實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要第1~3章復(fù)習(xí).ppt

2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 實(shí)分析 多媒體教學(xué)課件 DepartmentofMathematics 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 第一章復(fù)習(xí) 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 第一節(jié) 集及其運(yùn)算 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 集合 具有某種特定性質(zhì)的事物的總體 通常用大寫英文字母A B X Y 等表示 組成這個集合的事物稱為該集合的元素 一般說來 我們總用小寫字母a b x y 表示集合中的元素 有限集 無限集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 定理1 1分配律 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 定理1 2 DeMorgan公式 注 通過取余集 使A與Ac 與 互相轉(zhuǎn)換 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 其中S為全集 簡記為Ac 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 笛卡爾乘積 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 第二節(jié)映射 集的對等 可列集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 一 映射 原像 像 定義域D f 值域R f 1 定義 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 稱f為單射 則稱f為滿射 若f既為單射又是滿射 則稱f為一一映射 單射 滿射 一一對應(yīng) 一一映射 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 2對等與勢 定義2 2設(shè)A B是兩非空集合 若存在著A到B的一一映射f f既單又滿 則稱A與B對等 注 稱與A對等的集合為與A有相同的勢 基數(shù) 記作勢是對有限集元素個數(shù)概念的推廣 記作約定 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 1 2 3 4 5 6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 與自然數(shù)集N對等的集合稱為可數(shù)集或可列集 其基數(shù)記為 1 可數(shù)集的定義 3 可數(shù)集合 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 例 1 Z 0 1 1 2 2 3 3 2 0 1 中的有理數(shù)全體 0 1 1 2 1 3 2 3 1 4 3 4 1 5 2 5 注 A可數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)A可以寫成無窮序列的形式 a1 a2 a3 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 可數(shù)集性質(zhì) 定理2 1任何無窮集都包含一個可數(shù)子集 即可數(shù)集是無限集中具有最小勢的集合 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 可數(shù)集的性質(zhì) 并集 有限集與可數(shù)集的并仍為可數(shù)集 可數(shù)個可數(shù)集的并仍為可數(shù)集 有限個可數(shù)集的并仍為可數(shù)集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 例 有限個可數(shù)集的卡氏積是可數(shù)集 設(shè)A B是可數(shù)集 則A B也是可數(shù)集 從而A B也是可數(shù)集 可數(shù)個可數(shù)集的并 利用數(shù)學(xué)歸納法即得有限個乘積的情形 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 整系數(shù)多項(xiàng)式方程的實(shí)根稱為代數(shù)數(shù) 不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)稱為超越數(shù) 例4代數(shù)數(shù)全體是可數(shù)集 常見可數(shù)集舉例 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 第三節(jié)一維開集 閉集及其性質(zhì) 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 定義3 1若集合E的每一個點(diǎn)都E的內(nèi)點(diǎn) 則稱E為開集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 4 開集的性質(zhì) 定理3 1a 空集 R為開集 b 任意多個開集之并仍為開集 c 有限個開集之交仍為開集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 定義 若Ec為開集 則稱E為閉集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 定理3 2E為閉集的充分必要條件是 證明 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 定義 若 則稱E為完全集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 