1977年上海市高考數(shù)學(xué)試卷(理科).doc

1977年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、解答題（共10小題，滿分100分）1（10分）（1997上海）（1）化簡(jiǎn)；（2）計(jì)算；（3），驗(yàn)算i是否方程2x4+3x33x2+3x5=0的解；（4）求證：2（10分）（1997上海）在ABC中，C的平分線交AB于D，過(guò)D作BC的平分線交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的長(zhǎng)3（10分）（1997上海）已知圓A的直徑為，圓B的直徑為，圓C的直徑為2，圓A與圓B外切，圓A又與圓C外切A=60，求BC及C4（10分）（1997上海）正六棱錐VABCDEF的高為2cm，底面邊長(zhǎng)為2cm（1）按1：1畫出它的三視圖；（2）求其側(cè)面積；（3）求它的側(cè)棱和底面的夾角5（10分）（1997上海）解不等式并在數(shù)軸上把它的解表示出來(lái)6（10分）（1997上海）已知兩定點(diǎn)A（4，0）、B（4，0），一動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與兩定點(diǎn)A、B的連線PA、PB的斜率的乘積為，求點(diǎn)P的軌跡方程，并把它化為標(biāo)準(zhǔn)方程，指出是什么曲線7（10分）（1997上海）等腰梯形的周長(zhǎng)為60，底角為60，問(wèn)這梯形各邊長(zhǎng)為多少時(shí)，面積最大？8（10分）（1997上海）當(dāng)k為何值時(shí)，方程組有兩組相同的解，并求出它的解9（10分）（1997上海）如圖所示，半圓O的直徑為2，A為半圓直徑的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且OA=2，B為半圓上任一點(diǎn)，以AB為邊作等邊ABC，問(wèn)B在什么地方時(shí)，四邊形OACB的面積最大？并求出這個(gè)面積的最大值10（10分）（1997上海）已知曲線y=x22x+3與直線y=x+3相交于點(diǎn)P（0，3）、Q（3，6）兩點(diǎn)（1）分別求出曲線在交點(diǎn)的切線的斜率；（2）求出曲線與直線所圍成的圖形的面積1977年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、解答題（共10小題，滿分100分）1（10分）（1997上海）（1）化簡(jiǎn)；（2）計(jì)算；（3），驗(yàn)算i是否方程2x4+3x33x2+3x5=0的解；（4）求證：考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；復(fù)數(shù)的基本概念；三角函數(shù)恒等式的證明專題：計(jì)算題；綜合題分析：（1）利用平方和公式、同分，然后化簡(jiǎn)即可（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)即可（3）把i代入方程驗(yàn)證即可（4）三角方程的左邊利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可解答：解：（1）原式=（2）=（3）令x=i，左邊=23i+3+3i5=0，所以i是所給方程的一個(gè)解（4）證：左邊=右邊點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，復(fù)數(shù)的基本概念，三角函數(shù)恒等式的證明，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題2（10分）（1997上海）在ABC中，C的平分線交AB于D，過(guò)D作BC的平分線交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的長(zhǎng)考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定專題：計(jì)算題分析：根據(jù)線線平行得角相等，再結(jié)合角平分線可得三角形相似，由相似三角形的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)邊成比例然后根據(jù)已知邊的長(zhǎng)求出邊DE的長(zhǎng)解答：解：DEBC，1=3又1=2，2=3DE=EC由ADEABC，bDE=abaDE，故點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力3（10分）（1997上海）已知圓A的直徑為，圓B的直徑為，圓C的直徑為2，圓A與圓B外切，圓A又與圓C外切A=60，求BC及C考點(diǎn)：余弦定理；正弦定理專題：計(jì)算題分析：根據(jù)題意可求得AC和AB，再根據