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平面圖形的鑲嵌(初中數(shù)學(xué)八年級(jí)) 作者: 楊海東 (初中數(shù)學(xué) 甘肅平?jīng)銮f浪二期初中數(shù)學(xué)一班 ) 評(píng)論數(shù)/瀏覽數(shù): 5 / 2580 發(fā)表日期: 2010-03-09 19:58:54 必修作業(yè)模版內(nèi)容1教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)科名稱2所在班級(jí)情況,學(xué)生特點(diǎn)分析3教學(xué)內(nèi)容分析4教學(xué)目標(biāo)5教學(xué)難點(diǎn)分析6教學(xué)課時(shí)7教學(xué)過程8課堂練習(xí)9作業(yè)安排10 附錄(教學(xué)資料及資源)11 自我問答課題學(xué)習(xí)-平面圖形的鑲嵌教學(xué)目標(biāo):(一)經(jīng)歷對(duì)平面圖形鑲嵌問題的探究與解決(不一定能完全解決)的過程,加強(qiáng)對(duì)正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)的理解;進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用,發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐操作能力和推理能力增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí),激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。(二)經(jīng)歷小組合作與交流的活動(dòng),進(jìn)一步積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),增強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí),發(fā)展學(xué)生的合作能力。(三)通過探索平面圖形的鑲嵌,知道任意一個(gè)三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面,并能運(yùn)用這幾種圖形簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)。教學(xué)重點(diǎn):掌握平面鑲嵌的定義,以及平面鑲嵌的三個(gè)條件。教學(xué)難點(diǎn):用任意四邊形進(jìn)行平面鑲嵌的方法。課前準(zhǔn)備:師:四個(gè)相同的任意四邊形(不同顏色、標(biāo)好字母)、磁鐵、搜集各種鑲嵌圖案制成幻燈片生:以四人為小組,準(zhǔn)備邊長為4cm的正多邊形紙片若干、相同的任意四邊形紙片若干、膠棒、A4紙若干、搜集各種鑲嵌圖案教學(xué)過程:一、創(chuàng)設(shè)情境、學(xué)習(xí)新知師:每天我們走到街上,或者我們家庭裝修房子時(shí),都會(huì)看到各種圖案的地磚,同學(xué)們是否注意到這些圖案是由哪些幾何圖形拼成的?生1:正方形、長方形生2:正六邊形生3、平行四邊形師:同學(xué)們,你們知道為什么這些幾何圖形能鋪滿整個(gè)地面呢?看來地磚中蘊(yùn)含著豐富數(shù)學(xué)問題,今天我和同學(xué)們一起通過實(shí)驗(yàn)來探究地磚中的數(shù)學(xué)問題.板書課題-7.4鑲嵌。師:工人師傅用地磚鋪地,用瓷磚貼墻時(shí),都有哪些要求呢?生:磚與磚不留空隙;生:把地面或墻面全部覆蓋。師:回答得很好。從數(shù)學(xué)的角度來看,就是用一些不重疊擺放的多邊形將平面的一部分(如地面、墻面等)完全覆蓋,通常把這類問題叫做平面鑲嵌。鑲嵌的原則是不重疊,又無空隙。師:利用鑲嵌我們可以得到一些絢麗多彩的圖案,那么什么樣的多邊形能夠進(jìn)行鑲嵌?是不是所有的多邊形都能進(jìn)行平面鑲嵌呢?下面我們就來利用簡(jiǎn)單的多邊形進(jìn)行鑲嵌。二、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)結(jié)論師:請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的正多邊形紙片,以小組為單位,試一試,用同一種正多邊形能否鑲嵌成平面圖案,如果能,共有幾種正多邊形能鑲嵌成平面圖案呢?完成后請(qǐng)將你的作品展示到黑板上。師:同學(xué)們觀察哪些可以鑲嵌?生:正方形、正三角形、正六邊形師:對(duì)了,只有這三種正多邊形可以單獨(dú)鑲嵌。那么你們知道為什么?生:因?yàn)槠磮D時(shí)圍繞一點(diǎn)的各個(gè)角的和是360,這三種正多邊形的內(nèi)角都是360的約數(shù)。師:說得非常正確,那么同學(xué)們想一想,多邊形鑲嵌成平面圖案的條件是什么?生:拼在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和是360。師:通過剛才的拼圖,你知道哪些正多邊形不能鑲嵌?生:正五邊形、正八邊形也不能鑲嵌,因?yàn)樗鼈兊膬?nèi)角都不是360的約數(shù)。師:同學(xué)們觀察正八邊形中間正好可以放一個(gè)正方形,看來正八邊形和正方形放在一起可以進(jìn)行鑲嵌。下面我們來研究?jī)煞N正多邊形鑲嵌問題。請(qǐng)同學(xué)們看探索問題2:用正三角形和正六邊形結(jié)合拼圖,能否鑲嵌成平面圖案?