閉集的 等價 定義 若 則E為閉集 R中只有空集和R既開又閉 存在大量既不開又不閉的集合 如 E 0 1 定義3 3 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 定理3 3任何集E的導(dǎo)集E 為閉集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 閉集性質(zhì) 任意一簇閉集之交為閉集 任意有限個閉集之并仍為閉集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 例8f x 是直線上的連續(xù)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對任意實(shí)數(shù)a E x f x a 和E1 x f x a 都是閉集 證明 我們先證充分性 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 而要證E x f x a 是開集 只要證 中的點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn) 由f x 在x0處連續(xù)及極限的保號性知 存在 0 當(dāng) x x0 a 任取x0 E x f x a 則f x0 a 必要性 若f x 是直線上的實(shí)值連續(xù)函數(shù) 只要證對任意常數(shù)a E x f x a 與E1 x f x a 是開集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 類似可證 x f x a 為開集 從而 x f x a x f x a c是閉集 即O x0 E x f x a 即x0為E的內(nèi)點(diǎn) 從而E為開集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 第四節(jié)開集的構(gòu)造 目的 掌握Cantor集的構(gòu)造 熟悉直線上開集與閉集的構(gòu)造 重點(diǎn)與難點(diǎn) Cantor集的構(gòu)造 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 定義4 1設(shè)G是直線上有界開集 如果開區(qū)間滿足下面條件 則稱區(qū)間為G的構(gòu)成區(qū)間 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 定理4 1 1直線R中任何非空的有界開集G都可表示為有限個或可數(shù)個互不相交的構(gòu)成區(qū)間的并 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 定理4 1 2設(shè)F是非空的有界閉集 則F是由一閉區(qū)間中去掉有限個或可數(shù)個互不相交的開區(qū)間 F的余區(qū)間 而成 根據(jù)開集與閉集的互余關(guān)系 可得如下閉集的構(gòu)造定理 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 定義 i 若 即的每一點(diǎn)都是自身的聚點(diǎn) 則稱是自密集 ii 若 則稱是完備 全 集 二 自密集 疏朗集 完備 全 集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 定義若E是實(shí)直線R的子集 若 則稱E為R中稠密集 當(dāng)?shù)难a(bǔ)集在R中稠密時 則稱為疏朗集 即為疏朗集在R中稠密 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 例1 Cantor三分集 Cantor集的構(gòu)造 將 0 1 均分為三段 刪去中間的開區(qū)間 將剩下的兩個區(qū)間再次三等分 刪去中間的兩個區(qū)間 如此繼續(xù)下去 最終剩下的點(diǎn)集記作P 稱之為Cantor集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 Cantor集的性質(zhì) 注 第n次共去掉2n 1個長為1 3n的開區(qū)間 b mP 0 去掉的區(qū)間長度和 a P是閉集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 c P沒有內(nèi)點(diǎn) d P中的點(diǎn)全為聚點(diǎn) 沒有孤立點(diǎn) P為完備 全 集 e P 0 1 0 1 R a b a b 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 第五節(jié)集的勢 序集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 定義 與 0 1 區(qū)間對等的集合稱為連續(xù)勢集 其勢記為 顯然 例 1 R 0 1 0 1 0 1 R a b a b 5 連續(xù)勢集的定義 2 無理數(shù)集為連續(xù)勢集 無理數(shù)要比有理數(shù)多得多 同理超越數(shù)要比代數(shù)數(shù)多得多 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 基數(shù)的大小比較 定義5 1 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 3 假設(shè)A B是兩個集合 若A與B的某個真子集B 對等 但不與B對等 則說A的勢小于B的勢 記作 或說B的勢大于A的勢 記作 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 從而說明無限也是分很多層次 且不存在最大的集合 4無最大勢定理 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 定理5 2 Bernstein定理 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 