數(shù)學人教版八年級上冊最短路徑.ppt

看圖思考 為什么有這種現(xiàn)象發(fā)生 為抄近路踐踏草坪是一種不文明的現(xiàn)象 你能用數(shù)學知識解釋這一現(xiàn)象嗎 八年級上冊 13 4課題學習最短路徑問題 學習目標 能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題 體會圖形的變化在解決最值問題中的作用 感悟轉化思想 學習重點 利用軸對稱將最短路徑問題轉化為 兩點之間 線段最短 問題 課件說明 如圖所示 從A地到B地有三條路可供選擇 你會選擇哪條路距離最短 你的理由是什么 兩點之間線段最短 如圖 要在燃氣管道L上修建一個泵站 分別向A B兩鎮(zhèn)供氣 泵站修在管道的什么地方 可使所用的輸氣管線最短 P 所以泵站建在點P可使輸氣管線最短 引言 前面我們研究過一些關于 兩點的所有連線中 線段最短 連接直線外一點與直線上各點的所有線段中 垂線段最短 等的問題 我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴} 現(xiàn)實生活中經常涉及到選擇最短路徑的問題 本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史中著名的 將軍飲馬問題 問題1相傳 古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者 名叫海倫 有一天 一位將軍專程拜訪海倫 求教一個百思不得其解的問題 從圖中的A地出發(fā) 到一條筆直的河邊l飲馬 然后到B地 到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短 探索新知 精通數(shù)學 物理學的海倫稍加思索 利用軸對稱的知識回答了這個問題 這個問題后來被稱為 將軍飲馬問題 你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎 探索新知 追問1這是一個實際問題 你打算首先做什么 將A B兩地抽象為兩個點 將河l抽象為一條直線 探索新知 1 從A地出發(fā) 到河邊l飲馬 然后到B地 2 在河邊飲馬的地點有無窮多處 把這些地點與A B連接起來的兩條線段的長度之和 就是從A地到飲馬地點 再回到B地的路程之和 探索新知 追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思 并把它抽象為數(shù)學問題嗎 探索新知 追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思 并把它抽象為數(shù)學問題嗎 3 現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點 設C為直線上的一個動點 上面的問題就轉化為 當點C在l的什么位置時 AC與CB的和最小 如圖 追問1對于問題2 如何將點B 移 到l的另一側B 處 滿足直線l上的任意一點C 都保持CB與CB 的長度相等 探索新知 問題2如圖 點A B在直線l的同側 點C是直線上的一個動點 當點C在l的什么位置時 AC與CB的和最小 追問2你能利用軸對稱的有關知識 找到上問中符合條件的點B 嗎 探索新知 問題2如圖 點A B在直線l的同側 點C是直線上的一個動點 當點C在l的什么位置時 AC與CB的和最小 作法 1 作點B關于直線l的對稱點B 2 連接AB 與直線l相交于點C 則點C即為所求 探索新知 問題2如圖 點A B在直線l的同側 點C是直線上的一個動點 當點C在l的什么位置時 AC與CB的和最小 探索新知 問題3你能用所學的知識證明AC BC最短嗎 證明 如圖 在直線l上任取一點C 與點C不重合 連接AC BC B C 由軸對稱的性質知 BC B C BC B C AC BC AC B C AB AC BC AC B C 探索新知 問題3你能用所學的知識證明AC BC最短嗎 探索新知 問題3你能用所學的知識證明AC BC最短嗎 證明 在 AB C 中 AB AC B C AC BC AC BC 即AC BC最短 若直線l上任意一點 與點C不重合 與A B兩點的距離和都大于AC BC 就說明AC BC最小 探索新知 追問1證明AC BC最短時 為什么要在直線l上任取一點C 與點C不重合 證明AC BC AC BC 這里的 C 的作用是什么 探索新知 追問2回顧前面的探究過程 我們是通過怎樣的過程 借助什么解決問題的 運用新知 練習如圖 一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客 然后將游客送往河岸BC上 再返回P處 請畫出旅游船的最短路徑 運用新知 基本思路 由于兩點之間線段最短 所以首先可連接PQ 線段PQ為旅游船最短路徑中的必經線路 將河岸抽象為一條直線BC 這樣問題就轉化為 點P Q在直線BC的同側 如何在BC上找到一點R 使PR與QR的和最小 1 建立模型 1 兩點在直線l的異側 2 兩點在直線l的同側 歸納總結 A l l 2 轉化的關鍵1 實際生活問題數(shù)學問題2 兩點在直線同側問題兩點在直線異側問題 轉化 轉化 問題4 如圖A B兩地在一條河的兩岸 將軍現(xiàn)要在河上造一座橋MN 1 要使得從A到B的距離最短 橋應該造在何處 最強大腦 造橋選址問題 2 假定河的兩岸是平行的直線 橋要與河垂直且點B在岸邊 橋造在何處可使從A到B的路徑最短 最強大腦 造橋選址問題 3 假定河的兩岸是平行的直線 橋要與河垂直 A B都離岸邊有一定的距離 橋造在何處可使從A到B