數(shù)學(xué)人教版九年級上冊實際問題與一元二次方程.3實際問題與一元二次方程（3）.doc

21.3實際問題與一元二次方程（3）大荔縣洛濱中學(xué) 宋冰教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課主要學(xué)習(xí)根據(jù)面積與面積之間的關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并解決這類幾何圖形問題。教學(xué)目標(biāo) 知識技能1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型2.能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結(jié)果是否合理 數(shù)學(xué)思考經(jīng)歷將實際問題抽象為代數(shù)問題的過程，探索問題中的數(shù)量關(guān)系，并能運用一元二次方程對之進(jìn)行描述。解決問題 通過解決封面設(shè)計與草坪規(guī)劃的實際問題，學(xué)會將實際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐應(yīng)用意識情感態(tài)度通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的價值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，了解數(shù)學(xué)對促進(jìn)社會進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用 重難點、關(guān)鍵重點：列一元二次方程解有關(guān)問題的應(yīng)用題難點：發(fā)現(xiàn)問題中的等量關(guān)系關(guān)鍵：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型教學(xué)準(zhǔn)備 教師準(zhǔn)備：制作課件，精選習(xí)題 學(xué)生準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)有關(guān)知識，預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容 教學(xué)過程一、 復(fù)習(xí)引入【問題】1直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式是什么呢？ 2正方形的面積公式是什么呢？長方形的面積公式又是什么？ 3梯形的面積公式是什么？ 4菱形的面積公式是什么？ 5平行四邊形的面積公式是什么？ 6圓的面積公式是什么？【活動方略】教師演示課件，給出題目學(xué)生口答，老師點評?！驹O(shè)計意圖】復(fù)習(xí)一些簡單幾何圖形的面積公式，為繼續(xù)學(xué)習(xí)建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并解決幾何圖形問題作好鋪墊二、 探索新知【問題情境】問題1要設(shè)計一本書的封面，封面長 27 cm，寬 21 cm，正中央是一個矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下、左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度？【分析】（1）本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？（2）本題的等量關(guān)系式是？（3）如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程？（4）解方程并得出結(jié)論，對比幾種方法各有什么特點？【解答】解：可設(shè)四周邊襯的寬度為 x cm，則中央矩形的面積可以表示為（27-2x）(21-2x)方程為2721（27-2x）(21-2x)= 2721方法二：（27-2x）(21-2x)= 2721【設(shè)計意圖】在課本內(nèi)容的基礎(chǔ)上加上問題1，是為了讓學(xué)生先會解四周邊襯等寬的面積應(yīng)用題，然后在處理課本上的問題，由易到難，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。問題2要設(shè)計一本書的封面，封面長27 cm ,寬21 cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？ 【分析】（1）本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？（2）如何理解“正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形”？（3）如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程？（4）解方程并得出結(jié)論，對比幾種方法各有什么特點？ 【解答】依據(jù)題意知：中央矩形的長寬之比等于封面的長寬之比9：7，由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，則左、右邊襯的寬均為7xcm，依題意，得：中央矩形的長為（27-18x）cm，寬為（21-14x）cm 因為四周的彩色邊襯所點面積是封面面積的，則中央矩形的面積是封面面積的 所以（27-18x）（21-14x）=2721 整理，得：16x2-48x+9=0 解方程，得：x=， x12.8cm，x20.2 所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm因此，上下邊襯的寬均為1.8cm，左、右邊襯的寬均為1.4cm【思考】如果換一種設(shè)未知數(shù)的方法，是否可以更簡單的解決上面的問題？請你試一試。提示：可以考慮其他解法。例如，設(shè)中央矩形的長和寬分別為9 xcm,7xcm.列方程9x7x=2721.【活動方略】教師提出問題學(xué)生分組，分別按問題（3）中所列的方程來解答，選代表展示解答過程，并講解解題過程和應(yīng)注意問題在活動中，教師應(yīng)注意：（1）學(xué)生對幾何圖形的分析能力；（2）學(xué)生在未知數(shù)的選擇上，能否根據(jù)情況，靈活處理；（3）在討論中能否互相合作；（4）解答一元二次方程的能力；（5）學(xué)生回答問題時的語言表達(dá)是否準(zhǔn)確【設(shè)計意圖】使學(xué)生通過多種方法解幾何圖形問題，驗證多種方法的正確性；通過解題過程的對比，體會對已知數(shù)量關(guān)系的適當(dāng)變形對解題的影響，豐富解題經(jīng)驗 三、 反饋練習(xí) 1某林場計劃修一條長750m，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2，上口寬比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m （1）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？ （2）如果計劃每天挖土48m3，需要多少天才能把這條渠道挖完？2有一張長方形的桌子，長6尺，寬3尺，有一塊臺布的面積是桌面面積的2倍，并且鋪在桌面上時，各邊垂下的長度相同，求臺布的長和寬各是多少?（精確到01尺）【活動方略】學(xué)生獨立思考、獨立解題 教師巡視、指導(dǎo)，并選取兩名學(xué)生上臺書寫解答過程（或用投影儀展示學(xué)生的解答過程）【設(shè)計意圖】檢查學(xué)生對所學(xué)知識的掌握情況.四、 應(yīng)用拓展例1：如圖，某中學(xué)為方便師生活動，準(zhǔn)備在長30 m，寬20 m的矩形草坪上修兩橫兩縱四條小路，橫縱路的寬度之比為32，若使余下的草坪面積是原來草坪面積的四分之三，則路寬應(yīng)為多少？ 【分析】（1） 本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？（2）由這些數(shù)量關(guān)系還能得到什么新的結(jié)論？你想如何利用這些數(shù)量關(guān)系？為什么？如何列方程？（3）對比下列兩個圖形，它們有什么聯(lián)系與區(qū)別？【活動方略】學(xué)生分組討論，畫圖，上臺演示教師與學(xué)生一起評價，總結(jié)圖形變換的基本原則【設(shè)計意圖】進(jìn)一步提升學(xué)生在活動1中的學(xué)習(xí)效果，使學(xué)生充分體會圖形變換的靈活性，培養(yǎng)學(xué)生對圖形的觀察、聯(lián)想能力。五、 小結(jié)作業(yè)1問題：通過本課的學(xué)習(xí)，大家有什么新的收獲和體會？本節(jié)課應(yīng)掌握： 利用已學(xué)的特殊圖形的面積公式建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運用它解決實際問題2作