高中數(shù)學題庫B函數(shù)對數(shù)與對數(shù)函數(shù).doc

已知：.（1）求; （2）判斷此函數(shù)的奇偶性; （3）若，求的值.答案：（1）因為所以=（2）由，且 知 所以此函數(shù)的定義域為：（-1，1）又由上可知此函數(shù)為奇函數(shù).（3）由知得 且 解得 所以的值為：來源：09年湖北宜昌月考一題型：解答題，難度：中檔閱讀下列文字，然后回答問題：對于任意實數(shù)，符號表示的整數(shù)部分，即是不超過的最大整數(shù)”。在實數(shù)軸R（箭頭向右)上是在點左側(cè)的第一個整數(shù)點，當是整數(shù)時就是。這個函數(shù)叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學本身和生產(chǎn)實踐中有廣泛的應用。從的定義可得下列性質(zhì)：與有關的另一個函數(shù)是，它的定義是- , 稱為的“小數(shù)部分”，這也是一個很常用的函數(shù)。 問題根據(jù)上文可知：的取值范圍是 ； -5.2=_；問題求的和。答案：問題：的取值范圍是 0 , 1 5.2 = 6 問題： 原式 =9 來源：1題型：解答題，難度：較難定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，yR都有f(x+y)= f(x)+ f(y)(1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0對任意xR恒成立，求實數(shù)k的取值范圍答案：(1)證明：f(x+y)=f(x)+ f(y) (x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)= f(x)+ f(-x)，又f(0)=0，則有0= f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)對任意xR成立，所以f(x)是奇函數(shù)(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k3-3+9+2，3-(1+k)3+20對任意xR成立令t=30，問題等價于t2-(1+k)t+20對任意t0恒成立R恒成立命題意圖與思路點撥：問題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)f(x)是奇函數(shù)且在xR上是增函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+2對于任意t0恒成立對二次函數(shù)f(t)進行研究求解本題還有更簡捷的解法：分離系數(shù)由k3-3+9+2得上述解法是將k分離出來，然后用平均值定理求解，簡捷、新穎來源：1題型：解答題，難度：較難設x，y，zR+，且3x= 4y= 6z。(1)求證：；(2) 比較3x，4y，6z的大小答案：（1）證明：設3x= 4y= 6z=k （k0），則 （2）同（1），；，又x，y，zR+ 既k1 3x4y6z來源：1題型：解答題，難度：較難已知函數(shù)對任意實數(shù)x都有，且當時，。當時，求的表達式。證明是偶函數(shù)。試問方程是否有實數(shù)根？若有實數(shù)根，指出實數(shù)根的個數(shù)；若沒有實數(shù)根，請說明理由。答案： f(x)= (2kx2k+2, kZ) 略 方程在1，4上有4個實根來源：題型：解答題，難度：較難若函數(shù)y=f(x)定義域、值域均為R，且存在反函數(shù)。若f(x)在(-,+ )上遞增，求證：y=f -1(x)在(-,+ )上也是增函數(shù)。答案：設x1x2, 且y1=f -1(x1), y2=f -1(x2)，則x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1y2，則因為f(x)在(-,+ )上遞增，所以x1x2與假設矛盾，所以y1y2。即y=f -1(x)在(-,+ )遞增。來源：08年數(shù)學競賽專題三題型：解答題，難度：中檔已知函數(shù)，當點M（x，y）在的圖象上運動時，點N（）在函數(shù)的圖象上運動.（）求的解析式；（）若函數(shù)的極小值為4，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若在時，恒成立，求參數(shù)a的取值范圍.答案：（）.（）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（）.來源：題型：解答題，難度：較難設f(x)=|lgx|，實數(shù)a, b滿足0ab, f(a)=f(b)=2f，求證：（1）a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0；（2）3b4.答案：證明：（1）依題設，有|lga|=|lgb|，又ab，故lga=-lgb，可得ab=1，從而0a11，故g(b)=b3-3b2-b-1=0 若1b3，則g(b)=b2(b-3)-(b+1)0.