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工程數(shù)學試題庫之九 第八章第八章 微分方程微分方程 8 1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 一 判斷題 1 y ce c 的任意常數(shù) 是 2x 的特解 x2 y 2 y 是二階微分方程 y 3 3 微分方程的通解包含了所有特解 4 若微分方程的解中含有任意常數(shù) 則這個解稱為通解 5 微分方程的通解中任意常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù) 二 填空題 1 微分方程 7x 6y dx dy 0 的階數(shù)是 2 函數(shù) y 3sinx 4cosx 微分方程的解 3 積分曲線 y c1 c2x e x2 中滿足y x 0 0 y x 0 1 的曲線是 三 選擇題 1 下列方程中 是常微分方程 A x2 y2 a2 B y 0 arctan x e dx d C 2 2 x a 2 2 y a 0 D x2 y2 y 2 下列方程中 是二階微分方程 A x2 x2 0 B y y y 2 3x2y x3 C y 3 y y 0 D y2 sinx y 3 微分方程 2 2 dx yd w2y 0 的通解是 其中 c c1 c2均為任意常數(shù) A y ccoswx B y c sinwx C y c1coswx c2sinwx D y c coswx c sinwx 4 C 是任意常數(shù) 則微分方程 y 3 2 3y的一個特解是 A y x 2 3 B y x3 1 C y x c 3 D y c x 1 3 四 試求以下述函數(shù)為通解的微分方程 1 其中為任意常數(shù) 2 其中為任意常數(shù) 22 CCxy C xx eCeCy 3 2 2 1 21 C C 五 質(zhì)量為 m 的物體自液面上方高為 h 處由靜止開始自由落下 已知物體在液體中受的阻 力與運動的速度成正比 用微分方程表示物體 在液體中運動速度與時間的關系并寫出初始 條件 103 工程數(shù)學試題庫之九 8 2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程 一 求下列微分方程的通解 1 sec2 tacydx sec2ytanxdy 0 2 x xy2 dx x2y y dy 0 3 ex y ex dx ex y ey dy 0 4 y cos x y 提示令 x y z 二 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解 1 cosydx 1 e x sinydy 0 y x 0 4 104 工程數(shù)學試題庫之九 2 1 1 sec 2 3 2 x yxdxdy y x 三 設 f x x f u du f x 是可微函數(shù) 求 f x x 0 四 求一曲線的方程 曲線通過點 0 1 且曲線上任一點處的切線垂直于此點與原點的連 線 五 船從初速 v0 6 米 秒而開始運動 5 秒后速度減至一半 已知阻力與速度成正比 試求 船速隨時間變化的規(guī)律 105 工程數(shù)學試題庫之九 8 3 一階線性微分方程一階線性微分方程 一 求下列微分方程的通解 1 x y xex 2 y y ytanx sin2x 3 y x x y x sin1 4 y eyx y dx dy 3 二 求下列微分方程滿足初始條件的特解 1 cosy siny x y y 4 0 x 2 2x 1 ey y 2ey 4 y0 0 x 三 已知 f 曲線積分 b a dyxfdx x y xfx sin 與路徑無關 求函數(shù) f x 四 質(zhì)量為 M 0克的雨滴在下落過程中 由于不斷蒸發(fā) 使雨滴的質(zhì)量以每秒 m 克的速率 減少 且所受空氣阻力和下落速度成正比 若開始下落時雨滴速度為零 試求雨滴下落的速 度與時間的關系 五 求下列伯努利方程的通解 1 y xy x 1 2y5 2 xy y y2lnx 0 106 工程數(shù)學試題庫之九 8 4 可降階的微分方程可降階的微分方程 一 求下列各微分方程的通解 1 xsinx 2 y y y x 3 y 2 4 y y y y 1 ex y 0 二 求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解 1 2 sin2y yy 2 0 x y 1 0 x 2 x ln y y y y lnx 0 y2 1 x y 2 1 e x 三 函數(shù) f x 在 x 0 內(nèi)二階導函數(shù)連續(xù)且 f 1 2 以及f x 0 2 1 dt t tf x xf x 求 f x 四 一物體質(zhì)量為 m 以初速度 Vo 從一斜面上滑下 若斜面的傾角為 摩擦系數(shù)為 u 試求 物體在斜面上滑動的距離與時間的函數(shù)關系 107 工程數(shù)學試題庫之九 8 5 二階常系數(shù)線性微分方程 二階常系數(shù)線性微分方程 1 一 選擇題 1 以 y1 cosx y2 sinx 為特解的方程是 A B C 0 yy0 yy0 yy D 0 yy 2 微分方程 2的通解是 0 yyy A x B x ececy 2 21 2 21 x x ececy C 2 21 x x ececy D xx ececy 2 21 3 常微分方程0 2121 yyy 其中 21 是不等的系數(shù) 在初始條件 y1x 0 0 0 x y特解是 A y 0 B y C D xx ecec 21 21 2 21 xy 2 21 xy 4 是微分方程 x ey 2 06 yypy的一個特解 則此方程的通解是 A B xx ececy 3 2 2 1 x exccy 2 21 C D xx ececy 3 2 2 1 3cos3sin 21 2 xcxcey x 5 是微分方程 xx ececy 21 的通解 A B C 0 yy0 yy0 yy D 0 yy 二 求下列微分方程的通解 1 2 05 