各種構(gòu)造解導(dǎo)數(shù)壓軸題.doc

活用構(gòu)造策略 進(jìn)入解題佳境例說(shuō)各種構(gòu)造法解決導(dǎo)數(shù)壓軸題古縣二中 林立飛摘 要：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高考的重要考點(diǎn)，不等式的恒成立問(wèn)題、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題，隨著課改的深入與高等數(shù)學(xué)背景有關(guān)的這些問(wèn)題也在考試中頻繁出現(xiàn)，這就需要一線教師對(duì)這些題型的解題規(guī)律進(jìn)行探究與歸納。 關(guān)鍵詞：函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；命題；構(gòu)造；參數(shù)；羅比達(dá)法則自從導(dǎo)數(shù)進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)教材之后，給傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)帶來(lái)了生機(jī)和活力，為中學(xué)數(shù)學(xué)研究提供了新的視角、新的方法和新的途徑，拓寬了高考的命題空間。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)，以及參數(shù)的取值范圍和證明不等式是近年高考數(shù)學(xué)考察重點(diǎn)和熱點(diǎn)。特別值得關(guān)注的是，近幾年的高考導(dǎo)數(shù)壓軸題，題型新穎別致、不落俗套，綜合了函數(shù)、不等式、數(shù)列、邏輯等知識(shí)。往往以含參問(wèn)題為載體，同時(shí)也蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、構(gòu)造等等數(shù)學(xué)思想方法，綜合考察學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，而且試題難度、深度和廣度試題還在不斷變化。如何進(jìn)行突破，是值得研究的課題。通過(guò)對(duì)大量高考題和模擬題的分析研究，筆者給出了各種構(gòu)造方法，能夠化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化抽象為具體，達(dá)到以不變應(yīng)萬(wàn)變的功效。本文所有例題，均只給出與本文相關(guān)的題目條件和方法。一、構(gòu)造函數(shù)，柳岸花明又一村構(gòu)造函數(shù)是解決抽象不等式的基本方法，根據(jù)題設(shè)的條件，并借助初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則，相應(yīng)地構(gòu)造出輔助函數(shù). 通過(guò)進(jìn)一步研究輔助函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，給予巧妙的解答.在導(dǎo)數(shù)題中體會(huì)構(gòu)造函數(shù)的數(shù)學(xué)價(jià)值。題型1：已知函數(shù)，R(I)討論函數(shù)的單調(diào)性；()當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍。(I)解（省略不談）。() 二、構(gòu)造子區(qū)間，端點(diǎn)分析顯奇效某些含參導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，如果追求一味的分離參數(shù)，往往很難奏效，但是假如從端點(diǎn)分析入手，發(fā)現(xiàn)端點(diǎn)是臨界情況，那么可以對(duì)端點(diǎn)進(jìn)行分析，找到解題突破口。題型2.：設(shè)函數(shù)，其中（1）討論單調(diào)性（2）確定的所有確定的值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立。解：對(duì)于第二問(wèn)：等價(jià)于令。由于，欲使得，成立，則在的端點(diǎn)右側(cè)，必存在子區(qū)間（范圍很小，下同），必須單調(diào)遞增，即在必須成立，由極限思想，所以，顯然是命題成立的必要條件。另一方面?？梢宰C明，當(dāng)，可得 恒成立。證明過(guò)程如下：令則=故在遞增，又，所以，即綜上，3、 構(gòu)造直線，突破重圍建奇功圖像是函數(shù)最直觀的模型，有些代數(shù)式經(jīng)變形后具備特定的幾何意義，這時(shí)候可以考慮分解出一次函數(shù)，利用直線與函數(shù)圖象相切，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求解,深刻揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)題型3：（2010全國(guó)卷理科壓軸題）設(shè)函數(shù)=( 1 ) 若當(dāng)=時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍。分析：（1）解略。( 2 ) 考慮第二問(wèn)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，由題意變形為，令，設(shè)（），則，所以在時(shí)單調(diào)遞增，從而，易知，由羅比達(dá)法則，作出函數(shù) 和圖象可知，只要，由羅比達(dá)法則，所以。解題思路總結(jié)：這里，選擇，沒(méi)有選擇，目的是使得參數(shù)出現(xiàn)在直線方程中。以導(dǎo)數(shù)為工具，研究曲線的單調(diào)性,分析變化趨勢(shì),然后在同一坐標(biāo)系中，作出曲線和直線，從直線與曲線的位置關(guān)系出發(fā)，一般觀察或者比較在端點(diǎn)處曲線的切線斜率的大小關(guān)系建立不等式，有時(shí)需要求極限值，甚至使用羅比達(dá)法則。四、構(gòu)造不等式，撥開(kāi)云霧見(jiàn)藍(lán)天：已知條件中涉及導(dǎo)數(shù)的含參不等式問(wèn)題頻繁出現(xiàn)在各類(lèi)考題中，格外引人關(guān)注，由于這類(lèi)問(wèn)題對(duì)思維的靈活性較高，常讓學(xué)生忘而生畏，這種題型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，常規(guī)方法很難奏效，那么需要我們對(duì)不等式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，找到解決的突破口。（2018廈門(mén)市質(zhì)檢題）：已知函數(shù)（1） 若，函數(shù)極大值為，求實(shí)數(shù)的值；（2） 若對(duì)任意的，在上恒成立，求實(shí)數(shù)b取值范圍。解：（1）問(wèn)略（2）當(dāng)，成立，由于，利用放縮法只需即可，這時(shí)候構(gòu)建不等式：， 可用構(gòu)造法先證明之，令，所以從而又只需要：，經(jīng)過(guò)觀察再構(gòu)建不等式，可用構(gòu)造法證明，令，所以，從而只要，因此此種方法對(duì)于一些既含有指數(shù)函數(shù)，又含有對(duì)數(shù)函數(shù)的題目比較實(shí)用，通過(guò)化簡(jiǎn)將二者進(jìn)行分離，對(duì)于后面求解最值可降低難度.但此種方法需要進(jìn)行合適的變形，這時(shí)需要讀者多嘗試幾種變形.總之，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題其所含知識(shí)往往涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等眾多高中數(shù)學(xué)主干知識(shí),在高考試卷上，它是以壓軸題的形式呈現(xiàn)的.由于其信息量、思維量、運(yùn)算量都比較大，解題方法往往有很強(qiáng)的綜合性和靈活性。需要具備較高的數(shù)學(xué)分析、解決問(wèn)題的能力.由以上各例可以看出，上述幾種方法不是相互排斥的，而是相輔相成的.在具體問(wèn)題中，往往是幾種方法互相配合