10302命題與條件(答案).doc

第二講：命題與條件命題屬性：能夠判斷出真假。1、 命題有四種形式：原命題： ；逆命題：；否命題：；逆否命題：.若命題甲命題乙，且命題乙命題甲，則命題甲和命題乙稱為等價(jià)命題.原命題和逆否命題為等價(jià)命題,逆命題和否命題為等價(jià)命題.提示：等價(jià)交換是解題的一種很好的策略。2、 若,則叫做的充分條件;若,則叫做的必要條件;這就是必要性的由來(lái)；若,則是的充要條件.3、 若則是的充分條件；若則是的必要條件；若則是的充要條件。提示：從集合角度來(lái)判斷充分必要條件更科學(xué)。例：“”是“”的 條件。用集合的角度來(lái)解：表示平面上除掉（2，3）這個(gè)點(diǎn)，表示平面上除掉這條直線的點(diǎn)，所以后一個(gè)是前一個(gè)的子集，故“”是“”的必要而非充分條件。提示：解有關(guān)命題的題目應(yīng)該把握住的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)： 命題的形式； 充分必要條件的推理方向； 怎樣用集合的包含關(guān)系來(lái)理解分析集合的推理。例1 寫(xiě)出命題：“”的逆命題、否命題、逆否命題、并判斷它們的真假。解：逆命題：；否命題：；逆否命題：.因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí),所以原命題為真命題,從而逆否命題也為真命題.逆命題為假命題.它的一個(gè)反例是取x=1,此時(shí)2,但.由此知否命題也為假命題.例2 已知一個(gè)命題的逆命題是：“若整數(shù)m、n不具有相同的奇偶性，則mn和m+n也不具有相同的奇偶性”，寫(xiě)出其余命題的形式，并判斷其真?zhèn)?。解：原命題：若mn和m+n不具有相同的奇偶性，則整數(shù)m、n不具有相同的奇偶性；否命題：若mn和m+n具有相同的奇偶性，則整數(shù)m、n具有相同的奇偶性；逆否命題：若m、n具有相同的奇偶性，則mn和m+n具有相同的奇偶性。因?yàn)閙、n不具有相同的奇偶性，所以，mn為偶數(shù)，m+n為奇數(shù)，mn和m+n不具有相同的奇偶性，所以逆命題正確，否命題和逆命題互為逆否命題，是等價(jià)命題，從而否命題也真命題；若m、n均為奇數(shù)，則mn為奇數(shù)，m+n為偶數(shù)，mn和m+n奇偶性不同，所以，逆否命題為假命題，原命題和逆否命題是等價(jià)命題，所以原命題也為假命題。例3.有限集合S中元素的個(gè)數(shù)記為，設(shè)A，B都為有限集合，給出下列命題：（1）的充要條件是（2）的必要條件是（3）的充分條件（4）的充要條件是以上真命題的序號(hào)是 。解：根據(jù)集合的交集、子集等概念，再結(jié)合充分必要條件的定義可得：真命題為（1），（2）；例4 命題甲：數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列；命題乙：數(shù)列的前n項(xiàng)，判斷甲、乙是否為等價(jià)命題，并說(shuō)明理由。 解：若是公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為該數(shù)列的前n項(xiàng)和令若數(shù)列的且n項(xiàng)和則當(dāng)時(shí)，又當(dāng)n=1時(shí)，也滿足上式，所以所以所以是公差不為0的等差數(shù)列。所以，命題甲和命題乙為等價(jià)命題。提示：通過(guò)這道題，我們可以得出：對(duì)于，則數(shù)列為等差數(shù)列。那么，對(duì)于呢？其實(shí)，當(dāng)c為0時(shí)，就是前面討論的結(jié)論；當(dāng)時(shí)，則第一項(xiàng)為a+b+c，從第二項(xiàng)開(kāi)始為等差數(shù)列。例5 （1）已知角則的（ ）A、充分但非必要條件 B、必要但非充分條件 C、充分必要條件 D、既非充分又非必要條件解：若若，取所以，應(yīng)選A（2）（09安徽省高考題）下列選項(xiàng)中，是的必要不充分條件的是（A）， （B）， 的圖像不過(guò)第二象限（C）， （D）， 在上為增函數(shù)解：由b且cdb+d，而由b+d b且cd，可舉反例。選A(3)設(shè)或或是的充分條件，求m的取值范圍。解：設(shè)是由圖得：解得：或的取值范圍是分析：此題給出了是的充分條件，根據(jù)子集與推出關(guān)系的等價(jià)轉(zhuǎn)換，可以用數(shù)軸來(lái)表示它們之間的關(guān)系，這更加直觀、明確。