自適應(yīng)作業(yè)2--模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì).doc

自適應(yīng)控制作業(yè)二：模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)(MRAS)姓名： 學(xué)號： Tasks a) Under what circumstances does the model have the property of perfect following? 原系統(tǒng)： 參考模型： 控制信號為：我們總是希望原系統(tǒng)的輸出能跟參考模型的輸出一致，即希望與有如下關(guān)系式：那么，將代入到中，再讓可得：若要上式成立，只需要令 所以當(dāng)選擇時，參考模型和原系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系是完全一樣的。b) Design an adaption law using MIT rule so that the error between plant output and model output goes to zero. Draw a block diagram of such MRAS design scheme. Tracking error： Choose cost function: Update rule: 對于此系統(tǒng)： 可見僅與y有關(guān)，與無關(guān)。而 （這里p為微分算子）因此： 其中： 理論上來說，在選擇控制器參數(shù)的時候，我們選擇了，那么在這里我們可以認(rèn)為，因此我們可以將上面的式子改寫為：那么很容易就可以推算出：這樣就利用MIT-Rule就得到了調(diào)節(jié)裝置的參數(shù)，對這個系統(tǒng)進(jìn)行模型參考自適應(yīng)控制的方框圖如下：c) simulate this MRAS using different adaption gain. plant output and model output Plot.此時，Matlab仿真圖如下：Case 1：相同的信號，不同的r值方波信號下，不同r對應(yīng)各參數(shù)的情況周期為10s，幅值為1的方波信號（1）誤差（2）輸出跟蹤情況（3）調(diào)節(jié)器參數(shù)趨于理想值的情況由第一問可知，當(dāng)選擇時，參考模型和原系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系是完全一樣的。因此對于此系統(tǒng)，最好的調(diào)節(jié)器參數(shù)應(yīng)該為，下面討論在不同r的條件下，調(diào)節(jié)器參數(shù)趨向于理想?yún)?shù)的過程當(dāng)r=0.2時，和在t=5000時還沒達(dá)到理想值。當(dāng)r=1時，和在t=1300附近達(dá)到理想值。當(dāng)r=5時，和在t=200附近達(dá)到理想值。當(dāng)r=7時，和在t=130附近達(dá)到理想值。（4）控制信號U比較明顯的可以看出，上面四種情況下，1）當(dāng)r越大時，實(shí)際輸出與模型輸出下的誤差能夠越快的趨向于02）當(dāng)r越大時，實(shí)際輸出可以更快更準(zhǔn)確的更準(zhǔn)確的跟蹤模型的輸出3）當(dāng)r越大時，調(diào)節(jié)器參數(shù)能夠更快更準(zhǔn)確的趨向于理想值為了驗(yàn)證r越來越來的時候，是不是也是這種情況，r增大會不會帶來副作用，我們繼續(xù)增大r，觀察這些參數(shù)的狀態(tài)依次增大r，觀察各參數(shù)的狀態(tài)，以下給出，r=1000時對應(yīng)的情況（1）誤差（2）輸出跟蹤情況（3）調(diào)節(jié)器參數(shù)趨向于理想值的情況可見，方波輸入下，當(dāng)r很大很大時，雖然系統(tǒng)會出現(xiàn)明顯的波動，但是實(shí)際輸出還是能夠很好的跟蹤模型輸出的，為討論折現(xiàn)的情況出現(xiàn)是否跟輸入信號有關(guān)，下面也會給出正弦信號和階躍信號下，r很大時，各參數(shù)的狀態(tài)的。正弦信號下，不同r對應(yīng)各參數(shù)的情況（1）誤差（2）輸出跟蹤情況（3）調(diào)節(jié)器參數(shù)趨向于理想值的情況由第一問可知，當(dāng)選擇時，參考模型和原系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系是完全一樣的。因此對于此系統(tǒng)，最好的調(diào)節(jié)器參數(shù)應(yīng)該為，下面討論在不同的條件下，調(diào)節(jié)器參數(shù)趨向于理想?yún)?shù)的過程（4）控制信號U可見，在正弦輸入下，有著同樣四種情況，增大r繼續(xù)驗(yàn)證依次增大r，觀察各參數(shù)的狀態(tài)，以下給出，r=1000時對應(yīng)的情況（1）誤差（2）輸出跟蹤情況（3）調(diào)節(jié)器參數(shù)趨向于理想值的情況可見，正弦信號下有著與方波信號下類似的結(jié)論，雖然波動比較大，但是還能能夠跟蹤模型輸出的，當(dāng)然正弦信號下的跟蹤能力明顯沒有方波信號下好，存在這相位差，而且調(diào)節(jié)其參數(shù)很不穩(wěn)定，關(guān)于輸入信號的對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，下一小問在討論。