常微分方程習(xí)題(12).doc

常微分方程期中測驗試卷(3) 班級_姓名_學(xué)號_得分_ 1辨別題指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：(12%)（1） （2） （3）（4） （5） （6）2、填空題(8%)（1）方程的所有常數(shù)解是_.（2）若y=y1(x)，y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個不同解，則用這兩個解可把其通解表示為_.（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通積分是_.（4）.設(shè)M(x0, y0)是可微曲線y= y(x)上的任意一點，過該點的切線在x軸和y軸上的截距分別是_.3、單選題(14%)（1）方程是（ ）.(A)可分離變量方程 （B）線性方程(C)全微分方程 （D）貝努利方程（2）方程，過點（0，0）有（ ）.(A) 一個解 （B）兩個解 (C) 無數(shù)個解 （D）三個解（3）方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常數(shù)解是（ ）.(A)y=1, x=1, (B) y=1(C) x=1 (D) y=1, x=1（4）若函數(shù)y(x)滿足方程，且在x=1時，y=1, 則在x = e時y=( ).(A) (B) (C)2 (D) e（5）階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個（ ）線性空間（A）維 （B）維 （C）維 （D）維 （6）. 方程（ ）奇解（A）有三個 （B）無 （C）有一個 （D） 有兩個（7）方程過點（ ） （A）有無數(shù)個解 （B）只有三個解 （C）只有解 （D）只有兩個解4.計算題(40%) 求下列方程的通解或通積分： （1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 5. 計算題(10%)求方程的通解6證明題（16%）設(shè)在整個平面上連續(xù)可微，且求證：方程 的非常數(shù)解，當(dāng)時，有，那么必為或參考答案：1辨別題（1）一階，非線性 （2）一階，非線性 （3）四階，線性（4）三階，非線性 （5）二階，非線性 （6）一階，非線性2填空題 （1） （2）（3） （4）3單選題（1）B （2）C （3）A （4）B （5）. A （6）. B 7. A4. 計算題（1）解 當(dāng)時，分離變量得 等式兩端積分得 即通解為 （2）解 齊次方程的通解為 令非齊次方程的特解為 代入原方程，確定出 原方程的通解為 + （3）解 由于，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通積分為 即 （4）. 令，則，代入原方程，得 ， 當(dāng)時，分離變量，再積分，得 ，即： 5. 計算題 令，則原方程的參數(shù)形式為 由基本關(guān)系式 ，有 積分得 得原方程參數(shù)形式通解為 5計算題解 方程的特征根為， 齊次方程的通解為 因為不是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，比較系數(shù)得 確定出 ， 原方程的通解為 6 . 證明題證明 由已知條件，方程在整個 平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件，因此，它的任一解都可延展到平面的無窮遠(yuǎn)。 （2分） 又由已知條件，知是方程的一個解。 （4分） 假如方程的非常