2013年江蘇省高考真題數(shù)學(xué)試卷及答案(理科).doc

A B C 1 A D E F 1 B 1 C A B C S G F E 2013 年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 卷卷 必做題部分必做題部分 一 填空題一 填空題 1 函數(shù) 4 2sin 3 xy的最小正周期為 2 設(shè) 2 2 iz i為虛數(shù)單位 則復(fù)數(shù)z的模為 3 雙曲線1 916 22 yx 的兩條漸近線的方程為 4 集合 1 0 1 共有 個子集 5 下圖是一個算法的流程圖 則輸出的n的值是 6 抽樣統(tǒng)計甲 乙兩位設(shè)計運動員的 5 此訓(xùn)練成績 單位 環(huán) 結(jié)果如下 運動員第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次 甲 8791908993 乙 8990918892 則成績較為穩(wěn)定 方差較小 的那位運動員成績的方差為 7 現(xiàn)在某類病毒記作 nmY X 其中正整數(shù)m n 7 m 9 n 可以任意選取 則nm 都取到奇 數(shù)的概率為 8 如圖 在三棱柱ABCCBA 111 中 FED 分別是 1 AAACAB 的中點 設(shè)三棱錐ADEF 的體積為 1 V 三棱柱ABCCBA 111 的體積為 2 V 則 21 V V 9 拋物線 2 xy 在1 x處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為D 包含三 角形內(nèi)部與邊界 若點 yxP是區(qū)域D內(nèi)的任意一點 則yx2 的取值范 圍是 10 設(shè)ED 分別是ABC 的邊BCAB 上的點 ABAD 2 1 BCBE 3 2 若 ACABDE 21 21 為實數(shù) 則 21 的值為 11 已知 xf是定義在R上的奇函數(shù) 當(dāng)0 x時 xxxf4 2 則不等式xxf 的解集用區(qū)間 表示為 12 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 右焦點為F 右準(zhǔn)線 為l 短軸的一個端點為B 設(shè)原點到直線BF的距離為 1 d F到l的距離為 2 d 若 12 6dd 則橢 圓C的離心率為 13 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 設(shè)定點 aaA P是函數(shù) x y 1 0 x 圖象上一動點 若點 AP 之間的最短距離為22 則滿足條件的實數(shù)a的所有值為 14 在正項等比數(shù)列 n a中 2 1 5 a 3 76 aa 則滿足 nn aaaaaa 2121 的最大正整數(shù) n 的值為 二 解答題 15 本小題滿分 14 分 已知 cos sin cos sin ab 0 1 若 2ab 求證 ab 2 設(shè) 0 1 c 若abc 求 的值 16 本小題滿分 14 分 如圖 在三棱錐ABCS 中 平面 SAB平面SBC BCAB x y A l O C B A ABAS 過A作SBAF 垂足為F 點GE 分別是棱SCSA 的中點 求證 1 平面 EFG平面ABC 2 SABC 17 本小題滿分 14 分 如圖 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 點 3 0 A 直線 42 xyl 設(shè)圓C的半徑為1 圓心在l上 1 若圓心C也在直線1 xy上 過點A作圓C的切線 求切線的方程 2 若圓C上存在點M 使MOMA2 求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍 18 本小題滿分 16 分 如圖 游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑 一種是從A沿直 線步行到C 另一種是先從A沿索道乘纜車到B 然后從B沿直線步行到C 現(xiàn)有甲 乙兩位游客從 A處下山 甲沿AC勻速步行 速度為min 50m 在甲出發(fā)min2后 乙從A乘纜車到B 在B處停 留min1后 再從勻速步行到C 假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為min 130m 山路AC長為m1260 經(jīng)測量 13 12 cos A 5 3 cos C 1 求索道AB的長 2 問乙出發(fā)多少分鐘后 乙在纜車上與甲的距離最短 3 為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘 乙步行 的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi) 19 本小題滿分 16 分 設(shè) n a是首項為a 公差為d的等差數(shù)列 0 d n S是其前n項和 記 cn nS b n n 