遇后又以原來的速度繼續(xù)前進，客車到達乙站后立即返回，貨車到達甲站后也立即返回，兩車再次相遇時，客車比貨車多行216千米。求甲乙兩站相距多少千米？分析 如圖，從出發(fā)到第二次相遇時，客車和貨車共行3個全程，在這段時間里客車一共比貨車多行216千米，客車每小時比貨車快54-48=6千米，這樣可以求出行3個全程的時間為2166=36小時，由此可求出行一個全程時間：363=12小時，因而可以求出甲乙兩站的距離。 解：從出發(fā)到第二次是兩車行駛的時間：216（54-48）=36（小時） 從出發(fā)到第一次相遇所用的時間：363=12（小時）甲乙兩站的距離：（54+48）12=1224（千米） 答：求甲乙兩站相距1224千米。2.甲、乙、丙三輛車同時從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車速度分別為每小時60千米和48千米，有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后6小時、7小時、8小時先后與甲、乙、丙三車相遇。求丙車的速度。 分析:解答的關(guān)鍵是求出卡車的速度，從圖上明顯看出，甲車6小時的行程與乙車7小時的行程差正好是卡車的速度。再根據(jù)速度和、相遇時間和路程三者之間的關(guān)系，求出丙車速度。 解：（1）卡車的速度：（ 606-487）（7-6）=241=24（千米）（2） AB兩地之間的距離：（60+24）6=504（千米）（3） 丙車與卡車的速度和：5048=64（千米）（4） 丙車的速度：64-24=40（千米/小時）答：丙車的速度每小時40千米。3. 兩列火車從某站相背而行，甲車每小時行58千米，先開出2小時后，車以每小時62千米才開出，乙車開出5小時后，兩列火車相距多少千米？火車過橋 過橋問題也是行程問題的一種。首先要弄清列車通過一座橋是指從車頭上橋到車尾離橋。列車過橋的總路程是橋長加車長，這是解決過橋問題的關(guān)鍵。過橋問題也要用到一般行程問題的基本數(shù)量關(guān)系： 過橋問題的一般數(shù)量關(guān)系是：因為：過橋的路程 = 橋長 + 車長 所以有：通過橋的時間 =（橋長 + 車長）車速車速 = （橋長 + 車長）過橋時間公式的變形： 橋長 = 車速過橋時間 車長車長 = 車速過橋時間 橋長后三個都是根據(jù)第二個關(guān)系式逆推出的?；疖囃ㄟ^隧道的問題和過橋問題的道理是一樣的，也要通過上面的數(shù)量關(guān)系來解決。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.一列客車經(jīng)過南京長江大橋，大橋長6700米，這列客車長100米，火車每分鐘行400米，這列客車經(jīng)過長江大橋需要多少分鐘？思路導(dǎo)航： 從火車頭上橋，到火車尾離橋，這之間是火車通過這座大橋的過程，也就是過橋的路程是橋長 + 車長。通過“過橋的路程”和“車速”就可以求出火車過橋的時間。 （1）過橋路程：6700 + 100 = 6800（米） （2）過橋時間：6800400 = 17（分） 答：這列客車通過南京長江大橋需要17分鐘。 例2.一列火車長160米，全車通過440米的橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少米？思路導(dǎo)航： 要想求火車過橋的速度，就要知道“過橋的路程”和過橋的時間。 （1）過橋的路程：160 + 440 = 600（米） （2）火車的速度：60030 = 20（米） 答：這列火車每秒行20米。例3.某列火車通過360米的第一個隧道用了24秒鐘，接著通過第二個長216米的隧道用了16秒鐘，求這列火車的長度？思路導(dǎo)航： 火車通過第一個隧道比通過第二個隧道多用了8秒，為什么多用8秒呢？原因是第一個隧道比第二個隧道長360216 = 144（米），這144米正好和8秒相對應(yīng)，這樣可以求出車速?；疖?4秒行進的路程包括隧道長和火車長，減去已知的隧道長，就是火車長。 （1）第一個隧道比第二個長多少米？ 360216 = 144（米） （2）火車通過第一個隧道比第二個多用幾秒？ 2416 = 8（秒） （3）火車每秒行多少米？ 1448 = 18（米） （4）火車24秒行多少米？ 1824 = 432（米） （5）火車長多少米？ 432360 = 72（米）答：這列火車長72米。2、 鞏固訓(xùn)練 1.某列火車通過342米的隧道用了23秒，接著通過234米的隧道用了17秒，這列火車與另一列長88米，速度為每秒22米的列車錯車而過，問需要幾秒鐘？思路導(dǎo)航：通過前兩個已知條件，我們可以求出火車的車速和火車的車身長。 （342234）（2317）= 18（米）車速 1823342 = 72（米） 車身長 兩車錯車是從車頭相遇開始，直到兩車尾離開才是錯車結(jié)束，兩車錯車的總路程是兩個車身之和，兩車是做相向運動，所以，根據(jù)“路程速度和 = 相遇時間”，可以求出兩車錯車需要的時間。 （72 + 88）（18 + 22）= 4（秒） 答：兩車錯車而過，需要4秒鐘。2. 一列火車全長265米，每秒行駛25米，全車要通過一座985米長的大橋，問需要多少秒鐘？ （265 + 985）25 = 50（秒） 答：需要50秒鐘。3. 一列長50米的火車，穿過200米長的山洞用了25秒鐘，這列火車每秒行多少米？ （200 + 50）25 = 10（米） 答：這列火車每秒行10米。3、 拓展提升1.一列長240米的火車以每秒30米的速度過一座橋，從車頭上橋到車尾離橋用了1分鐘，求這座橋長多少米？ 1分 = 60秒 3060240 = 1560（米）答：這座橋長1560米。2.一列貨車全長240米，每秒行駛15米，全車連續(xù)通過一條隧道和一座橋，共用40秒鐘，橋長150米，問這條隧道長多少米？ 1540240150 = 210（米）答：這條隧道長210米。3.一列火車開過一座長1200米的大橋，需要75秒鐘，火車以同樣的速度開過路旁的電線桿只需15秒鐘，求火車長多少米？ 1200（7515）= 20（米） 2015 = 300（米）答：火車長300米。4.在上下行軌道上，兩列火車相對開來，一列火車長182米，每秒行18米，另一列火車每秒行17米，兩列火車錯車而過用了10秒鐘，求另一列火車長多少米？ （18 + 17）10182 = 168（米）答：另一列火車長168米。（6） 植樹問題只要我們稍加留意，都會看到在馬路兩旁一般都種有樹木。細心觀察，這些樹木的間距一般都是等距離種植的。路長、間距、棵數(shù)之間存在著確定的關(guān)系，我們把這種關(guān)系叫做“植樹問題”。而植樹問題，一般又可分為封閉型的和不封閉型的（開放型的）。封閉型的和不封閉型的植樹問題，區(qū)別在于間隔數(shù)（段數(shù)）與棵數(shù)的關(guān)系：1、不封閉型的（多為直線上），一般情況為兩端植樹，如下圖所示，其路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系是：但如果只在一端植樹，如右圖所示，這時路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：如果兩端都不植樹，那么棵數(shù)比一端植樹還要再少一棵，其路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：2、封閉型的情況（多為圓周形），如下圖所示，那么：植樹問題的三要素：總路線長、間距(棵距)長、棵數(shù)只要知道這三個要素中任意兩個要素，就可以求出第三個植樹問題的分類：直線型的植樹問題封閉型植樹問題特殊類型的植樹問題1、 例題與方法指導(dǎo)例1 有一條公路長1000米，在公路的一側(cè)每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵?思路導(dǎo)航：每隔5米栽一棵垂柳，即以兩棵垂柳之間的距離5米為一段。公路的全長1000米，分成5米一段，那么里包含有10005=200段。由于公路的兩端都要求種樹，所以要種植的棵數(shù)比分成的段數(shù)多1，所以，可種植垂柳200+1=201棵。例2 某一淡水湖的周長1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植2株夾枝桃，可栽柳樹多少株?可栽夾枝桃多少株?兩株夾枝桃之間相距多少米?思路導(dǎo)航：在圓周上植樹時，由于可栽的株數(shù)等于分成的段數(shù)，所以，可栽柳樹=13509=150株；由于兩株柳樹之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數(shù)（段數(shù)）為150，所以栽夾枝桃的株數(shù)=2150=300株；每隔9米種柳樹一株，在兩株夾枝桃之間等距地栽2株夾枝桃，這就變成兩端都不植樹的情形，即2株等距離栽在9米的直線上，不含兩端，所以，每兩株之間的距離=9(2+1)=3(米)。例3 一條街上，一旁每隔8米有一個廣告牌，從頭到尾有16個廣告牌，現(xiàn)在要進行調(diào)整，變成每12米有一個廣告牌。那么除了兩端的廣告牌外，中間還有幾個牌不需要移動？思路導(dǎo)航：16個廣告牌，每相鄰的兩個廣告牌的間隔為8米，則共有16-1=15 個間隔，這條街的總長度為815120（米）；現(xiàn)在要調(diào)整為每12米一個廣告牌，那么不移動的牌離端點的距離一定既是8的倍數(shù)，同時也是12的倍數(shù)；83=122=24，也就是說，每24米及其倍數(shù)處的廣告牌可以不需要移動；120245，即段數(shù)為5個，但要扣除兩端的2個，所以，中間不需要移動的有5-1=4個。事實上，所謂植樹問題只是我們對這一種類型問題的總稱，并不單指植樹問題。例如，與之類似的還有爬樓（梯）問題、隊列問題、敲鐘問題、鋸木頭問題的等。所以，植樹問題又稱上樓梯問題。2、 鞏固訓(xùn)練1 某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，