請(qǐng)?jiān)囈辉?!生:?個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形可以鑲嵌。師:你知道為什么它們可以鑲嵌嗎?生:因?yàn)檎切蔚拿恳粋€(gè)內(nèi)角為60,正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為120,而460+120=360,滿足鑲嵌條件。師:還有不同意見嗎?生:我和他的組合不一致,我用了兩個(gè)正三角形和兩個(gè)正六邊形圍成一圈。因?yàn)?60+2120=360師:除了正三角形和正六邊形可以鑲嵌外還有其他的組合嗎?正三角形和正方形組合、正八邊形和正方形組合、正三角形和正十二邊形組合、正五邊形和正十邊形組合。(教師板書計(jì)算過程)師:正五邊形和正十邊形雖然滿足鑲嵌條件,但不能鋪滿整個(gè)平面,說明鑲嵌還應(yīng)滿足延續(xù)性。下面我們一同欣賞多種正多邊形組合。多種正多邊形只要滿足鑲嵌的條件,就可以鑲嵌成美麗的圖案。 用正三角形、正方形或正六邊形可以鑲嵌成一個(gè)平面圖案(圖1);用任意三角形可以鑲嵌成一個(gè)平面圖案, 用任意四邊形也可以鑲嵌成一個(gè)平面圖案(圖2); 觀察上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果,得出多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案需要滿足的兩個(gè)條件:a 拼接在同一個(gè)點(diǎn)(例如圖2中的點(diǎn)O)的各個(gè)角的和恰好等于360(周角);b 相鄰的多邊形有公共邊(例如圖2中的OA兩側(cè)的多邊形有公共邊OA)。運(yùn)用上述結(jié)論解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果,例如,三角形的內(nèi)角和等于180,在圖2中,1 +2 +3 = 180,因此,把6個(gè)全等的三角形適當(dāng)?shù)仄唇釉谕粋€(gè)點(diǎn)(如圖2), 一定能使以這點(diǎn)為頂點(diǎn)的6個(gè)角的和恰好等于360,并且使邊長相等的兩條邊貼在一起。于是, 任意三角形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案又如,由多邊形內(nèi)角和公式,可以得到五邊形的內(nèi)角和等于 (52)180= 540因此,正五邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于 540 5 = 108360不是108的整數(shù)倍,也就是說用一些108的角拼不成360的角因此,用正五邊形不能鑲嵌成一個(gè)平面圖案。 下面請(qǐng)同學(xué)們看下面的練習(xí)題:三、運(yùn)用知識(shí)、解決問題:1.下列正多邊形不能夠鑲嵌成平面圖案的是( ) A 正三角形 B 正方形 C 正五邊形 D 正六邊形 生:選C2.如圖,足球由正五邊形皮塊(黑色)和正六邊形皮塊(白色)縫成.如果取下一黑兩白兩兩相鄰的三塊皮塊,能不能將這三塊皮塊連在一起鋪平?為什么?生:因?yàn)檎暹呅蔚囊粋€(gè)內(nèi)角是108,正六邊形的一個(gè)內(nèi)角是120,而108+2120不等于360。所以不能將這三塊皮塊連在一起鋪平。3.下列正多邊形的組合中,不能鑲嵌的是( ) A.正方形和正三角形 B.正方形和正八邊形 C.正三角形和正十二邊形 D.正方形和正六邊形生:選D師:剛才我們進(jìn)行了正多邊形鑲嵌,對(duì)于任意的多邊形能否鑲嵌呢?四、舉一反三、拓展延伸師:請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位,任意剪出一些形狀、大小相同的四邊形,拼拼看,它們能否鑲嵌成平面圖案?生1:我拼成了平面圖案,展示到黑板。生2:我沒有拼成。師:拼圖時(shí),讓四邊形相鄰的邊相同,然后圍繞一點(diǎn)的四個(gè)角正好是四邊形的四個(gè)內(nèi)角,每個(gè)內(nèi)角只用一次,就能鋪滿整個(gè)平面。師:同學(xué)們,通過剛才的拼圖,你知道為什么任意四邊形能鑲嵌嗎?生:因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和是360。師:還有哪些任意多邊形能鑲嵌嗎?生:有三角形、矩形、平行四邊形、菱形。師:總結(jié)得非常好,這些圖形都能鑲嵌,因?yàn)樗鼈兊膬?nèi)角和度數(shù)都是360的約數(shù)。師:看來很多多邊形都可以鑲嵌。我們來看一些美麗的鑲嵌圖片。師:一些不規(guī)則的圖形也能鑲嵌,請(qǐng)同學(xué)們欣賞一幅飛馬鑲嵌圖案。你知道為什么這樣一個(gè)不規(guī)則的圖形也能鑲嵌成美麗的圖案。師:同學(xué)們觀察動(dòng)畫演示鑲嵌的過程,其實(shí)這個(gè)飛馬實(shí)際上是用一個(gè)正方形剪拼成的。因此我們可以在一個(gè)基本鑲嵌圖形如長方形、正六邊形、正方形等通過剪拼成一個(gè)美麗圖形,然后通過平移鑲嵌成一個(gè)美麗圖案。五、反饋小結(jié)、分層作業(yè)師:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲?生1:我學(xué)會(huì)了什么是鑲嵌及鑲嵌的條件。生2:我知道只有正三角形、正方形、正六邊形可以單獨(dú)鑲嵌。師
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