2 Nn 其中c為實數(shù) 1 若0 c 且 421 bbb 成等比數(shù)列 證明 knk SnS 2 Nnk 2 若 n b是等差數(shù)列 證明 0 c 20 本小題滿分 16 分 設(shè)函數(shù)axxxf ln axexg x 其中a為實數(shù) 1 若 xf在 1 上是單調(diào)減函數(shù) 且 xg在 1 上有最小值 求a的取值范圍 2 若 xg在 1 上是單調(diào)增函數(shù) 試求 xf的零點個數(shù) 并證明你的結(jié)論 卷卷 附加題部分附加題部分 選做題 第 21 題 本題包括 A B C D 四小題 請選定其中兩題 并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答 若 多做 則按作答的前兩題評分 解答時應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 21 A 選修 4 1 幾何證明選講 本小題滿分 10 分 如圖 AB和BC分別與圓O相切于點D C AC經(jīng)過圓心O 且2BCOC 求證 2ACAD 21 B 選修 4 2 矩陣與變換 本小題滿分 10 分 已知矩陣 1 01 2 020 6 AB 求矩陣BA 1 21 C 選修 4 4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 本小題滿分 10 分 在平面直角坐標(biāo)系xoy中 直線l的參數(shù)方程為 ty tx 2 1 t為參數(shù) 曲線 C 的參數(shù)方程為 tan2 tan2 2 y x 為參數(shù) 試求直線l與曲線 C 的普通方程 并求出它們的公共點的坐標(biāo) 21 D 選修 4 5 不定式選講 本小題滿分 10 分 已知ba 0 求證 baabba 2233 22 必做題 第 22 23 題 每題 10 分 共 20 分 請在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答 若多做 解答時應(yīng)寫出文 字說明 證明過程或演算步驟 22 本小題滿分 10 分 如圖 在直三棱柱 111 ABCABC 中 ACAB 2 ACAB 4 1 AA 點D是BC的中點 1 求異面直線BA1與DC1所成角的余弦值 2 求平面 1 ADC與 1 ABA所成二面角的正弦值 23 本小題滿分 10 分 設(shè)數(shù)列 122 3 3 34444 n a 1 1 1 1 k kk kk 個 即當(dāng) 11 22 kkk k n kN 時 1 1 k n ak 記 12nn Saaa nN 對于lN 定義集合 l P1 nn n SanNnl 是的整數(shù)倍 且 1 求集合 11 P中元素的個數(shù) 2 求集合 2000 P中元素的個數(shù) 參考答案參考答案 一 填空題 1 2 5 3 xy 4 3 4 8 5 3 6 2 7 20 63 8 1 24 9 2 1 2 10 1 2 11 50 5 12 3 3 13 1 或10 14 12 二 解答題 15 解 1 2 ba 2 2 ba 即 22 222 bbaaba 又 1sincos 222 2 aa 1sincos 222 2 bb 222 ba 0 ba b a 2 1 0 sinsin cos cosba 1sinsin 0coscos 即 sin1sin coscos 兩邊分別平方再相加得 sin221 2 1 sin 2 1 sin 0 6 1 6 5 16 證明 1 ABAS SBAF F 分別是 SB 的中點 E F 分別是 SA SB 的中點 EF AB 又 EF 平面 ABC AB 平面 ABC EF 平面 ABC 同理 FG 平面 ABC 又 EF FG F EF FG 平面 ABC 平面 EFG平面ABC 2 平面 SAB平面SBC 平面SAB 平面SBC BC AF 平面 SAB AF SB AF 平面 SBC 又 BC 平面 SBC AF BC 又 BCAB AB AF A AB AF 平面 SAB BC 平面 SAB 又 SA 平面 SAB BC SA 17 解 1 由 1 42 xy xy 得圓心 C 為 3 2 圓C的半徑為1 圓C的方程為 1 2 3 22 yx 顯然切線的斜率一定存在 設(shè)所求圓 C 的切線方程為3 kxy 即03 ykx 1 1 323 2 k k 113 2 kk 0 34 2 kk 0 k或者 4 3 k 所求圓 C 的切線方程為 3 y或者3 4 3 xy即3 y或者01243 yx 2 解 圓C的圓心在在直線42 xyl上 所以 設(shè)圓心 C 為 a 2a 4 則圓C的方程為 1 42 2 2 ayax 又 MOMA2 設(shè) M 為 x y 則 2222 2 3 yxyx 整理得 4 1 22 yx設(shè)為圓 D 點 M 應(yīng)該既在圓 C 上又在圓 D 上 即 圓 C 和圓 D 有交點 12 1 42 12 2 2 aa 由0885 2 aa得Rx 由0125 2 aa得 5 12 0 