《一元函數(shù)微積分》習(xí)題解答第四章.doc

4-1習(xí)題解答1、（1）是一階微分方程； （2）不是微分方程； （3）是一階微分方程； （4）是二階微分方程； （5）是一階微分方程； （6）是一階微分方程。2、（1）（B）是特解 （C）是通解；（2）(A)是特解 （B）是通解；（3）（A）是通解（B）是特解3、解：（1），又由，故滿足初始條件的特解為；（2），又由，故滿足初始條件的特解為。4、解：（1）由條件得；（2）設(shè)曲線為，則曲線上點(diǎn)處的法線斜率為，由條件知PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而有 注：4-2習(xí)題解答1、解：（1）由由給方程得即；（2）由所給方程得；（3）由所給方程得注：為任意常數(shù)（4）由所給方程得；2、解：（1）由所給方程得，又由，所以滿足初始條件的特解為：；（2）由所給方程得，又由初始條件，故滿足初始條件的特解為：；（3）由所給方程得又由初始條件，故滿足初始條件的特解為：；（4）由所給方程得，又由初始條件得 ，故滿足初始條件的特解為；（5）由原方程得，即，又由初始條件，故滿足初始條件的特解為。3、解：由條件得微分方程，又由初始條件，故所求曲線為。注：圖1（圖）4、解：由牛頓第二定律知，分離變量得，兩邊積分得，又由初始條件。5、解：（1）所給方程為齊次微分方程即，令，代入前式得:，所以原方程的解為：；（2）由所給方程得，令，代入前式得，故原方程的解為：；（3）由所給方程得，令，代入前式得；（4）由所給方程得，令，代入前式得。6、解：（1）令，代入原方程得，即，又由初始條件，故滿足初始條件的特解為：（2）由原方程得，令，代入原方程得，即，又由初始條件，故滿足初始條件的特解為：；（3）由原方程得，令，代入原方程得，又由初始條件，故滿足初始條件的特解為：（因?yàn)?；即，但仍是原方程的一個(gè)滿足初始條件的特解）；（4）由原方程得，令，代入原方程得，又由初始條件，故滿足初始條件的特解為：。7、解：（1）此方程為一階線性微分方程，其中，所以其通解為：；（）此方程為一階線性微分方程，其中，所以其通解為：；（）此方程為一階線性微分方程，其中，所以其通解為：；（）此方程為一階線性微分方程，其中，所以其通解為：。、解：（）此方程為一階線性微分方程，其中，所以其通解為：，又由初始條件，故滿足初始條件的特解為：；（）此方程為一階線性微分方程，其中，所以其通解為：；又由初始條件，故滿足初始條件的特解為：；（）此方程為一階線性微分方程，其中，所以其通解為：；又由初始條件，故滿足初始條件的特解為：；（）此方程為一階線性微分方程，其中，所以其通解為：；又由初始條件，故滿足初始條件的特解為：。、解：如圖（）因?yàn)椋朔匠虨橐浑A線性微分方程，其中，所以其通解為：。習(xí)題4-31解：（1）由所給方程得，所以即；（2）令，由原方程得，即，所以；（3）令，代入原方程得，即（4）令，代入原方程得，此為一階線性微分方程，故，即，所以原方程的通解為：（5）令，代入原方程得，此為一階線性微分方程，故，即，所以原方程的通解為：；（6）令，代入原方程得，分離變量得，所以原方程的通解為：。2、解：（1）令，代入原方程得，分離變量得，又由初始條件，故滿足初始條件的特解為：；（2）令，代入原方程得，分離變量得又由初始條件，故滿足初始條件的特解為：；（3）令，代入原方程得，分離變量得，又由初始條件，故滿足初始條件的特解為：。3、解：以對(duì)應(yīng)的物體位置為原點(diǎn)，垂直向下的直線為的正軸，建立如右圖所示的坐標(biāo)系，由題目條件得，當(dāng)時(shí)，從而，所以，由得，從而，又，故，即，也就是說(shuō)，整理得，因此，又由得，所求的物體下落的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為。4-4習(xí)題1、解：（1）因?yàn)?，且是特征方程的根，所以，所給方程的特解的待定形式為；（2）因?yàn)?，且是特征方程的根，所以，所給方程的特解的待定形式為；（3）因?yàn)椋也皇翘卣鞣匠痰母?，所以，所給方程的特解的待定形式為；（4）因?yàn)椋翘卣鞣匠痰膯胃?，是二次多?xiàng)式，所以，所給方程的特解的待定形式為；（5）因?yàn)?