從前面我們已經(jīng)看到 Cantor認(rèn)為在之間不存在別的基數(shù) 即不存在這樣的集合A 使得但Cantor證明不了 這就是著名的Cantor連續(xù)統(tǒng)假設(shè) 連續(xù)統(tǒng)假設(shè) 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 2連續(xù)勢集的性質(zhì) 卡氏積 有限個 可數(shù)個連續(xù)勢的卡氏積仍為連續(xù)勢集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 推論 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 正方形的一條邊與正方形的面積有 相同多 的點(diǎn) 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 其次所以 首先所以 例3設(shè)E表示 0 1 上一切有界實(shí)函數(shù)的類 證明E的勢為 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 證明 回憶一下前面的進(jìn)位表示法以及Cantor集的構(gòu)造立刻看到 這里用三進(jìn)制小數(shù)表示 0 1 中的點(diǎn) 將會更方便于討論 我們先來看看 去掉的三等分區(qū)間中的點(diǎn)用三進(jìn)制表示的話 有什么規(guī)律 顯然 第一次刪去的區(qū)間 例4 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 內(nèi)的點(diǎn)對應(yīng)的三進(jìn)制數(shù)第一位必然是1 進(jìn)一步觀察不難發(fā)現(xiàn) 只要點(diǎn)在某個刪去的區(qū)間內(nèi) 則的三進(jìn)制表示中 必有某一位是1 反之 如果不是分點(diǎn) 且在某位出現(xiàn)1 則在經(jīng)過若干次刪除手續(xù)后 必然在刪去的區(qū)間內(nèi) 即 因此 除了分點(diǎn)外 在中當(dāng)且僅當(dāng)其三進(jìn)制表示中不出現(xiàn)數(shù)1 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 由Cantor集的作法中去掉的點(diǎn)為小數(shù)位出現(xiàn)1的點(diǎn)的全體 從而Cantor集P為小數(shù)位只是0 2的點(diǎn)的全體 現(xiàn)在作對應(yīng)P到 0 1 的對應(yīng)如下 嚴(yán)格說是P到 0 1 的二進(jìn)制數(shù)之間的對應(yīng) 則顯然是一一對應(yīng) 則立得 所以證畢 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 連續(xù)勢集的性質(zhì) 并集 連續(xù)勢集的 有限個 可數(shù)個 連續(xù)勢個 并仍為連續(xù)勢集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 半序集定義 自反性 反對稱性 傳遞性 則稱A按成一半序集 偏序集 設(shè)A是一集合 為A中的某些元素的關(guān)系且滿足 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 2Zorn引理與選擇公理 Zorn引理 設(shè)是一偏序集 A中的每個全序子集有上界 則A必有極大元 選擇公理 設(shè)為一簇兩兩不交的非空集簇 則存在一集B使得是單元素集 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 1 集合的并 交 差 補(bǔ)等概念 以及集合的運(yùn)算律 點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn) 聚點(diǎn) 孤立點(diǎn) 邊界等基本概念 2 直線上開集 閉集的構(gòu)造定理 康托集是本章的一個重要例子 本章主要基本知識 2020 3 13 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院聶建英 3 可列集的定義和性質(zhì) 可列集是無限集中基數(shù)最小的一類集合者 連續(xù)集及其性質(zhì) 掌握可列集 連續(xù)集的基本例子 4 無最大基數(shù)定理 5 伯恩斯坦定理 它是判斷兩個集合對等的有效方法 第三章復(fù)習(xí) 本章討論一類重要的函數(shù) 可測函數(shù) 它和連續(xù)函數(shù)有密切的聯(lián)系 同時又在理論上和應(yīng)用上成為足夠廣泛的一類函數(shù) 我們可以看到可測函數(shù)取極限相當(dāng)方便 可測函數(shù)的極限仍是可測函數(shù) 第三章可測函數(shù) 第一節(jié)可測函數(shù)的基本性質(zhì) Lebesgue積分 從分割值域入手 用mEi表示Ei的 長度 要使Lebesgue積分的思想得以實(shí)現(xiàn) 必須要求分割得出的點(diǎn)集Ei都是可測集 或更一般地要求 定義 設(shè)f x 是可測集E上的實(shí)函數(shù) 可取 若可測 則稱f x 是E上的可測函數(shù) 1可測函數(shù)定義 定義 設(shè)f x 是可測集E上的實(shí)函數(shù) 則f x 在E上可測 2 可測函數(shù)的等價描述 例1零測度集上的任何函數(shù)都是可測函數(shù) 證明 設(shè)f是零測度E上的函數(shù) 則對任意a R有因?yàn)榱銣y度集的子集仍為零測度集 可測 由定義所以函數(shù)可測 例2簡單函數(shù)是可測函數(shù) 證 任取x E f a 則f x a 由連續(xù)性局部保號性知 例3 可測集E上的連續(xù)函數(shù)f x 一定為可測函數(shù) 可測函數(shù)關(guān)于子集 并集的性質(zhì) 即 若f x 是E上的可測函數(shù) 可測 則f x 限制在E1上也是可測函數(shù) 3 可測函數(shù)的性質(zhì) 