x 終上所述 a的取值范圍為 5 12 0 18 解 1 13 12 cos A 5 3 cos C 2 0 CA 13 5 sin A 5 4 sin C 65 63 sincoscossinsinsinsin CACACACAB 根據(jù) sinBsinC ACAB 得mC AC AB1040sin sinB 2 設(shè)乙出發(fā) t 分鐘后 甲 乙距離為 d 則 13 12 50100 1302 50100 130 222 ttttd 507037 200 22 ttd 130 1040 0 t即80 t 37 35 t時 即乙出發(fā) 37 35 分鐘后 乙在纜車上與甲的距離最短 3 由正弦定理 sinBsinA ACBC 得500 13 5 65 63 1260 sin sinB A AC BC m 乙從 B 出發(fā)時 甲已經(jīng)走了 50 2 8 1 550 m 還需走 710 m 才能到達(dá) C 設(shè)乙的步行速度為 V min m 則3 50 710500 v 3 50 710500 3 v 14 625 43 1250 v 為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘 乙步行的速度應(yīng)控制在 14 625 43 1250 范圍內(nèi) 法二 解 解 1 如圖作 BD CA 于點 D 設(shè) BD 20k 則 DC 25k AD 48k AB 52k 由 AC 63k 1260m 知 AB 52k 1040m 2 設(shè)乙出發(fā) x 分鐘后到達(dá)點 M 此時甲到達(dá) N 點 如圖所示 則 AM 130 x AN 50 x 2 由余弦定理得 MN2 AM2 AN2 2 AM ANcosA 7400 x2 14000 x 10000 其中 0 x 8 當(dāng) x min 時 MN 最小 此時乙在纜車上與甲的距離最短 35 37 3 由 1 知 BC 500m 甲到 C 用時 min 1260 50 126 5 若甲等乙 3 分鐘 則乙到 C 用時 3 min 在 BC 上用時 min 126 5 141 5 86 5 此時乙的速度最小 且為 500 m min 86 5 1250 43 若乙等甲 3 分鐘 則乙到 C 用時 3 min 在 BC 上用時 min 126 5 111 5 56 5 此時乙的速度最大 且為 500 m min 56 5 625 14 故乙步行的速度應(yīng)控制在 范圍內(nèi) 1250 43 625 14 19 證明 n a是首項為a 公差為d的等差數(shù)列 0 d n S是其前n項和 d nn naSn 2 1 1 0 c d n a n S b n n 2 1 421 bbb 成等比數(shù)列 41 2 2 bbb 2 3 2 1 2 daada 0 4 1 2 1 2 dad 0 2 1 2 1 dad 0 d da 2 1 ad2 ana nn nad nn naSn 2 2 2 1 2 1 左邊 aknankSnk 222 右邊 aknSn k 222 左邊 右邊 原式成立 2 n b是等差數(shù)列 設(shè)公差為 1 d 11 1 dnbbn 帶入 cn nS b n n 2 得 11 1 dnb cn nSn 2 2 1 2 1 111 2 11 3 1 bdcncdndadbndd 對 Nn恒成立 0 0 0 2 1 0 2 1 11 1 11 1 bdc cd dadb dd 由 式得 dd 2 1 1 0 d 0 1 d 由 式得 0 c 法二 證 1 若0 c 則dnaan 1 2 2 1 adnn Sn 2 2 1 adn bn 當(dāng) 421 bbb 成等比數(shù)列 41 2 2 bbb 即 2 3 2 2 d aa d a 得 add2 2 又0 d 故ad2 由此 anSn 2 aknankSnk 222 aknSn k 222 故 knk SnS 2 Nnk 2 cn adn n cn nS b n n 2 2 2 2 2 1 cn adn c adn c adn n 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 cn adn c adn 2 2 2 1 2 2 1 C B A D M N 若 n b是等差數(shù)列 則BnAnbn 型 觀察 式后一項 分子冪低于分母冪 故有 0 2 2 1 2 cn adn c 即0 2 2 1 adn c 而 2 2 1 adn 0 故0 c 經(jīng)檢驗 當(dāng)0 c時 n b是等差數(shù)列 20 解 1 由0 1 a x xf即a x 1 對 1 x恒成立 max 1 x a 而由 1 x知 x 1 1 1 a 由aexg x 令0 xg則axln 當(dāng)x aln時 xg 0 當(dāng)x aln時 xg 0 xg在 1 上有最小值 aln 1 a e 綜上所述 a的取值范圍為 e 2 證明 xg在 1 上是單調(diào)增函數(shù) 0 aexg x 即 x ea 對 1 