階躍信號下，不同r對應(yīng)各參數(shù)的情況（1）誤差（2）輸出跟蹤情況（3）調(diào)節(jié)器參數(shù)趨向于理想值的情況（4）控制信號U可見，在階躍輸入下，有著于前兩種輸入信號同樣的四種情況，增大r繼續(xù)驗(yàn)證依次增大r，觀察各參數(shù)的狀態(tài)，以下給出，r=1000時對應(yīng)的情況（1）誤差（2）輸出跟蹤情況（3）調(diào)節(jié)器參數(shù)趨向于理想值的情況可見，階躍信號下有著與強(qiáng)兩種信號下類似的結(jié)論，雖然波動比較大，但是還能能夠很好的跟蹤模型輸出的，階躍信號下的跟蹤能力明顯比前兩者好，誤差很快就趨于0了，且之后不會再有波動，然而調(diào)節(jié)器參數(shù)總是無法達(dá)到理想值，可見不同的輸入對不同的參數(shù)有影響（這點(diǎn)下一小題在討論）?？偨Y(jié)：綜合上面的各種情況來看：（1）在合理的條件下，r越大，系統(tǒng)收斂得越快，跟蹤能力越好，調(diào)節(jié)器參數(shù)能更快的趨向于理想值。（2）對于一階系統(tǒng)，r很大很大時，只會引起較大的波動，但是不會出現(xiàn)發(fā)散即實(shí)際輸出不能跟蹤模型輸出的情況。（3）r越大，理論上講，系統(tǒng)收斂的越快，然而，由于r越大，有可能引起很大的波動，所以，當(dāng)r增大到一定程度時，系統(tǒng)的狀態(tài)會變得非常的不好，因此，個參數(shù)的穩(wěn)定性和其收斂的速度之間存在著一定的矛盾，然而在r可以取值的范圍內(nèi)，能夠選擇到一個比較理想的r，使得兩者都比較理想。Case 2：相同的r值，不同的信號r=0.2，不同輸入下各參數(shù)的情況（1）誤差（2）輸出跟蹤情況（3）調(diào)節(jié)器趨于理想值的情況r=5，不同輸入下各參數(shù)的情況（1）誤差（2）輸出跟蹤情況（3）調(diào)節(jié)器參數(shù)趨向于理想值的情況由上圖可見，不同的輸入信號對不同參數(shù)的影響不一樣。（1）階躍信號比其他兩個信號輸出跟蹤，誤差情況都好，而且收斂速度較快，不易波動（r很大時，波動也不是很厲害），即使有波動，幅度也比較小。但是階躍輸入下，調(diào)節(jié)器參數(shù)總是不能達(dá)到理想的值。不過從輸出跟蹤情況下看，即使調(diào)節(jié)器參數(shù)不能達(dá)到理想值，但是對其控制效果并沒有太大的影響。（2）正弦信號下輸出跟蹤，誤差情況較好，收斂速度較快，但是波動較大（r很大時，波動很厲害），波動幅度也很大。但是正弦信號下的調(diào)節(jié)器參數(shù)趨向于理想值的情況較好，能夠很快且很準(zhǔn)確的達(dá)到理想值。（3）方波輸入下，輸出跟蹤及誤差情況都不是很好，收斂速度較慢，誤差較大。但是調(diào)節(jié)器參數(shù)趨向于理想值的速度較快，且系統(tǒng)的波動不是很大。d）Design a corresponding adaption law using Lyapunov stability theory. Repeat task 1.b) and 1.c). （1）Design a corresponding adaption law李雅普洛夫第二法德基本概念是：若系統(tǒng)內(nèi)部的總能量隨時間的增加而減小，則該系統(tǒng)遲早要達(dá)到靜止（穩(wěn)定）狀態(tài)。原系統(tǒng)： 參考模型： 控制信號為：因此原系統(tǒng)可寫為：誤差： 因此：擬選擇函數(shù)作為李雅普洛夫函數(shù)現(xiàn)驗(yàn)證其是否可作為李雅普洛夫函數(shù)：當(dāng)選擇：時，恒為非整數(shù)，即當(dāng)e大于0時，V必向遞減的方向移動。所以可選擇作為李雅普洛夫函數(shù)。同時選擇調(diào)節(jié)器參數(shù)為（2）simulink仿真利用以上理論來構(gòu)建模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)，對于此題，simulink仿真圖如下：Case 1：相同的信號，不同的r值方波信號下，不同r對應(yīng)各參數(shù)的情況1）誤差2）輸出跟蹤情況3）調(diào)節(jié)器參數(shù)趨向于理想值的情況正弦信號下，不同r對應(yīng)各參數(shù)的情況1）誤差2）輸出跟蹤情況3）調(diào)節(jié)器趨向于理想值的情況階躍信號下，不同r對應(yīng)各參數(shù)的情況1）誤差2）輸出跟蹤情況3）調(diào)節(jié)器參數(shù)趨向于理想值的情況結(jié)論：觀察上列圖形，可以得出跟MIT律一致的結(jié)論。Case 2：相同的r值，不同的信號r=5，不同輸入下對應(yīng)各參數(shù)的情況1）誤差2）輸出跟蹤情況3）調(diào)節(jié)器參數(shù)趨向于理想值的情況這里對于輸入信號對參數(shù)的影響也跟MIT律的結(jié)論一致。