仍與式矛盾。綜上所述，可知3b0，即+-a，設g(x)= +，因為g(x)在（-,+）遞減，所以當x1時，g(x)-a恒成立等價于g(1)-a, 即+-a，化簡得-a，所以a的取值范圍是a來源：08年數(shù)學競賽專題四題型：解答題，難度：中檔當a為何值時，方程=2有一解，二解，無解？答案：方程等價于. x2+2(a-1)x+a2=0. =4(1-2a) 0，所以a1) 當a時，無解，（2）當a=時，x=不符方程。（3）當a時，x1,2=1-a. 若a=0，則滿足方程的解為x1=0, x2=2.）當0a0, x10且，有2個根。）當a0時，x2=1-a-a且。綜上所述，當a時無解，當0a0, a1，試求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范圍。答案：由對數(shù)性質(zhì)知，原方程的解x應滿足.若、同時成立，則必成立，故只需解. 由可得2kx=a(1+k2)， 當k=0時，無解；當k0時，的解是x=，代入得k.若k1，所以k0，則k21，所以0k0，所以y=2, x=4.所以方程組的解為 .來源：08年數(shù)學競賽專題四題型：解答題，難度：較難已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求證c2=(ac)logab.答案：由題設logax+logcx=2logbx，化為以a為底的對數(shù)，得，因為ac0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.注：指數(shù)與對數(shù)式互化，取對數(shù)，換元，換底公式往往是解題的橋梁。來源：08年數(shù)學競賽專題四題型：解答題，難度：中檔對于正整數(shù)a, b, c(abc)和實數(shù)x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求證：a+b=c.答案：由ax=by=cz=70w取常用對數(shù)得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由題設，所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=257.若a=1，則因為xlga=wlg70，所以w=0與題設矛盾，所以a1.又abc，且a, b, c為70的正約數(shù)，所以只有a=2, b=5, c=7.所以a+b=c.來源：08年數(shù)學競賽專題四題型：解答題，難度：中檔設p, qR+且滿足log9p= log12q= log16(p+q)，求的值。答案：令log9p= log12q= log16(p+q)=t，則p=9 t , q=12 t , p+q=16t， 所以9 t +12 t =16 t，即1+記x=，則1+x=x2，解得又0，所以=來源：08年數(shù)學競賽專題四題型：解答題，難度：中檔已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：在定義域內(nèi)存在，使得成立。(1)函數(shù)是否屬于集合？說明理由；(2)設函數(shù)，求的取值范圍；(3)設函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有交點，證明：函數(shù)。答案：(1)若，在定義域內(nèi)存在，則，方程無解，。 (2)，時，；時，由，得。 (3)，又函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有交點，設交點的橫坐標為，則，其中。，即。來源：08年高考探索性專題題型：解答題，難度：中檔設aR，試討論關于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的實數(shù)解的個數(shù)。答案：原方程等價于。即等價于。 令 y1=-x2+5x-3, y2=a, 問題轉(zhuǎn)化為求拋物線弧y1=-x2+5x-3=（1x0且a1, f(x)=loga(x+)(x1)，（1）求f(x)的反函數(shù)f -1(x)；（2）若f -1(n)(nN+)，求a的取值范圍。答案：（1）由知得ay=x+，所以兩式相加，得x=(ay+a-y)，所以f-1(x)= (ax+a-x).因為x1, 所以0, x+1.所以當0a1時，f-1(x)的定義域為0，+）。（2）當nN+，故n0，由（1）可知，在f-1(n)中a1，由f-1(n)得，解之得an3n. 所以a1，所以1a3.來源：08年數(shù)學競賽專題四題型：解答題，難度：中檔（a1b0）（1）求的定義域；（2）判斷在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；（3）若在（1，）內(nèi)恒為正，試比較a-b與1的大小答案：（1）由，x0定義域為（0，）（2）設，a1b0在（0，）是增函數(shù)（3）當，時，要使，須，a-b1來源：題型：解答題，難度：中檔已知:lg2=0.3010，lg3=0.4771，求:650是幾位數(shù)答案：650是39位數(shù) 來源：題型：解答題，難度：中檔（1）試畫出由方程所確定的函數(shù)y=f(x)圖象。