向量在高中數(shù)學(xué)中的作用.doc

向量在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用 作為新課程改革，高中數(shù)學(xué)教材的兩個(gè)顯著變化就是“向量和導(dǎo)數(shù)”的引入.其目的也很明確：為研究函數(shù)、空間圖形，提供新的研究手段，即充分體現(xiàn)它們的工具性.但這種“工具性”，只有在深刻理解的基礎(chǔ)上才能用好，而要想用活，這又需要我們?cè)趯?shí)踐中不斷“開(kāi)發(fā)”新的認(rèn)識(shí)，豐富知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成較完善的“認(rèn)知模塊”、“知識(shí)體系”.，極大地豐富了關(guān)于空間向量的“數(shù)量積”這一運(yùn)算的“認(rèn)知模塊”的內(nèi)涵.對(duì)教材引進(jìn)空間向量的“坐標(biāo)法”來(lái)解決空間中“三大角”問(wèn)題，我們的學(xué)生可以說(shuō)是欣喜若狂啊，因?yàn)閷W(xué)生覺(jué)得這種方法好！可操作性強(qiáng)?。ㄖ灰芙ㄏ担凶鴺?biāo)就行?。┑趯?shí)際應(yīng)用中，學(xué)生覺(jué)得這些結(jié)論不易理解，加上這些結(jié)論只能逐步形成和完善，靠死記硬背吧，今天記了明天又忘了！等到用時(shí)，仍是“生硬、呆板”，甚至張冠李戴.如何突破這一問(wèn)題？我認(rèn)為其根本原因是：在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)里，這一性質(zhì)未能如愿地形成“知識(shí)鏈”.那么，這一性質(zhì)是怎樣與相關(guān)問(wèn)題產(chǎn)生“對(duì)接或聯(lián)系”的呢？（1）它是空間三大角（即線線角、線面角、二面角的平面角）用向量法求解的“對(duì)接點(diǎn)”.11線線角的求法的新認(rèn)識(shí)：我們把這兩條線賦予恰當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)向量，問(wèn)題就化歸為兩個(gè)向量的夾角（兩個(gè)向量所成的角的范圍為），即,我們能否加以重新認(rèn)識(shí)這個(gè)公式呢？如圖，AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq，此時(shí)OB1可以看作是與方向上的單位向量的數(shù)量積，這就是由數(shù)量積這條性質(zhì)滋生而成的；故此結(jié)論重新可以理解為：（這里剛好滿足三角函數(shù)中余弦的定義：鄰邊比斜邊）.12線面角的求法的新認(rèn)識(shí)：naAPOq（其中為平面的一個(gè)法向量），此結(jié)論重新可以理解為：，此時(shí)OP又可以看作是在上的投影，即與方向上的單位向量的數(shù)量積，故（這里剛好滿足三角函數(shù)中正弦的定義：對(duì)邊比斜邊）.13二面角的平面角的求法的新認(rèn)識(shí)：=（其中是兩二面角所在平面的各一個(gè)法向量）此結(jié)論重新可以理解為：（這里剛好滿足三角函數(shù)中余弦的定義：鄰邊比斜邊）.三大角的統(tǒng)一理解：、其從上述梳理完全可以看出其本質(zhì)特征：這里的“空間角”的求法，完全與直角三角形中的三角函數(shù)的“正弦或余弦的定義”發(fā)生了對(duì)接對(duì)邊或鄰邊就是斜邊的向量在此邊向量上的投影，即斜邊向量與對(duì)邊或鄰邊方向上的單位向量的數(shù)量積，而理解與掌握這里的“空間角”的直角三角形的構(gòu)圖，學(xué)生完全可以達(dá)到“系統(tǒng)化”和“自主化”，因?yàn)橹苯侨切沃械娜呛瘮?shù)定義，他們太熟悉了！即將知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”建立在學(xué)生認(rèn)知水平的“最近發(fā)展區(qū)”，那學(xué)習(xí)就會(huì)水到渠成！ （2）它又是空間三大距離（即點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、異面直線間距離）用向量法求解的“聯(lián)系點(diǎn)”.空間中有七大距離（除球面上兩點(diǎn)間的距離外）基本上可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距，而點(diǎn)線距和點(diǎn)面距又是重中之重！另外兩異面直線間的距離，高考考綱中明確要求：對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線或在坐標(biāo)表示下的距離.因此對(duì)異面直線間的距離的考查有著特殊的身份.教材按排中引進(jìn)了向量法來(lái)解決距離問(wèn)題，也給問(wèn)題的解決帶來(lái)新的活力！不用作出（或找出）所求的距離了.21點(diǎn)面距求法的新認(rèn)識(shí)：naAPOq（其中為平面的一個(gè)法向量），此結(jié)論重新可以理解為： ，即在上的投影，即與方向上的單位向量的數(shù)量積.22點(diǎn)線距求法的新認(rèn)識(shí)：1）新認(rèn)識(shí)之一：PlOA如圖，若存在有一條與l相交的直線時(shí)，就可以先求出由這兩條相交直線確定的平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)P到l的距離.2）新認(rèn)識(shí)之二：若不存在有一條與l相交的直線時(shí)，我們可以先取l上的一個(gè)向量，再利用來(lái)解，即：,而數(shù)量可以理解為在l上的向量的投影，也即為：.23異面直線間距離求法的新認(rèn)識(shí)： 從這幾年的高考考綱說(shuō)明觀察，我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)異面直線間距離的考查本意不能太難，但若出現(xiàn)難一點(diǎn)的考題，命題者又能自圓其說(shuō)的新情況.實(shí)際上，這種自圓其說(shuō)法歸根到底在于高考考綱中的說(shuō)法：只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線或在坐標(biāo)表示下的距離.那也就是說(shuō)，在不要作出公垂線（也許學(xué)生作不出?。┑那闆r下，也可以求出它們的距離的！那就是用向量法！l1Al2BCD如圖所示：若直線l1與直線l2是兩異面直線，求兩異面直線的距離. 略解：在兩直線上分別任取兩點(diǎn)A、C、B、D，構(gòu)造三個(gè)向量，記與兩直線的公垂線共線的向量為,則由,得,則它們的距離就可以理解為：在上的投影的絕對(duì)值，即： . 三大距離的統(tǒng)一理解:（點(diǎn)面距）、 （異面距）、（點(diǎn)線距之一）、且（點(diǎn)線距之二）、其本質(zhì)特征是：一個(gè)向量在其所求的距離所在直線的一個(gè)向量上的投影，也即數(shù)量積此性質(zhì)的直接應(yīng)用.由上述的剖析過(guò)程不難再看出：空間中的三大角與三大基本距離的計(jì)