e) Compare your results using MIT rule and Lyapunov stability theory.Case 1：相同的信號，相同的r值，不同的方法方波信號（1）r=11）誤差2）輸出跟蹤情況3）調(diào)節(jié)器參數(shù)趨向于理想值的情況（2）r=51）誤差2）調(diào)節(jié)器參數(shù)趨向于理想值的情況（3）R=1001）誤差2）輸出跟蹤情況3）調(diào)節(jié)器趨向于理想值的情況（4）R=5001）誤差2）輸出跟蹤情況3）調(diào)節(jié)器趨向于理想值的情況結(jié)論：1、MIT在r合適的時候（一般比較小時），收斂速度，誤差情況都比Lyapunov 的要好，收斂速度快，誤差小，2、當(dāng)r增大到一定情況下的時候，MIT法的弊端就開始顯現(xiàn)，這時候MIT的波動要比Lyapunov法大的多了，因此，在合適的范圍內(nèi)用MIT法可以達(dá)到比較好的效果，但是超過一定范圍，就該考慮用Lyapunov法.2.a) Derive the conditions that the convergence of the parameters can be guaranteed. 所以：根據(jù)MIT律可知： 即：因此，可以得到參數(shù)方程為：當(dāng)我們假定固定，一開始參數(shù)調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)不起作用，是個連續(xù)激勵，當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定后參數(shù)調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)開始起作用，這樣的話我們就可以將上式參數(shù)方程寫成一個常系數(shù)的線性時不變等式： 此系統(tǒng)參數(shù)的穩(wěn)定性可以描述為： ，從這個等式中我們可以看到， 的值最終決定了參數(shù)的狀態(tài)。對于本題，依據(jù)上述公式，本系統(tǒng)的參數(shù)的穩(wěn)定性可以描述為：顯然，若希望系統(tǒng)穩(wěn)定，則需要上述方程所有的根均在左半平面，根據(jù)羅斯判據(jù)：b) Simulate the system to justify your results.分析式子可知，此不等式關(guān)系到的量有：，這里k是未知的，是需要被選擇的，從某種意義上上說是被唯一確定了的，所以這里我們討論和對系統(tǒng)的影響。首先假設(shè)一個系統(tǒng)，那么我們有上述不等式可以知道和應(yīng)滿足。進(jìn)行兩組仿真：(1).第一組：選擇，方波信號，將方波信號的幅值分別選為0.1,1,4，那么，理論上說方波信號的幅值應(yīng)小于，因此0.1，1時是滿足穩(wěn)定性條件的，4時是不滿足穩(wěn)定性條件的。(2).第二組：選擇方波信號，幅值為0.5，理論上說應(yīng)小于4，分別為0.5,1,2,6，理論上分析，0.5,1,2都是穩(wěn)定的不過綜合考慮穩(wěn)定和速度時，可以取得一個比較好的，而6應(yīng)該是不穩(wěn)定的。 Simulink 仿真圖：(1). 第一組仿真實(shí)驗(yàn)（2）.第二組仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)論：1、穩(wěn)定性是跟調(diào)節(jié)速率和輸入信號的幅值（一般穩(wěn)定，可由確定）有關(guān)2、對于二階系統(tǒng)，穩(wěn)定性條件為3、同時考慮收斂速率和穩(wěn)定性時，在的范圍內(nèi)可以找到一個比較滿意的4、的范圍并不精確，有時超出這個范圍也是收斂的（對于此系統(tǒng)，=5是收斂的）c) Propose a solution when parameter divergence happens in this case and give simulation results.由上題可以看出，輸出跟蹤的效果是跟r和輸入相關(guān)的，為此，修正調(diào)節(jié)律，使得輸入信號對其的影響減小，然后再調(diào)節(jié)r，以達(dá)到較好的效果。將調(diào)節(jié)器更新律為：， 若令，那么引入以下修正調(diào)節(jié)律： 這里（用以避免太小的情況），重復(fù)a）的推導(dǎo)過程可得，修正后，系統(tǒng)參數(shù)的穩(wěn)定性可以描述為：，而其中由于和存在著正比的關(guān)系，因此此方程的零點(diǎn)并不會跟隨的變化發(fā)生顯著的改變。那么修正后的調(diào)節(jié)律為對于本小題，由于這里修正的是輸入對其的影響，所以我們只將上一小題中的第一組實(shí)驗(yàn)再做一遍，觀察修正之后的調(diào)解律是否能夠消弱輸入對系統(tǒng)的影響。數(shù)據(jù)選擇：，a=0.001，方波信號，將方波信號的幅值分別選為0.1,1,4。Simulink仿真：仿真結(jié)果結(jié)論：與上一小題進(jìn)行比較可知，修正后的MIT律確實(shí)能夠消弱輸入對其系統(tǒng)的影響。3. Derive a stable MRAS using Lyapunov stability theory for a linear system described by: The desired response to command signal is: and the control law is given by: 其中