x恒成立 min x ea 而當(dāng) 1 x時 x e e 1 e a 1 分三種情況 當(dāng)0 a時 x xf 1 0 f x 在 0 x上為單調(diào)增函數(shù) 0 1 f f x 存在唯一零點 當(dāng)a 0 時 a x xf 1 0 f x 在 0 x上為單調(diào)增函數(shù) 1 aaa eaaeaef 0 且af 1 0 f x 存在唯一零點 當(dāng) 0 e a 1 時 a x xf 1 令0 xf得 a x 1 當(dāng) 0 x a 1 時 x a xa xf 1 0 x a 1 時 x a xa xf 1 0 a x 1 為最大值點 最大值為1ln 11 ln 1 a a a aa f 當(dāng)01ln a時 01ln a e a 1 xf有唯一零點e a x 1 當(dāng)1ln a 0 時 0 e a 1 xf有兩個零點 實際上 對于 0 e a 1 由于 e a e a ee f 1 11 ln 1 0 1ln 11 ln 1 a a a aa f 0 且函數(shù)在 ae 1 1 上的圖像不間斷 函數(shù) xf在 ae 1 1 上有存在零點 另外 當(dāng) a x 1 0 a x xf 1 0 故 xf在 a 1 0上單調(diào)增 xf在 a 1 0只有一個零點 下面考慮 xf在 1 a 的情況 先證 lnln 11111 21 aaaaa eaaaeeaaeeef 0 為此我們要證明 當(dāng)x e時 x e 2 x 設(shè) 2 xexh x 則xexh x 2 再設(shè) xexl x 2 2 x exl 當(dāng)x 1 時 2 x exl e 2 0 xexl x 2 在 1上是單調(diào)增函數(shù) 故當(dāng)x 2 時 xexh x 2 4 2 2 eh 0 從而 2 xexh x 在 2上是單調(diào)增函數(shù) 進(jìn)而當(dāng)x e時 2 xexh x 2 eeeh e 0 即當(dāng)x e時 x e 2 x 當(dāng) 0 a e 1 時 即 1 a e 時 lnln 11111 21 aaaaa eaaaeeaaeeef 0 又1ln 11 ln 1 a a a aa f 0 且函數(shù) xf在 1 1 a ea上的圖像不間斷 函數(shù) xf在 1 1 a ea上有存在零點 又當(dāng)x a 1 時 x a xa xf 1 0 故 xf在 1 a上 是單調(diào)減函數(shù) 函數(shù) xf在 1 a只有一個零點 綜合 知 當(dāng)0 a時 xf的零點個數(shù)為 1 當(dāng) 0 a e 1 時 xf的零點個數(shù)為 2 21 A 證明 連接 OD AB 與 BC 分別與圓 O 相切于點 D 與 C 0 90 ACBADO 又 AA ADORT ACBRT AD AC OD BC 又 BC 2OC 2OD AC 2AD 21 B 解 設(shè)矩陣 A 的逆矩陣為 dc ba 則 20 01 dc ba 10 01 即 dc ba 22 10 01 故 a 1 b 0 c 0 d 2 1 矩陣 A 的逆矩陣為 2 1 0 01 1 A BA 1 2 1 0 01 60 21 30 21 21 C 解 直線l的參數(shù)方程為 ty tx 2 1 消去參數(shù)t后得直線的普通方程為022 yx 同理得曲線 C 的普通方程為xy2 2 聯(lián)立方程組解得它們公共點的坐標(biāo)為 2 2 1 2 1 21 D 證明 baabba 2233 22 22 3223 bbaaba 2 2222 babbaa 2 2 22 bababababa 又 ba 0 ba 0 0 ba02 ba 0 2 bababa 022 2233 baabba baabba 2233 22 22 本題主要考察異面直線 二面角 空間向量等基礎(chǔ)知識以及基本運算 考察運用空間向量解決問題 的能力 解 1 以 1 AAACAB為為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系xyzA 則 0 0 0 A 0 0 2 B 0 2 0 C 4 0 0 1 A 0 1 1 D 4 2 0 1 C 4 0 2 1 BA 4 1 1 1 BA 10 103 1820 18 cos 11 11 11 DCBA DCBA DCBA 異面直線BA1與DC1所成角的余弦值為 10 103 2 0 2 0 AC 是平面 1 ABA的的一個法向量 設(shè)平面 1 ADC的法向量為 zyxm 0 1 1 AD 4 2 0 1 AC 由 1 ACmADm 042 0 zy yx 取1 z 得2 2 xy 平面 1 ADC的法向量為 1 2 2 m 設(shè)平面 1 ADC與 1 ABA所成二面角為 3 2 32 4 coscos mAC mAC mAC 得 3 5 sin 平面 1 ADC與 1 ABA所成二面角的正弦值為 3 5 23 本題主要考察集合 數(shù)列的概念與運算 計數(shù)