函數(shù)的奇偶性和周期性教案練習題[1].doc

題目 第二章函數(shù)函數(shù)的奇偶性與周期性高考要求 了解函數(shù)奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性的方法掌握函數(shù)的奇偶性的定義及圖象特征，并能判斷和證明函數(shù)的奇偶性，能利用函數(shù)的奇偶性解決問題了解周期函數(shù)的定義及定義域一定是無限集. 會判斷函數(shù)的周期性，能夠出周期函數(shù)的最小正周期.課時 3節(jié)難點：函數(shù)的單調性和奇偶性，周期性等知識的綜合運用一、函數(shù)的奇偶性知識點歸納 1函數(shù)的奇偶性的定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內的任意一個x, 都有f(-x)=f(x), 那么函數(shù)f(x)就叫偶函數(shù).如果對于函數(shù)f(x)定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫奇函數(shù).2奇偶函數(shù)的性質：（1）定義域關于原點對稱；（2）偶函數(shù)的圖象關于軸對稱，奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；3為偶函數(shù)；若奇函數(shù)的定義域包含，則“f(x)為奇函數(shù)”是f(0)=0的非充分非必要條件；4判斷函數(shù)的奇偶性的方法：(1)定義法：若函數(shù)的定義域不是關于原點的對稱區(qū)間，則立即判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)； 若函數(shù)的定義域是關于原點的對稱區(qū)間，再判斷f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x)是否成立判斷函數(shù)的奇偶性有時可以用定義的等價形式：，(2)圖像法：奇（偶）函數(shù)的充要條件是它的圖像關于原點（或y軸）對稱.5設，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇應用舉例1、常見函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)：（為常數(shù)），為常數(shù)）偶函數(shù)：（為常數(shù)），時既為奇函數(shù)又為偶函數(shù)（，（，（為常數(shù)），非奇非偶函數(shù)：，既奇又偶函數(shù)：2、對奇偶性定義的理解例1 下面四個結論：偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；奇函數(shù)的圖象一定通過原點；偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(xR)，其中正確命題的個數(shù)是( )A1 B2 C3 D4分析：偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，但不一定相交，因此正確，錯誤;奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，但不一定經過原點，因此不正確;若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定xR，故錯誤，選A練習：1、（2007全國），是定義在R上的函數(shù)，則“，均為偶函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的BA.充要條件B.充分而不必要的條件C.必要而不充分的條件D.既不充分也不必要的條件解析:f(x)、g(x)均為偶函數(shù),f(x)=f(x),g(x)=g(x).h(x)=f(x)+g(x)=f(x)+g(x)=h(x).h(x)為偶函數(shù).但若h(x)=h(x),即f(x)+g(x)=f(x)+g(x),不一定f(x)=f(x),g(x)=g(x), 例f(x)=x2+x,g(x)=x.2、（2007江蘇）設f（x）=lg（）是奇函數(shù)，則使f（x）0的x的取值范圍是AA.（-1，0）B.（0，1）C.（-，0）D.（-，0）（1，+）解析:f(x)為奇函數(shù),f(0)=0.解之,得a=1.f(x)=lg. 令f(x)0,則01,x(1,0).3、已知函數(shù)解析式，判斷或證明函數(shù)的奇偶性例2判斷下列函數(shù)的奇偶性(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a (3) f(x)=3x+1 (4) f(x)=x2 ，x- 4 , 4)，（5）例3判斷下列各函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；解：（1）由，得定義域為，關于原點不對稱，為非奇非偶函數(shù)（2）由得定義域為， 為偶函數(shù) 練習：1、判斷函數(shù) f ( x ) = 的奇偶性解：由題= f ( x ) 函數(shù)的定義域為 1 , 0 ) ( 0 , 1 此時 f ( x ) = 故 f ( x ) 是奇函數(shù)4、抽象函數(shù)奇偶性的判定與證明例4（2007北京西城）已知函數(shù)對一切，都有，（1）求證：是奇函數(shù)；（2）若，用表示解：（1）顯然的定義域是，它關于原點對稱在中，令，得，令，得，即， 是奇函數(shù)（2）由，及是奇函數(shù)，得例5(2006年遼寧)設是上的任意函數(shù)，下列敘述正確的是（C）是奇函數(shù) 是奇函數(shù)是偶函數(shù) 是偶函數(shù)解：據奇偶函數(shù)性質：易判定f（x）f（-x）是偶函數(shù)，f（x）-f（-x）是奇函數(shù)f（x）|f（-x）|的奇偶取決于f（x）的性質，只有f（x）+f（-x）是偶函數(shù)正確。