，是特征方程的二重根，是零次多?xiàng)式，所以，所給方程的特解的待定形式為；（6）因?yàn)椋皇翘卣鞣匠痰母?，是二次多?xiàng)式，所以，所給方程的特解的待定形式為；（7）由重疊定理，原方程的特解是方程和的特解的和。對(duì)于方程，因?yàn)?，是特征方程的單根，是零次多?xiàng)式，所以，其特解的待定形式為；對(duì)于方程，因?yàn)?，是特征方程的單根，是一次多?xiàng)式，所以，其特解的待定形式為；故方程的特解的待定形式為；（8）由重疊定理，原方程的特解是方程和的特解的和。對(duì)于方程，因?yàn)?，且是特征方程的根，所以，其特解的待定形式為；?duì)于方程，因?yàn)?，且不是特征方程的根，所以，其特解的待定形式為；故方程的特解的待定形式為?、解：（1）因?yàn)樗o微分方程的導(dǎo)出組的特征方程為，特征根為，故導(dǎo)出組的通解為；又，是特征方程的單根，是一次多項(xiàng)式，所以，所給方程的特解的待定形式為，代入方程得到一個(gè)和的線性方程組，所以，故原方程的通解為；（2）因?yàn)樗o微分方程的導(dǎo)出組的特征方程為，特征根為，故導(dǎo)出組的通解為；又，不是特征方程的根，所以，所給方程的特解的待定形式為，代入方程得到一個(gè)和的線性方程組，所以，故原方程的通解為；（3）因?yàn)樗o微分方程的導(dǎo)出組的特征方程為，特征根為，故導(dǎo)出組的通解為；又，不是特征方程的根，是零次多項(xiàng)式，所以，所給方程的特解的待定形式為，代入方程得到，所以，故原方程的通解為；（4）因?yàn)樗o微分方程的導(dǎo)出組的特征方程為，特征根為，故導(dǎo)出組的通解為；又，不是特征方程的根，是一次多項(xiàng)式，所以，所給方程的特解的待定形式為，代入方程得到一個(gè)和的線性方程組，所以，故原方程的通解為；（5）因?yàn)樗o微分方程的導(dǎo)出組的特征方程為，特征根為，故導(dǎo)出組的通解為；又，是特征方程的根，所以，所給方程的特解的待定形式為，代入方程得到一個(gè)和的線性方程組，所以，故原方程的通解為；（6）因?yàn)樗o微分方程的導(dǎo)出組的特征方程為，特征根為，故導(dǎo)出組的通解為；又，不是特征方程的根，是二次多項(xiàng)式，所以，所給方程的特解的待定形式為，代入方程得到一個(gè)和的線性方程組，所以，故原方程的通解為；（7）因?yàn)樗o微分方程的導(dǎo)出組的特征方程為，特征根為，故導(dǎo)出組的通解為；又，不是特征方程的根，所以，所給方程的特解的待定形式為，代入方程得到，所以，故原方程的通解為；（8）因?yàn)榉匠痰膶?dǎo)出組的特征方程為,其特征根為,故導(dǎo)出組的通解為；由重疊定理，原方程的特解是方程和的特解的和。對(duì)于方程，因?yàn)?，不是特征方程的根，所以，其特解的待定形式?代入方程得；對(duì)于方程，因?yàn)?，是特征方程的根，所以，其特解的待定形式?代入方程得；故方程的通解為。3、解：因?yàn)樗o微分方程的導(dǎo)出組的特征方程為，特征根為，故導(dǎo)出組的通解為；又不是特征方程的根，所以，所給方程的特解的待定形式為，代入方程得到一個(gè)和的線性方程組，所以，故原方程的通解為；將初始條件代入得，故滿足初始條件的特解為。、解：由原方程得，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得：，又將代入原方程得，故得一階線性微分方程，故其通解為又,所以，故；解法二：由原方程得，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得：，兩邊對(duì)再次求導(dǎo)得(此為不顯含未知函數(shù)的二階微分方程,也可看成二階線性常系數(shù)非齊次微分方程,求解可得上法相同答案)。5、解：由二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理可知，；又線性無(wú)關(guān)，故方程的導(dǎo)出組（*）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解為，所以（*）的通解為，又是方程的一個(gè)特解，由解的結(jié)構(gòu)定理知，方程的通解為；將代入