（2）若函數(shù)y=ax+與y=f(x)的圖象恰有一個公共點，求a的取值范圍。答案：（1）易知x(2, 6), y. 原方程可變?yōu)閘g(6-x)=lg2y，由此得y=(x-6)2. 注意到y(tǒng)，故函數(shù)y=f(x)=(x-6)2, x(2, 5) (5, 6)，其中圖象是拋物線的一部分。（2）當直線y=ax+經(jīng)過點A（2，8）時，a=，當直線y=ax+經(jīng)過點B時，a=0，故當0a時與拋物線的AB弧恰有一個公共點。同理，當a0,函數(shù)f(x)=()(e是自然對數(shù)的底,e2.718)是奇函數(shù).(1) 求a的值;(2) 求f(x)的反函數(shù)f -1(x).答案：(1)解法1f (x)是奇函數(shù),f (x)= f (x),即()=(), (a21)(exex)=0,a21=0,a0,a =1.解法2f (x)是R上的奇函數(shù),f (0)=a=0, a0,a =1. 經(jīng)驗證知當a =1時, f (x)是奇函數(shù).(2)由(1)知y=f (x)= (ex),e2x2yex1=0,f (x)的反函數(shù)為f 1(x)=l n(y+)(xR).來源：題型：解答題，難度：中檔若函數(shù)為奇函數(shù)，（1）確定的值；（2）（文科）求函數(shù)的值域；（3）（理科）若，求的取值范圍.答案：（1）因函數(shù)的定義域由奇函數(shù)的定義，可知而， （6分）（2）（文科），或即函數(shù)的值域 （文12分）（3）（理科），由可知 即從而 或 或 （理12分）來源：08年高考武漢市聯(lián)考一題型：解答題，難度：中檔已知a1, b1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).答案：ab=(a+b),(a-1)(b-1)=1,故原式為0.來源：08年數(shù)學競賽專題四題型：解答題，難度：容易f(x)是定義在（1，+）上且在（1，+）中取值的函數(shù)，滿足條件；對于任何x, y1及u, v0, f(xuyv)f(x)f(y)都成立，試確定所有這樣的函數(shù)f(x).答案：令x=y1, u=v=，得 f(xk)kf(x). 令y=xk, r=，則f(y) f(yr), 即由，可得f(x)kk=f(x). 令f(e)=c1，由f(x)=f(elnx)=f(elnx)lnr=f(e) =c.另一方面，設f(x)=c(c1)，由柯西不等式得(ulnx+vlny) =1,所以=，即f(xuyv) f(x)f(x).綜上所述，f(x)=(c1).來源：08年數(shù)學競賽專題四題型：解答題，難度：較難已知f（x）=。是否存在實數(shù)p、q、m，使f（x）同時滿足下列三個條件：定義域為R的奇函數(shù)；在1，+）上是減函數(shù)；最小值是1。若存在，求出p、q、m；若不存在，說明理由。答案：f（x）是奇函數(shù) f（0）=0 得q=1 （1分）又f（x）=f（x） = 即（x2+1）2p2x2=（x2+1）2m2x2 p2=m2 若p=m，則f（x）=0，不合題意。故p=m0 f（x）= （5分）由f（x）在1，+）上是減函數(shù)，令g（x）=1=1在1，+）上遞增，在（，1也遞增，只有m0時，在1，+）上g（x）遞增，從而f（x）遞減。 （7分）x=1時，在（，1上取得最大值2，此時由f（x）的最小值為1得g（x）的最大值為3。 1=3 得m=1， （10分）從而p=1存在p=1，q=1，m=1。 （12分）來源：題型：解答題，難度：中檔對于任意nN+(n1)，試證明：+=log2n+log3n+lognn。答案：證明：首先考察等式右端，其形式啟發(fā)我們設，（k2, k3, knN），于是等式右端= k2+k3+kn。再研究等式左端，作集合Am=1, 2, , (m=2, 3, , n)，易見Am中有個元素。因為1Am (m=2, 3, , n)，所以1在所有Am中出現(xiàn)了n-1次；又2Am (m=2, 3, , k2)，即2在這些集合中出現(xiàn)了k2-1次；n在這些集合中出現(xiàn)了kn-1次。這樣，A2，A3，An的元素個數(shù)之和是(n-1)+(k2-1)+(kn-1)=k2+k3+kn，即+= k2+k3+kn。來源：08年數(shù)學競賽專題四題型：解答題，難度：較難已知函數(shù)是奇函數(shù)。求m的值；判斷在區(qū)間上的單調(diào)性并加以證明；當時，的值域是，求的值。答案：解：（1）m=13分（2）上是減函數(shù)；7分當0a1時，要使的值域是，則，；而a1，上式化為 （10分）又當x1時，. 當.因而，欲使的值域是，必須，所以對不等式，當且僅當時成立.12分.14分來源：題型：解答題，難度：較難已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的定義域；（2）當上的最小值，并求出當時對應的實數(shù)a的值.