各種構造解導數(shù)壓軸題.doc

活用構造策略 進入解題佳境例說各種構造法解決導數(shù)壓軸題古縣二中 林立飛摘 要：函數(shù)與導數(shù)是高考的重要考點，不等式的恒成立問題、函數(shù)的零點問題、函數(shù)的極值點問題，隨著課改的深入與高等數(shù)學背景有關的這些問題也在考試中頻繁出現(xiàn)，這就需要一線教師對這些題型的解題規(guī)律進行探究與歸納。 關鍵詞：函數(shù)；導數(shù)；命題；構造；參數(shù)；羅比達法則自從導數(shù)進入中學數(shù)學教材之后，給傳統(tǒng)的中學數(shù)學帶來了生機和活力，為中學數(shù)學研究提供了新的視角、新的方法和新的途徑，拓寬了高考的命題空間。應用導數(shù)知識，研究函數(shù)的單調(diào)性、零點，以及參數(shù)的取值范圍和證明不等式是近年高考數(shù)學考察重點和熱點。特別值得關注的是，近幾年的高考導數(shù)壓軸題，題型新穎別致、不落俗套，綜合了函數(shù)、不等式、數(shù)列、邏輯等知識。往往以含參問題為載體，同時也蘊含了數(shù)形結合、分類討論、構造等等數(shù)學思想方法，綜合考察學生的分析問題和解決問題的能力，而且試題難度、深度和廣度試題還在不斷變化。如何進行突破，是值得研究的課題。通過對大量高考題和模擬題的分析研究，筆者給出了各種構造方法，能夠化復雜為簡單，化抽象為具體，達到以不變應萬變的功效。本文所有例題，均只給出與本文相關的題目條件和方法。一、構造函數(shù)，柳岸花明又一村構造函數(shù)是解決抽象不等式的基本方法，根據(jù)題設的條件，并借助初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的基本運算法則，相應地構造出輔助函數(shù). 通過進一步研究輔助函數(shù)的有關性質，給予巧妙的解答.在導數(shù)題中體會構造函數(shù)的數(shù)學價值。題型1：已知函數(shù)，R(I)討論函數(shù)的單調(diào)性；()當時，恒成立，求的取值范圍。(I)解（省略不談）。() 二、構造子區(qū)間，端點分析顯奇效某些含參導數(shù)問題，如果追求一味的分離參數(shù)，往往很難奏效，但是假如從端點分析入手，發(fā)現(xiàn)端點是臨界情況，那么可以對端點進行分析，找到解題突破口。題型2.：設函數(shù)，其中（1）討論單調(diào)性（2）確定的所有確定的值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立。解：對于第二問：等價于令。由于，欲使得，成立，則在的端點右側，必存在子區(qū)間（范圍很小，下同），必須單調(diào)遞增，即在必須成立，由極限思想，所以，顯然是命題成立的必要條件。另一方面。可以證明，當，可得 恒成立。證明過程如下：令則=故在遞增，又，所以，即綜上，3、 構造直線，突破重圍建奇功圖像是函數(shù)最直觀的模型，有些代數(shù)式經(jīng)變形后具備特定的幾何意義，這時候可以考慮分解出一次函數(shù)，利用直線與函數(shù)圖象相切，充分運用數(shù)形結合求解,深刻揭示數(shù)學問題的本質題型3：（2010全國卷理科壓軸題）設函數(shù)=( 1 ) 若當=時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若當時，求的取值范圍。分析：（1）解略。( 2 ) 考慮第二問，因為當時，恒成立當時，由題意變形為，令，設（），則，所以在時單調(diào)遞增，從而，易知，由羅比達法則，作出函數(shù) 和圖象可知，只要，由羅比達法則，所以。解題思路總結：這里，選擇，沒有選擇，目的是使得參數(shù)出現(xiàn)在直線方程中。以導數(shù)為工具，研究曲線的單調(diào)性,分析變化趨勢,然后在同一坐標系中，作出曲線和直線，從直線與曲線的位置關系出發(fā)，一般觀察或者比較在端點處曲線的切線斜率的大小關系建立不等式，有時需要求極限值，甚至使用羅比達法則。四、構造不等式，撥開云霧見藍天：已知條件中涉及導數(shù)的含參不等式問題頻繁出現(xiàn)在各類考題中，格外引人關注，由于這類問題對思維的靈活性較高，常讓學生忘而生畏，這種題型結構復雜，常規(guī)方法很難奏效，那么需要我們對不等式的結構進行分析，找到解決的突破口。（2018廈門市質檢題）：已知函數(shù)（1） 若，函數(shù)極大值為，求實數(shù)的值；（2） 若對任意的，在上恒成立，求實數(shù)b取值范圍。解：（1）問略（2）當，成立，由于，利用放縮法只需即可，這時候構建不等式：， 可用構造法先證明之，令，所以從而又只需要：，經(jīng)過觀察再構建不等式，可用構造法證明，令，所以，從而只要，因此此種方法對于一些既含有指數(shù)函數(shù)，又含有對數(shù)函數(shù)的題目比較實用，通過化簡將二者進行分離，對于后面求解最值可降低難度.但此種方法需要進行合適的變形，這時需要讀者多嘗試幾種變形.總之，導數(shù)及其應用是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，是進一步學習高等數(shù)學的重要基礎.函數(shù)與導數(shù)綜合題其所含知識往往涉及函數(shù)、導數(shù)、方程、不等式等眾多高中數(shù)學主干知識,在高考試卷上，它是以壓軸題的形式呈現(xiàn)的.由于其信息量、思維量、運算量都比較大，解題方法往往有很強的綜合性和靈活性。需要具備較高的數(shù)學分析、解決問題的能力.由以上各例可以看出，上述幾種方法不是相互排斥的，而是相輔相成的.在具體問題中，往往是幾種方法互相配合