2014年數(shù)學(xué)二真題+答案解析+海文押題.doc

2014年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二2014年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題海文考研特大喜訊：數(shù)二選擇、填空題共14題，原題押中4題，共16分，解答題9題，原題押中2題，共15分1.數(shù)二第5題4分，求解相同，題目條件換個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)鏈接：海文考研2014暑期強(qiáng)化班講義高數(shù)上B版P27練習(xí)題；2.數(shù)二第6題4分，原題，對(duì)應(yīng)鏈接：海文考研鉆石卡學(xué)員10月份測(cè)試試題第4題；3.數(shù)二第9題4分，原題押中，對(duì)應(yīng)鏈接：海文考研2014鉆石卡I階段講義高數(shù)上第五章例5.4；4.數(shù)二第7題4分，原題押中，對(duì)應(yīng)鏈接：海文考研2014鉆石卡II階段講義線代第一章例3；5.數(shù)二17題10分，原題押中，對(duì)應(yīng)鏈接：萬(wàn)學(xué)海文 考研2014暑期強(qiáng)化班講義高數(shù)下B版第八講例12；6.數(shù)二22題第一問(wèn)5分，原題押中，對(duì)應(yīng)鏈接：萬(wàn)學(xué)海文考研2014沖刺班講義（線代）例11題.一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1) 當(dāng)時(shí)，若，均是比高階的無(wú)窮小，則的取值范圍是( )(A) (B) (C) (D) (2) 下列曲線中有漸近線的是 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 設(shè)函數(shù)具有2階導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間上 （ ）(A) 當(dāng)時(shí)，(B) 當(dāng)時(shí)，(C) 當(dāng)時(shí)，(D) 當(dāng)時(shí)，(4) 曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的曲率半徑是 （ ） (A)(B)(C)(D)(5) 設(shè)函數(shù)，若，則 （ ） (A)(B)(C)(D)(6) 設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在的內(nèi)部具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足及，則 （ ）(A)的最大值和最小值都在的邊界上取得(B) 的最大值和最小值都在的內(nèi)部上取得(C) 的最大值在的內(nèi)部取得，最小值在的邊界上取得(D) 的最小值在的內(nèi)部取得，最大值在的邊界上取得(7) 行列式 （ ）(A) (B) (C) (D) (8) 設(shè)均為3維向量，則對(duì)任意常數(shù)，向量組線性無(wú)關(guān)是向量組線性無(wú)關(guān)的 （ ）(A) 必要非充分條件(B) 充分非必要條件(C) 充分必要條件(D) 既非充分也非必要條件二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.(9) _.(10) 設(shè)是周期為的可導(dǎo)奇函數(shù)，且，則 _.(11) 設(shè)是由方程確定的函數(shù)，則_.(12) 曲線的極坐標(biāo)方程是，則在點(diǎn)處的切線的直角坐標(biāo)方程是_.(13) 一根長(zhǎng)為1的細(xì)棒位于軸的區(qū)間上,若其線密度,則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)_.(14) 設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)為1，則的取值范圍為_.三、解答題：1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)求極限(16)(本題滿分10分)已知函數(shù)滿足微分方程，且，求的極大值與極小值.(17)(本題滿分10分)設(shè)平面區(qū)域計(jì)算.(18)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足，若，求的表達(dá)式.(19)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)的區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，.證明：(I),(II).(20)(本題滿分11分) 設(shè)函數(shù)，定義函數(shù)列，記是由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積，求極限.(21)(本題滿分11分)已知函數(shù)滿足，且求曲線所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.(22)(本題滿分11分) 設(shè)矩陣，為三階單位矩陣.(I)求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(II)求滿足的所有矩陣.(23)(本題滿分11分) 證明階矩陣與相似.萬(wàn)學(xué)網(wǎng)校地址：/ 免費(fèi)咨詢熱線：免費(fèi)熱線：40067690002014年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答案一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1) 當(dāng)時(shí)，若，均是比高階的無(wú)窮小，則的取值范圍是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】由定義 所以，故.當(dāng)時(shí)，是比的高階無(wú)窮小，所以，即. 