5、利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式或求值例6、已知f(x)是奇函數(shù)，且當x0時，f(x)=x|x-2|，求x0時，f(x)=x|x-2|，當x0時，f(x)- f(-x)- (-x)|(-x)-2|=x|x+2|.練習：已知是上的奇函數(shù)，且當時，則的解析式為例7（2007黃岡中學月考）已知函數(shù)，求+的值解：由得函數(shù)的定義域是又成立，函數(shù)是奇函數(shù)+=0 +=0+ =0例8（2007海南、寧夏）設函數(shù)為奇函數(shù)，則1解析:f(x)=, f (x)= 又f(x)為奇函數(shù),f (x)=f (x).=. a=1.練習：已知是偶函數(shù)，定義域為，則，b=0解： ，6、偶函數(shù)性質的應用偶函數(shù)圖象關于y軸對稱，運用可將偶函數(shù)問題轉化至的范圍解決。例9、設定義在-2,2上的偶函數(shù)在區(qū)間0,2 上單調遞減，若，求實數(shù)的取值范圍。解：又當時，是減函數(shù) 練習：已知是偶函數(shù)，當時，為增函數(shù)，若，且，則 （ ） 二、函數(shù)的周期性知識點歸納 定義：若T為非零常數(shù)，對于定義域內的任一x，使恒成立 則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期 一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無限集 常見函數(shù)周期:y=sinx，最小正周期T2； y=cosx，最小正周期T2； y=tanx，最小正周期T； y=cotx，最小正周期T.周期函數(shù)變換后的周期周期函數(shù)f(x) 最小正周期為T,則 y=Af(x+)+k的最小正周期為T/|.例10 已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(xm)f(x),求證:2m是f(x)的一個周期.證明：因為f(xm)f(x)所以，f(x2m)f(xm)m f(xm) f(x)所以f(x)是以2m為周期的周期函數(shù).練習：1 、已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(xm)f(x-m),求證:2m是f(x)的一個周期證明：因為f(xm)f(x-m)所以，f(x2m)f(xm)mf(xm)-mf(x)所以f(x)是以2m為周期的周期函數(shù).以上兩題可作為結論記，注意f(xm)f(x-m)與f(m x)f(m-x)的區(qū)別，f(m x)f(m-x)是f(x)圖像的對稱軸2、已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有 ，求證:2m是f(x)的一個周期.證明：由已知f(x2m)f(xm)m所以f(x)是以2m為周期的周期函數(shù).3、設偶函數(shù)對任意，都有，且當時，,則的值為(D)A. B. C. D.解：三、函數(shù)奇偶性、單調性、周期性綜合運用例11 已知 f ( x ) 是偶函數(shù)，而且在 ( , 0 ) 上是增函數(shù)，問 f ( x ) 在 ( 0 ，+ ) 上是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：設 0 x 1 x 2 + 則 x 2 x 1 0 f ( x ) 在 ( , 0 ) 上是增函數(shù) f (x 2 ) f ( x 1 ) f ( x ) 是偶函數(shù) f ( x 2 ) f ( x 1 )故 f ( x ) 在( 0 ，+ ) 上是減函數(shù)知識點：偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上對稱性相同例12 函數(shù)是奇函數(shù)，且當時是增函數(shù)，若，求不等式的解集解： 又函數(shù)是奇函數(shù)，它在對稱區(qū)間上的單調性相同且 例13、已知是周期為4的偶函數(shù)，當時，求，解：，例14、（2005福建）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且,則方程f(x)=0在區(qū)間（0，6）內解的個數(shù)的最小值是D A2 B3 C4 D5解析：依題可知f（x）=f（x+3）.f（2）=f（5）=0.又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x）=f（x）.f（2）=f（2）=0.f（2）=f（1）=f（4）=0.又奇函數(shù)有f（0）=0，f（3）=f（6）=0.在（0，b）內f（x）=0解的個數(shù)最小值為5.練習：1、（2007重慶）已知定義域為R的函數(shù)f(x)在(8,+)上為減函數(shù),且函數(shù)y=f(x+8)為偶函數(shù),則DA.f(6)f(7) B.f(6)f(9) C.f(7)f(9) D.f(7)f(10)解析：y=f(x+8)為偶函數(shù)，y=f(x)圖象關于x=8對稱.又y=f(x)在(8，+)上為減函數(shù)，y=f(x)在(，8)上為增函數(shù).f(7)=f(9)，f(9)f(10).f(7)f(10).2、(2006山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)-f(x)，則f(6)的值為B(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析：f（x+2）=-f（x）.f（6）=f（4+2）=-f（4）=f（2）=-f（2）.又-f（x）為R上的奇函數(shù)，f（2）=0 f（6）=0. 3、（2005重慶）若函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使得的x的取值范圍是（D） A B C D（2，2）解析：f（2）=0且f（x）為偶函數(shù)，f