數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)解一元二次方程——公式法.doc

21.2.2 解一元二次方程-公式法導(dǎo)學(xué)探究一、閱讀教材P9-10，回答下列問(wèn)題：1、回顧：(1)配方： （2）用配方法解一元二次方程的步驟有哪些c?2、對(duì)于字母系數(shù)的一元二次方程，二次項(xiàng)系數(shù)為_(kāi),一次項(xiàng)系數(shù)為_(kāi),將其轉(zhuǎn)化為（x + m）2 =n 形式是_.3、用配方法解一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a0),配方后,得到。(1) 會(huì)小于0嗎？4a2呢？（2）要使方程有實(shí)數(shù)根，b2-4ac需要滿足什么條件？4、通過(guò)以上分析，你認(rèn)為一元二次方程ax2+bx+c = 0(a0)解的情況有幾種？說(shuō)說(shuō)你的想法。二、閱讀教材P11-12，回答下列問(wèn)題：1、一元二次方程的求根公式是_,你認(rèn)為一元二次方程ax2+bx+c = 0(a0)的根是由哪些量確定的？2（1）使用求根公式前，要先將方程整理為一元二次方程的_形式，利用_判斷方程根的情況。（2）運(yùn)用求根公式求一元二次方程ax2+bx+c = 0(a0)的根的前提條件是_.3、由求根公式可知，一元二次方程的根不可能多于_個(gè)。4、若請(qǐng)你給運(yùn)用求根公式求一元二次方程根的方法取個(gè)名字，你認(rèn)為取什么名字比較合適?歸納梳理1、式子_叫做一元二次方程ax2+bx+c = 0(a0)根據(jù)的判別式,通常用希臘字母_表示,即可_.2、（1）當(dāng) 0時(shí)，方程ax2+bx+c = 0(a0)有_根; （2）當(dāng)= 0時(shí)，方程ax2+bx+c = 0(a0)有_根; （3）當(dāng)_時(shí)，方程ax2+bx+c = 0(a0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根.3、對(duì)于一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a0)，如果b2 -4ac 0,那么方程的兩個(gè)根為_(kāi), 這個(gè)公式叫做一元二次方程的_，我們可以由一元二次方程的系數(shù)a,b ,c 的值，直接求得方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做_.4、公式法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程化為_(kāi)形式，并寫(xiě)出a,b ,c 的值；（2） 求出_的值；（3）若_,將a,b ,c 的值代入求根公式；（4）寫(xiě)出方程的根典例探究1根據(jù)根的判別式判斷一元二次方程根的情況【例1】（2015重慶）已知一元二次方程2x25x+3=0，則該方程根的情況是（）A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根兩個(gè)根都是自然數(shù) D無(wú)實(shí)數(shù)根總結(jié)：求根的判別式時(shí)，應(yīng)該先將方程化為一般形式，正確找出a，b，c的值.根的判別式與一元二次方程根的情況的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根練1已知關(guān)于x的一元二次方程3x2+4x5=0，下列說(shuō)法不正確的是（）A方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D無(wú)法確定練2已知：關(guān)于x的方程x2+2mx+m21=0（1）不解方程，判別方程根的情況；（2）若方程有一個(gè)根為3，求m的值2根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)的值或取值范圍【例2】若關(guān)于x的一元二次方程4x24x+c=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則c的值是（）A1 B1 C4 D4總結(jié)：已知方程根的情況求字母的值或取值范圍時(shí)：先計(jì)算根的判別式；再根據(jù)方程根的情況列出關(guān)于根的判別式的等式或不等式求解；若二次項(xiàng)系數(shù)出現(xiàn)了字母，應(yīng)注意“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”練3（2015涼山州）關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）Am3 Bm3 Cm3且m2 Dm3且m23用公式法解一元二次方程【例3】用公式法解下列方程：（1）x2+2x2=0；（2）y23y+1=0；（3）x2+3=2x總結(jié)：公式法的實(shí)質(zhì)是配方法，只不過(guò)省去了配方的過(guò)程，而直接利用了配方的結(jié)論；運(yùn)用公式法求解一元二次方程要注意兩個(gè)前提：（1）先將一元二次方程化為一般形式，即確定a，b，c的值；（2）必須保證b2-4ac0練4（2014錦江區(qū)模擬）解方程：x（x2）=3x+1練5當(dāng)x是何值時(shí)，3x2+4x8的值和2x21的值相等？