證明 注意到 若 f x 限制在En上是可測函數(shù) 則f x 在E上也是可測函數(shù) 證明 注意到 設(shè)S是某個命題或某個性質(zhì) 若S在集E上除了某個零測度集外處處成立 則稱S在E上幾乎處處成立 記為S a e 于E或S a e almosteverywhere 定義1 3 幾乎處處概念 若m E f g 0 則稱f x g x 在E上幾乎處處相等 記f x g x a e 于E 例如 幾乎處處相等 例如 Dirichlet函數(shù)幾乎處處等于0 例3設(shè)f x g x a e 于E f x 在E上可測 則g x 在E上也可測 例題說明 在一零測度集上改變函數(shù)的取值不影響函數(shù)的可測性 例如 幾乎處處收斂 設(shè)是E上的函數(shù)列 是E上的函數(shù) 若存在 使且對任意 有則稱在上幾乎處處收斂到f 記作 若 fn x 是可測集E上的可測函數(shù)列 則下列函數(shù)仍為E上可測函數(shù) 定理1 1 為方便我們把一般函數(shù)分解成兩個非負(fù)函數(shù)來考察 一般函數(shù)可分解成正部和負(fù)部如下 推論1設(shè)f x 是可測集E上的可測函數(shù)列 則下列函數(shù)在E上均為可測函數(shù) 推論2若 fn x 是可測集E上的可測函數(shù)列 則下列函數(shù)仍為E上可測函數(shù) 證明兩次應(yīng)用定理1 1即可 推論3 可測函數(shù)列的極限函數(shù)仍為可測函數(shù) 注 連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù)不一定為連續(xù)函數(shù) 由于函數(shù)的可測性不受一個零測度集的值的影響 于是我們有下面定理1 2 定理1 2如果是可測集E上的可測函數(shù)序列 且?guī)缀跆幪幨諗康?即則在E上可測 可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系 設(shè)f x 是可測集E上的可測函數(shù) 則f x 總可表示成一列簡單函數(shù)的極限而且還可辦到 注 由于一般函數(shù)f可表示成它的正部與負(fù)部之差 對f的正部與負(fù)部分別應(yīng)用定理1 3即得 定理 可測函數(shù)的充分必要條件 函數(shù)f x 是可測集E上的可測函數(shù)的充分必要條件是f x 總可表示為一列簡單函數(shù)的極限 引理1 1函數(shù) x x 是可測集E上的簡單函數(shù) 則它們的和 差 積 商 分母幾乎處處不為零 仍然是簡單函數(shù) 定理1 4可測集E上的兩個可測函數(shù)的和 差 積 商 假定運(yùn)算幾乎處處有定義 仍然是E上可測函數(shù) 第二節(jié)可測函數(shù)列的收斂性 1 它的上極限集定義為 定義2 1 上 下極限集 2 下極限集定義為 3 如果集列的上極限集與下極限集相等 即 則稱集列收斂 稱其共同的極限為集列的極限集 記為 定義2 1 極限集 容易知道上 下極限集有關(guān)系 定理 單調(diào)集列是收斂的 單調(diào)增集列極限 函數(shù)逼近是分析中十分重要的問題 它的本質(zhì)就是用 好 的或 簡單 的函數(shù)去逼近 壞 的或 復(fù)雜 的函數(shù) 點(diǎn)點(diǎn)收斂 函數(shù)列的幾種收斂定義 記作 一致收斂 記作 去掉某個零測度集 在留下的集合上處處收斂 即 幾乎處處收斂 記作 例1 試考察函數(shù)列 fn x xn n 1 2 在 0 1 上處處收斂 自然幾乎收斂 但不一致收斂 因?yàn)闃O限函數(shù)不連續(xù) 但去掉一小測度集合 1 1 在留下的集合上一致收斂 fn x xn 定義2 2設(shè)E為可測集 mE fn f是E上幾乎處處有限的可測函數(shù) 如果對 則稱fn在E上近一致收斂于f 記作 即 去掉某個小 任意小 測度集 在留下的集合上一致收斂 4 近一致收斂 即 去掉任意小 適當(dāng)小 的測度集 在留下的集合上仍不一致收斂 fn不近一致收斂于f 定義2 3設(shè)E為可測集 fn f是E上的可測函數(shù) 如果對每個 0 有 則稱fn在E上依測度收斂于f 記作 依測度收斂 不依測度收斂 1 處處收斂但不依測度收斂 在R 上處處收斂于f x 1 幾種收斂的區(qū)別 例2 說明 當(dāng)n越大 取1的點(diǎn)越多 故 fn x 在R 上處處收斂于1 所以 fn x 在R 上不依測度收斂于1 又例 上述 fn 處處收斂于1但不近一致收斂于f x 1 例3 依測度收斂但處處不收斂 取基本集E 0 1 n 2k i 0 i 2k k 0 1 2 3 fn如下圖 因?yàn)?但是 對任何x 0 1 fn x 有兩個子列 一個恒為1 一個恒為0 所以 fn x 在 0 1 上處處不收斂 例 函數(shù)列fn x xn在 0 1 上處處收斂到f x 0 但不一致收斂 但去掉一小測度集合 1 1 在留下的集合上一致收斂 收斂的聯(lián)系 葉果洛夫定理的引入 設(shè)E為可測集 mE fn f是E上幾乎處處有限的可測函數(shù) 即 可測函數(shù)列的 收斂 幾乎處處收斂 基本上 是一致收斂 定理2 1 葉果洛夫定理 引理 設(shè)mE fn f在E上幾乎處處有限且可測 注 a 葉果洛夫定理中條件mE 不可少 則fn在R 上處處收斂于f x 1 fn不幾乎一致收斂于f于R 例 設(shè) 定理2 2 葉果洛夫定理的逆定理 Lebesgue定理 設(shè)mE fn f在E上幾乎處處有限且可測 Riesz定理證明的說明 定理2 4令mE 則 1 若又有 則f x h x a e 于E 依測度收斂的性質(zhì) 唯一性和四則運(yùn)算 第三節(jié)可測函數(shù)的構(gòu)造 可測函數(shù) 問 可測函數(shù)是否可表示成一列連續(xù)函數(shù)的極限 可測集E上的連續(xù)函數(shù)定為可測函數(shù) 設(shè)f x 為E上幾乎處處有限的可測函數(shù) 則使得m E F 且f x 在F上連續(xù) 去掉一小測度集 在留下的集合上成為連續(xù)函數(shù) 即 可測函數(shù) 基本上 是連續(xù)函數(shù)