09嵌入不等式_數(shù)學競賽命題的一個寶藏.pdf

命題與解題 嵌入不等式 數(shù)學競賽命題的一個寶藏 朱 華 偉 廣州大學教育軟件研究所 510006 中圖分類號 O122 3 文獻標識碼 A 文章編號 1005 6416 2010 01 0014 03 收稿日期 2009 08 31 1 關于嵌入不等式 定理1 對 ABC和任意的實數(shù)x y z 均有 x 2 y 2 z 2 2yzcosA 2zxcosB 2xycosC 其中 當且僅當x y z sinA sinB sinC時 式 等號成立 不等式 稱為嵌入不等式 顯然 嵌入不 等式中的條件A B C 可推廣 到A B C 2k 1 嵌入不等式還有一個形象的幾何解釋 如果0 A B C0 求證 u 1 a 2 v 1 b 2 w 1 c 2 vw u wu v uv w 2 題6 設 ABC為銳角三角形 求證 cosA cosB 2 cosB cosC 2 cosC cosA 2 8cosA cosB cosC 4 MOSP2000 證明 將所證不等式寫成關于cos 2A cos 2B cos 2 C的形式 由恒等式 得 4 8cosA cosB cosC 4 cos 2A cos 2B cos 2 C 故只要證明 cosA cosB 2 cosB cosC 2 cosC cosA 2 4 cos 2A cos 2B cos 2 C 設x cosB cosC y cosC cosA z cosA cosB 由嵌入不等式得 cosA cosB 2 cosB cosC 2 cosC cosA 2 x 2 y 2 z 2 2 yz cosA zxcosB xycos C 2 cosC cosA cosB cosA cosB cosC cosB cosC cosA 再設x cosB cosC cosA y cosC cosA cosB z cosA cosB cosC 由嵌入不等式得 2 cosC cosA cosB cosA cosB cosC cosB cosC cosA 2 x 2 y 2 z 2 4 yz cosA zxcosB xycos C 4 cos 2A cos 2B cos 2 C 題7 設 i 0 i 0 1 i n n 1 且 n i 1 i n i 1 i 則 n i 1 cos i sin i n i 1 cot i 第29屆I MO預選題 證明 當n 2時 cos 1 sin 1 cos 2 sin 2 cos 1 sin 1 cos 1 sin 1 0 cot 1 cot 2 當n 3時 即要證 已知兩個三角形的 內(nèi)角分別為 和 1 1 1 則 cos 1 sin cos 1 sin cos 1 sin cot cot cot 由cot b 2 c 2 a 2 4S S 表示三角形的 面積 知上式等價于 4Scos 1 sin 4Scos 1 sin 4Scos 1 sin a 2 b 2 c 2 又由S 1 2 absin 知上式等價于 512010年第1期 2bccos 1 2cacos 1 2abcos 1 a 2 b 2 c 2 此即為不等式 假設所證不等式對于n 1 3 成立 則對于n有 n i 1 cos i sin i cos 1 sin 1 cos 2 sin 2 n i 3 cos i sin i cos 1 sin 1 cos 2 sin 2 cos 1 2 sin 1 2 n i 3 cos i sin i cos 1 2 sin 1 2 cos 1 sin 1 cos 2 sin 2 cos 1 2 sin 1 2 n i 3 cos i sin i cos 1 2 sin 1 2 cot 1 cot 2 cot 1 2 n i 3 cot i cot 1 2 n i 1 cot i 因此 對一切n 2 所證不等式成立 題8 設a b c是給定的正實數(shù) 求所有 的正實數(shù)x y z 滿足方程組 x y z a b c 4xyz a 2 x b 2 y c 2 z abc 第36屆I MO預選題 解 首先證明如下引理 引理 方程 x 2 y 2 z 2 xyz 4 有正實數(shù)解x y z當且僅當存在一個銳角 ABC 使得x 2cosA y 2cosB z 2cosC 引理的證明 首先 由恒等式 知 所有 的三元數(shù)組 2cosA 2cosB 2cos C 均是方 程 的解 反之 易看出0 x y z 2 故存在A B0 2 使得x 2cosA y 2cosB 解關于z的方程 z 0 2 得 z 2cos A B 令C A B 則 x y z 2cosA 2cosB 2cosC 回到原題 將第二個方程變形為 a 2 yz b 2 zx c 2 xy abc xyz 4 令u a yz v b zx w c xy 則 u 2 v 2 w 2 uvw 4 根據(jù)引理 存在一個銳角 ABC滿足 u 2cosA v 2cosB w 2cosC 于是 由第一個方程推出 x y z 2xycosC 2yzcosA 2zxcosB 即 x 2 y 2 z 2 2xycosC 2yzcosA 2zxcosB 上式即為不等式 中等號成立的情形 所以 x sinA y sinB z sinC 再利用cosA a 2yz cosB b 2zx cosC c 2xy 及余弦定理可解出 x b c 2 y c a 2 z a b 2 容易驗證這個三元數(shù)組滿足原方程組 題9 已知x y z為正實數(shù) xy yz zx xyz 4 求證 x y z xy yz zx 1998 印度數(shù)學競賽 證明 將已知等式變形為 xy 2 yz 2 zx 2 xy yz zx 4 由題8的引理知 存在一個銳角 ABC 使得 yz 2cosA zx 2cosB xy 2cosC 聯(lián)立解得 x y z 2cosB cosC cosA 2cosA cosC cosB 2cosA cosB cosC 因此 只要證明 2cosB cosC cosA 2cos A cosC cosB 2cosA cosB cosC 4 cos 2A cos 2B cos 2 C 在不等式 中 取 x 2cosB cosC cosA y 2cosA cosC cosB 61中 等 數(shù) 學 z 2cosA cosB cosC 即得證 把此題稍加改造 即為 題10 設正數(shù)u v w滿足 u v w uvw 4 求證 vw u uw v uv w u v w 2007 中國國家集訓隊測試題 順便指出 在大學自主招生試題中也有 嵌入不等式的影子 如 題11 已知 180 0 求3cos 4cos 5cos 的最大值 解 在不等式 中 令 2yz 3 2zx 4 2xy 5 即 x 4 5 2 3 y 3 5 2 4 z 3 4 2 5 且 A B C 則 3cos 4cos 5cos 769 120 當且僅當sin sin sin 1 3 1 4 1 5 時 上式等號成立 由正弦定理知要確定 只要構(gòu)造 一個三邊長分別為 1 3 1 4 1 5的三角形即可 故所求的最大值為 769 120 當然 有興趣的讀者還可以找出更多的 以嵌入不等式為背景的數(shù)學競賽題 也可以 編擬以嵌入不等式為背景的問題 由于版面 的原因 不贅述 兩種拆分方法在解不等式問題中的應用 李 濤 天津師范大學數(shù)學科學學院07級研究生 300387 中圖分類號 O122 3 文獻標識碼 A 文章編號 1005 6416 2010 01 0017 03 收稿日期 2009 03 17 1 差項比較法 定理1 對于數(shù)列 xn yn 有 xn x1 x 2 x1 x 3 x2 x n xn 1 yn y1 y 2 y1 y 3 y2 y n yn 1 若x1 y1 且xk xk 1 yk yk 1 k 2 則xn yn 例1 求證 n 2 1 1 2 1 3 1 2 n 1 y2 又xk xk 1 1 yk yk 1 1 2 k 1 1 2 k