夯實(shí)基礎(chǔ)一、選擇題1下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（）A4x25x+2=0 Bx26x+9=0 C5x24x1=0 D3x24x+1=02若關(guān)于x的一元二次方程（a1）x22x+2=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為（）A1 B0 C1 D23等腰直角三角形邊長(zhǎng)分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x26x+n1=0的兩根，則n的值為（）A9 B10 C9或10 D8或104有兩個(gè)一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同C如果5是方程M的一個(gè)根，那么是方程N(yùn)的一個(gè)根D如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x=15已知一元二次方程x2x3=0的較小根為x1，則下面對(duì)x1的估計(jì)正確的是（）A2x11 B3x12 C2x13 D1x10二、填空題6用公式法解方程2x27x+1=0，其中b24ac=，x1=，x2=三、解答題7用公式法解方程：2x24x=58解方程：2x22x5=09用公式法解方程：x（x）=410已知關(guān)于x的方程x2+2x+a2=0（1）若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及方程的另一根11已知關(guān)于x的一元二次方程mx2（m+2）x+2=0（1）證明：不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根12已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0（1）求證：無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若x1、x2是原方程的兩根，且|x1x2|=2，求m的值13已知關(guān)于x的一元二次方程kx22（k1）x+k2=0（k0）（1）小明考查后說(shuō)，它總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）小華補(bǔ)充說(shuō)，其中一個(gè)根與k無(wú)關(guān)請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)其中的道理典例探究答案：【例1】已知一元二次方程2x25x+3=0，則該方程根的情況是（）A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C兩個(gè)根都是自然數(shù) D無(wú)實(shí)數(shù)根分析：判斷方程的根的情況，只要看根的判別式=b24ac的值的符號(hào)就可以了解答：解：a=2，b=5，c=3，=b24ac=（5）2423=10，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根故選：A點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，要熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根練1已知關(guān)于x的一元二次方程3x2+4x5=0，下列說(shuō)法不正確的是（）A方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D無(wú)法確定分析：先求出的值，再判斷出其符號(hào)即可解答：解：=4243（5）=760，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵練2已知：關(guān)于x的方程x2+2mx+m21=0（1）不解方程，判別方程根的情況；（2）若方程有一個(gè)根為3，求m的值分析：（1）找出方程a，b及c的值，計(jì)算出根的判別式的值，根據(jù)其值的正負(fù)即可作出判斷；（2）將x=3代入已知方程中，列出關(guān)于系數(shù)m的新方程，通過(guò)解新方程即可求得m的值解答：解：（1）a=1，b=2m，c=m21，=b24ac=（2m）241（m21）=40，方程x2+2mx+m21=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）x2+2mx+m21=0有一個(gè)根是3，32+2m3+m21=0，解得，m=4或m=2點(diǎn)評(píng)：此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根也考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立【例2】若關(guān)于x的一元二次方程4x24x+c=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則c的值是（）A1 B1 C4 D4分析：根據(jù)方程根的情況與判別式的關(guān)系知=4244c=0，然后解一次方程即可解答：解：一元二次方程4x24x+c=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，=4244c=0，c=1，故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b24ac：當(dāng)0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根練3關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）Am3 Bm3 Cm3且m2 Dm3且m2分析：根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b2-4ac的意義得到m-20且0，即22-4（m-2）10，然后解不等式組即可得到m的取值范圍解答：解：關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，m-20且0，即22-4（m-2）10，解得m3，m的取值范圍是 m3且m2故選：D點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b2-4ac：當(dāng)0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根【例3】用公式法解下列方程：（1）x2+2x2=0；（2）y23y+1=0；（3）x2+3=2x分析：（1）求出b24ac的值，代入公式x=求出即可；（2）求出b24ac的值，代入公式y(tǒng)=求出即可；（3）求出b24ac的值是負(fù)數(shù)，即可得出原方程無(wú)解解答：解：（1）這里a=1，b=2，c=2，b24ac=2241（2）=120，x=1，x1=1+，x2=1；（2）這里a=1，b=3，c=1b24ac=（3）2411=50，y=，y1=，y2=；（3）移項(xiàng)，得x22x+3=0，這里a=1，b=2，c=3b24ac=（2）2413=40原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生運(yùn)用公式法正確解方程的能力，前提是先判斷判別式的符號(hào)，再根據(jù)情況代入求根公式求解練4解方程：x（x2）=3x+1分析：整理后求出b24ac的值，再代入公式求出即可解答：解：x（x2）=3x+1，整理得：x25x1=0，b24ac=（5）241（1）=29，x=，x1=，x2=點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能正確運(yùn)用公式法解一元二次方程是解此題的關(guān)鍵，難度適中練5當(dāng)x是何值時(shí)，3x2+4x8的值和2x21的值相等？