故選B(2) 下列曲線中有漸近線的是 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】關(guān)于C選項(xiàng)：.，所以存在斜漸近線.故選C(3) 設(shè)函數(shù)具有2階導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間上 （ ）(A) 當(dāng)時(shí)，(B) 當(dāng)時(shí)，(C) 當(dāng)時(shí)，(D) 當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】令，則,.若，則，在上為凸的. 又，所以當(dāng)時(shí)，從而. 故選D.(4) 曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的曲率半徑是 （ ）(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】故選C(5) 設(shè)函數(shù)，若，則 （ ）(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選D.(6) 設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在的內(nèi)部具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足及，則 （ ）(A)的最大值和最小值都在的邊界上取得(B) 的最大值和最小值都在的內(nèi)部上取得(C) 的最大值在的內(nèi)部取得，最小值在的邊界上取得(D) 的最小值在的內(nèi)部取得，最大值在的邊界上取得【答案】A【解析】記則,所以在內(nèi)無(wú)極值，則極值在邊界處取得.故選A(7) 行列式 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】B【解析】由行列式的展開定理展開第一列 .(8) 設(shè)均為三維向量，則對(duì)任意常數(shù),向量組,線性無(wú)關(guān)是向量組線性無(wú)關(guān)的 ( )(A)必要非充分條件(B)充分非必要條件 (C)充分必要條件(D)既非充分也非必要條件【答案】A【解析】. 記，. 若線性無(wú)關(guān)，則，故線性無(wú)關(guān). 舉反例. 令，則線性無(wú)關(guān)，但此時(shí)卻線性相關(guān). 綜上所述，對(duì)任意常數(shù)，向量線性無(wú)關(guān)是向量線性無(wú)關(guān)的必要非充分條件. 故選A二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.(9) _.【答案】【解析】(10) 設(shè)是周期為的可導(dǎo)奇函數(shù)，且，則 _.【答案】1【解析】且為偶函數(shù)則又且為奇函數(shù)，故又的周期為4，(11) 設(shè)是由方程確定的函數(shù)，則_.【答案】【解析】對(duì)方程兩邊同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)當(dāng)時(shí),故故(12) 曲線的極坐標(biāo)方程是，則在點(diǎn)處的切線的直角坐標(biāo)方程是_.【答案】【解析】由直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的關(guān)系 ，于是對(duì)應(yīng)于切線斜率 所以切線方程為即(13) 一根長(zhǎng)為1的細(xì)棒位于軸的區(qū)間上,若其線密度,則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)_.【答案】【解析】質(zhì)心橫坐標(biāo)(13) 設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)是1，則的取值范圍_.【答案】【解析】配方法：由于二次型負(fù)慣性指數(shù)為1，所以，故.三、解答題：1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)求極限【解析】.(16)(本題滿分10分)已知函數(shù)滿足微分方程，且，求的極大值與極小值.【解析】 由，得 此時(shí)上面方程為變量可分離方程，解的通解為 由得 又由可得 當(dāng)時(shí)，且有：所以在處取得極小值，在處取得極大值即：的極大值為1，極小值為0.(17)(本題滿分10分)設(shè)平面區(qū)域計(jì)算.【解析】D關(guān)于對(duì)稱，滿足輪換對(duì)稱性，則：(18)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足，若，求的表達(dá)式.【解析】由，由 ，代入得，即，令得特征方程 得齊次方程通解設(shè)特解，代入方程得，特解則原方程通解為由，得, 則.(19)(本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明：（I）,（II）.【解析】（I）由積分中值定理，（II）直接由，得到（II）令由（I）知 又由于單增，所以單調(diào)不減，取，得，即（II）成立.(20)(本題滿分11分) 設(shè)函數(shù)，定義函數(shù)列，記是由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積，求極限.【解析】(21)(本題滿分11分) 已知函數(shù)滿足，且求曲線所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.【解析】因?yàn)?所以其中為待定函數(shù).又因?yàn)閯t，從而.令可得，當(dāng)時(shí)，或，從而所求的體積為(22)(本題滿分11分) 設(shè)矩陣，為三階單位矩陣.(I)求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(II)求滿足的所有矩陣.【解析】 , (I)的基礎(chǔ)解系為(II)的通解為的通解為的通解為（為任意常數(shù)）(23)(本題滿分11分) 證明階矩陣與