例6（2007年上海高考理科試題第15題）設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足；“當(dāng)成立時(shí)，總可推出“成立”。那么。下列命題總成立的是（A）若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立。（B）若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立。（C）若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立。（D）若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立。解：分析命題之間的關(guān)系，要用到原命題等價(jià)于逆否命題，也就有當(dāng)成立時(shí)，總可推出成立”。等價(jià)于：成立總可推出成立。對(duì)比上述（A）選擇支，若成立，只能推出：當(dāng)時(shí)，均有成立。所以（A）不對(duì)；（B）選擇支：若成立，能推出當(dāng)，；（B）不成立；（C）選擇支，若成立，只能推出：當(dāng)時(shí)，均有成立，所以正確的答案是（D）。（ ）A、充分但非必要條件 B、必要但非充分條件C、充分必要條件 D、既非充分又非必要條件解:若取，則充分性不成立；若取且，這兩個(gè)不等式的解集都為，必要性也不成立。答案選D例8 寫(xiě)出為偶函數(shù)的一個(gè)充分不必要條件。（答案不唯一，只需寫(xiě)出一個(gè)即可），你能否寫(xiě)出必要不充分條件，充要條件嗎？解：取或者取如果要找出充要條件，則由定義得：；例9已知三個(gè)一元二次方程：中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：考慮三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根的情形：故所求的范圍是例10給出如下兩個(gè)命題：命題是的反函數(shù)，且命題：集合求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使命題中有且只有一個(gè)為真命題。解：化簡(jiǎn)命題，得若p真q假,則有若p假q真,則有故當(dāng)時(shí)，命題中有且只有一個(gè)為真命題例11 設(shè)，若“對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f（x）0”是”對(duì)一切實(shí)數(shù)x,g(x)0”的充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,(這里A=(-1,3)當(dāng)m=0,g(x)=2ax,因?yàn)間(0)=0,所以不可能對(duì)一切實(shí)數(shù)x,g(x)0,因此,對(duì)一切實(shí)數(shù)x,g(x)0“對(duì)一切實(shí)數(shù)x,f(x)0”是”對(duì)一切實(shí)數(shù)x,g(x)0”的充分條件,必須且只須提示：這里的關(guān)鍵點(diǎn)是將（“對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f（x）0”是”對(duì)一切實(shí)數(shù)x,g(x)0”的充分條件）這個(gè)條件轉(zhuǎn)化為第一個(gè)條件a的取值范圍是第二個(gè)條件a的取值范圍的子集。記住這個(gè)觀點(diǎn)：命題條件問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合問(wèn)題來(lái)解決。例12 已知拋物線點(diǎn)A（3，0）B（0，3），求拋物線與線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件是什么？AB方程為x+y-3=0， 4 3 o y x 如果不考慮對(duì)稱軸，就會(huì)出現(xiàn)虛線圖像這種情況，顯然不滿足條件自測(cè)練習(xí)題：（1）為奇函數(shù)是的（ D ）條件。A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分也非必要提示：顯然 推不出為奇函數(shù)；那為奇函數(shù)能否推出呢，反例，故為奇函數(shù)是的.既非充分也非必要條件。（2）是在第三或第四象限的（ C ）A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分也非必要（3）空間四邊形的四邊相等是的（ B ）條件。A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非