分析：根據(jù)3x2+4x8的值和2x21的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解解答：解：根據(jù)題意得：3x2+4x8=2x21，即x2+4x7=0，a=1，b=4，c=7，=b24ac=16+28=440，則x=2點(diǎn)評(píng)：本題考查了公式法解一元二次方程，注意公式運(yùn)用的條件：判別式0夯實(shí)基礎(chǔ)答案：一、選擇題1下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（）A4x25x+2=0 Bx26x+9=0 C5x24x1=0 D3x24x+1=0解：A、=25424=70，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)正確；B、=36414=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、=1645（1）=360，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、=16413=40，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A2若關(guān)于x的一元二次方程（a1）x22x+2=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為（）A1 B0 C1 D2解：關(guān)于x的一元二次方程（a1）x22x+2=0有實(shí)數(shù)根，=（2）28（a1）=128a0且a10，a且a1，整數(shù)a的最大值為0故選：B3等腰直角三角形邊長(zhǎng)分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x26x+n1=0的兩根，則n的值為（）A9 B10 C9或10 D8或10解：三角形是等腰直角三角形，a=2，或b=2，a=b兩種情況，當(dāng)a=2，或b=2時(shí)，a，b是關(guān)于x的一元二次方程x26x+n1=0的兩根，x=2，把x=2代入x26x+n1=0得，2262+n1=0，解得：n=9，當(dāng)n=9，方程的兩根是2和4，而2，4，2不能組成三角形，故n=9不合題意，當(dāng)a=b時(shí)，方程x26x+n1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，=（6）24（n1）=0解得：n=10，故選B4有兩個(gè)一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同C如果5是方程M的一個(gè)根，那么是方程N(yùn)的一個(gè)根D如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x=1解：A、如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么=b24ac=0，所以方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)論正確，不符合題意；B、如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同，那么=b24ac0，0，所以a與c符號(hào)相同，0，所以方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同，結(jié)論正確，不符合題意；C、如果5是方程M的一個(gè)根，那么25a+5b+c=0，兩邊同時(shí)除以25，得c+b+a=0，所以是方程N(yùn)的一個(gè)根，結(jié)論正確，不符合題意；D、如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（ac）x2=ac，由ac，得x2=1，x=1，結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；故選D5已知一元二次方程x2x3=0的較小根為x1，則下面對(duì)x1的估計(jì)正確的是（）A2x11 B3x12 C2x13 D1x10解：x2x3=0，b24ac=（1）241（3）=13，x=，方程的最小值是，34，34，2，2，1故選：A二、填空題6用公式法解方程2x27x+1=0，其中b24ac=41，x1=，x2=解：2x27x+1=0，a=2，b=7，c=1，b24ac=（7）2421=41，x=，x1=，x2=，故答案為：41，三、解答題7用公式法解方程：2x24x=5解：原方程可化為：2x24x5=0，a=2，b=4，c=5，b24ac=（4）242（5）=560，x=frac4sqrt564=1x1=1+，x2=18解方程：2x22x5=0解：這里a=2，b=2，c=5，=8+40=48，x=9用公式法解方程：x（x）=4解：整理得：x2+2x4=0，=b24ac=（2）241（4）=28，x=，x1=+，x2=10已知關(guān)于x的方程x2+2x+a2=0（1）若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及方程的另一根解：（1）b24ac=（2）241（a2）=124a0，解得：a3a的取值范圍是a3；（2）設(shè)方程的另一根為x1，由根與系數(shù)的