yy044 yyy 3 4 04 yyy065 yyy 108 工程數(shù)學試題庫之九 5 01036 yyyy 5 02 4 yyy 三 求下列微分方程滿足初始條件的特解 1 0102 yyy1 0 x y 2 01 x y 2 03 2 x dt dx dt xd 0 0 t x 1 0 t x 四 一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點由靜止 t 0 v 0 開始滑入液體 下滑時液體阻力的大小與下沉速度的大 小成正比 比例系數(shù)為 k 求此質(zhì)點的運動規(guī)律 109 工程數(shù)學試題庫之九 8 5 二階常系數(shù)線性微分方程 二階常系數(shù)線性微分方程 2 一 選擇題 1 微分方程 形式為的特解 2yxyy A ax B ax b C ax D 2 bxax 2 2 微分方程 形式為的特解 1yeyy x A B C D bae x baxex bxae x bxaxex 3 微分方程的特解 y 形式為 x xeuy 2 2 A B C D x ebaxx 2 x ebax 2 x xe2 x ecbxax 22 4 微分方程的特解 y 形式為 xyy2cos4 A acos2x B axcos2x C x acos2x bsin2x D acos2x bsin2x 5 微分方程xx的特解形式為 y yy 2 sin A ax b sin2x B ax b sin2x cx d cos2x C ax b cos2x cx d sin2x D ax b cos2x cx d sin2x ex f 6 微分方程x的特解形式為 eyyy x 5sin54 A B xbae x 5sin xcxbae x 5sin5cos C D xbaxe x 5sin xcxbaxe x 5sin5cos 二 求下列各方程的通解 1 2 x xeyyy 2xyyysin67 3 4 xeyyy x sin52 xxyycos 110 工程數(shù)學試題庫之九 三 求微分方程xyycos9 滿足0 22 xx yy的特解 四 已知二階常系數(shù)微分方程 2 xyyy 有特解 求xxey x 61 2 的值 并求該方程的通解 五 為常數(shù) 試求的通解 k x eykyky 2 2 六 設 其中 f x 為連續(xù)函數(shù) 求 f x xx dttfxdttfxxf 00 sin 七 一鏈長 18cm 掛在光滑的圓釘上 一邊垂下 8cm 另一邊垂下 10cm 問整個鏈子滑過 釘子需要多少時間 111 工程數(shù)學試題庫之九 第八章自測題一第八章自測題一 一 填空題 1 已知曲線 y y x 過點 0 2 1 且其上任一點 x y 處的切線斜率為 xln 1 x2 則 f x 2 以 為通解的微分方程是 1 2 2 ycx 其中為任意常數(shù) 3 微分方程 ydx c2 4x dy 0 的通解為 4 微分方程的通解為 axxyy ln 5 已知某四階線性齊次方程有四個線性無關的解 e x ex sinx cosx 則該微分方程為 二 選擇題 已知函數(shù) y f x 在任意點 x 處的增量 y 2 1x xy 且當 x o 時 是比 x 更高 階的無窮小量 y o 則 y 1 等于 A 2 B C 4 e D 4 e 2 y y x 是微分方程的解 且0 sin x eyy0 0 xf 則 f x 在 A x 的某個鄰域內(nèi)單調(diào)增加 B x 的某個鄰域內(nèi)單調(diào)減少 C x 處的取極小值 D x 處取極大值 3 一曲線通過點 m 4 3 且該曲線上任意一點 p 處的切線在 y 軸上的截距等于原點到 p 的距 離 則此曲線方程為 A B 25 22 yx 10 2 2 x y C D 25 9 9 22 yx 16 4 2 x y 4 下列方程中可利用 yp yp 降為 p 的一階微分方程的是 0 2 xyxy0 2 yyyy C D 0 22 xyyyy0 xyyy 三 求解下列微分方程 1 求 ydx x2y x dy 0 滿足1 1 x y的特解 2 求 x e yy 1 1 的通解 112 工程數(shù)學試題庫之九 四 求xxyysin 的通解 五 已知 是某二階線性非齊次微分 方程的三個解 求此微分方程 xx exey 2 1 xx exey 2 xxx eexey 2 3 六 已知函數(shù) f x 可微 且對任意實數(shù) x y 滿足 f x y 求此函數(shù) f x xfeyfe yx 七 火車沿水平直線軌道運動 設火車質(zhì)量為 m 機車牽引力為 F 阻力為 a bv 其中 a b 為常 數(shù) v 為火車的速度 若已知火車的初速度與初位移均為零 求火車的運動規(guī)律 s s t 113 工程數(shù)學試題庫之九 第十一章自測題二第十一章自測題二 一 單項選擇題 設 y 是方程 xf042 yyy的解 若則在點 0 0 xf xf 0 x A 取得極大值 B 取得極小值 C 某鄰域內(nèi)單調(diào)遞增 D 某鄰域內(nèi)單調(diào)遞減 函數(shù)是方程 x ey 2 3 04 yy的 A 通解 B 特解 C 解 但既非通解也非特解 D 以上都不對 微分方程的特解應具有形式 其中 a b c 為常數(shù) xyy 2 cos52 A B sincos 22 xbxax xcxbax2sin2cos C a bcos2x D ax2 bcos2x csin2x 4 微分方程特解應具有形式 x xeyyy 3 96 A Ax Bx e3x B x Ax B e3x C x2 Ax B e3x D Ax3e3x 5 設一動點以等加速度 a 作直線運動 且其初速度為 v0 初始位移為 s0 則此質(zhì)點規(guī)律是 A s v0 s0 B 00 2 2 1 stvats C D 0 2 0 stvs 00 2 stvats 6 函數(shù) f x 滿足關系式 21 2 2 0 xfndt t fxf x 則 A 1n2 ex B 1n2 e2x C ex ln2 D e2x ln2 二 填空題 1 微分方程02 yyy