答案：解：（1）當，解得為函數(shù)的定義域4分（2）設單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，單調(diào)遞增6分 8分當10分若若12分注：單調(diào)性的證明也可用定義證明。來源：題型：解答題，難度：中檔已知函數(shù)（1）若1是關于x的方程的一個解，求t的值；（2）當時，解不等式；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有零點，求t的取值范圍.答案：（1） 1是方程f(x)-g(x)=0的解，loga2=loga(2+t)2,(2+t)2=2 又t+20 t+2= t=. （2）t=-1時，loga(x+1)loga(2x-1)2 又0a0 x x解集為：x| （3）解法一：F(x)=tx2+x-2t+2 由F(x)=0得：t=且-1x2） t=設U=x+2 ( 1U4且U2) 則 t=令= 當時，是減函數(shù)，當時，是增函數(shù)， 且 . 且4. 4-0或04-, t的取值范圍為：.解法二：若t=0,則F(x)=x+2在上沒有零點.下面就t0時分三種情況討論： 方程F(x)=0在上有重根x1=x2， 則=0，解得：t= 又x1=x2=，t=.F(x)在上只有一個零點，且不是方程的重根，則有F(-1)F(2)0解得：t1 又經(jīng)檢驗：t=-2或t=1時，F(xiàn)(x)在上都有零點；t-2或 t1.方程F(x)=0在上有兩個相異實根，則有：t0 t0 0 -1 或 -10 F(-1)0 F(2)0綜合可知：t的取值范圍為.來源：09年福建師大附中月考一題型：解答題，難度：較難解關于x的方程：loga(x2-x-2)=loga(x-)+1(a0且a1). 答案：解：原方程可化為loga(x2-x-2)=loga(ax-2)2分 4分由得x=a+1或x=0,當x=0時，原方程無意義，舍去.8分當x=a+1由得 10分a1時，原方程的解為x=a+112分來源：題型：解答題，難度：中檔已知函數(shù) （1）求函數(shù)的定義域；（2）若是兩個膜長為2的向量a，b的夾角，且不等式對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x恒成立，求|a+b|的取值范圍答案：（1）若原函數(shù)有意義，則故（2）因為故函數(shù)f（x）的最大值為恒成立，只需故故來源：1題型：解答題，難度：中檔已知且,解關于的不等式.答案：原不等式等價于2分即4分8分當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為.12分來源：題型：解答題，難度：較難已知函數(shù)f(x)是y=1(xR)的反函數(shù)，函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)y=的圖象關于直線y=x1成軸對稱圖形，記 F(x)=f(x)+g(x).(1)求函數(shù)F(x)的解析式及定義域;(2)試問在函數(shù)F(x)的圖象上是否存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直.若存在，求出A，B坐標;若不存在，說明理由.答案：.解: (1)由y=1，得:x=lg. f(x)=lg，由y=，得y+3=關于y=x1對稱的曲線方程x1+3=，得y=g(x).4分F(x)=lg+，定義域(1，1).6分(2) 設F (x)上不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)連線與y軸垂直，設1x1x21，則有y1=y2，又y1y2=F(x1)F(x2)=lg+=lg()+. 10分由1x1x21，1，1，x1x20，(x1+2)(x2+2)0，lg()0，y1y2.不存在直線AB與y軸垂直. ( F(x)在(1，1)上單調(diào)遞減) 14分來源：題型：解答題，難度：較難已知函數(shù)y=lg(x2+2x+a)（1）若函數(shù)定義域為R，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)的值域為R，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)的值域為0，+，求a的取值范圍.答案：解：（1） （2） （3）來源：題型：解答題，難度：較難已知函數(shù)答案：首先由在1，上遞增。若a1，則若得來源：09年甘肅蘭州月考一題型：解答題，難度：中檔已知定義在R上的偶函數(shù)y=在上單調(diào)遞減，且，則滿足0，故-1xx1. 利用圖象可知，滿log2x=2-x的x值應是（1，2）內(nèi)的某個值。來源：08年數(shù)學競賽專題四題型：填空題，難度：中檔函數(shù)f(x)=+lg(x2-1)的定義域是_.答案：由-8x-1或1x8.來源：08年數(shù)學競賽專題四題型：填空題，難度：中檔讀下列命題，請把正確命題的序號都填在橫線上 .若函數(shù)對定義域中的x總有是偶函數(shù)；函數(shù)的圖象關于直線x=2