(jù)余弦定理求得BC，最后利用正弦定理求得sinC，進(jìn)而求得C解答：解：由已知條件可知，AC=，AB=2，CAB=60根據(jù)余弦定理，可得BC=（1+）2+42cos60（1+）2=由正弦定理，則，C=45點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理和正弦定理的應(yīng)用余弦定理和正弦定理是解三角形問(wèn)題中常用的方法，應(yīng)該熟練記憶4（10分）（1997上海）正六棱錐VABCDEF的高為2cm，底面邊長(zhǎng)為2cm（1）按1：1畫出它的三視圖；（2）求其側(cè)面積；（3）求它的側(cè)棱和底面的夾角考點(diǎn)：簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖；由三視圖求面積、體積；直線與平面所成的角專題：計(jì)算題分析：（1）由正六棱錐VABCDEF的高為2cm，底面邊長(zhǎng)為2cm易得其正視圖為高為2cm，底邊長(zhǎng)為4cm三角形，側(cè)視圖為高為2cm，底面長(zhǎng)為2cm三角形，俯視圖為邊長(zhǎng)為2cm的正六邊形（2）其側(cè)面積等于六個(gè)全等的三角形面積的和，由已知中的高及底面邊長(zhǎng)，我們易求出側(cè)高，進(jìn)行得到側(cè)面積（3）由（2）中側(cè)高的長(zhǎng)，我們可以計(jì)算出側(cè)棱的長(zhǎng)，進(jìn)而易得側(cè)棱與底面的夾角解答：解：（1）按1：1畫出正六棱錐VABCDEF的三視圖，如右圖示：（2）斜高為（cm），故側(cè)面積=（cm2）（3）側(cè)棱長(zhǎng)為=2，側(cè)棱與底面的夾角的正弦值為=故側(cè)棱和底面的夾角45點(diǎn)評(píng)：正棱錐（臺(tái)、柱）的側(cè)面是n個(gè)全等的三角形（等腰梯形、矩形），我們只要求出一個(gè)側(cè)面的面積，乘以n即可得到側(cè)面積5（10分）（1997上海）解不等式并在數(shù)軸上把它的解表示出來(lái)考點(diǎn)：一元二次不等式的解法 分析：分別求解不等式，再求其交集即可解答：解：解不等式得即4x2或3x4點(diǎn)評(píng)：注意到數(shù)形結(jié)合，數(shù)軸的運(yùn)用可幫助更快解題6（10分）（1997上海）已知兩定點(diǎn)A（4，0）、B（4，0），一動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與兩定點(diǎn)A、B的連線PA、PB的斜率的乘積為，求點(diǎn)P的軌跡方程，并把它化為標(biāo)準(zhǔn)方程，指出是什么曲線考點(diǎn)：軌跡方程；橢圓的定義 分析：欲求點(diǎn)P的軌跡方程，只須尋找它的坐標(biāo)x，y間的關(guān)系式即可，利用題中斜率的乘積為列式化簡(jiǎn)即得最后將把它化為標(biāo)準(zhǔn)方程，指出是什么曲線即可解答：解：A（4，0）、B（4，0），P（x，y）因?yàn)橹本€PA、PB的斜率存在，所以x4直線PA、PB的斜率分別是，由題意：PA、PB的斜率的乘積為，得：，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)P的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為，x4，它表示橢圓除去x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，故此曲線為橢圓，除去x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程、橢圓的定義直接法：直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程7（10分）（1997上海）等腰梯形的周長(zhǎng)為60，底角為60，問(wèn)這梯形各邊長(zhǎng)為多少時(shí)，面積最大？考點(diǎn)：基本不等式分析：設(shè)等腰梯形的腰長(zhǎng)為x，利用x表達(dá)出梯形的面積，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題解答：解：設(shè)等腰梯形的腰長(zhǎng)為x，則有AE=，BE=，=等腰梯形ABCD的面積=（BC+AE）BE=由此可知，當(dāng)且僅當(dāng)x=15時(shí)等腰梯形的面積最大此時(shí)，腰AB=CD=x=15，上底BC=7.5，下底AD=BC+2AE=22.5點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)關(guān)系式和最值，難度不大，要充分結(jié)合圖形表達(dá)各邊長(zhǎng)8（10分）（1997上海）當(dāng)k為何值時(shí)，方程組有兩組相同的解，并求出它的解考點(diǎn)：一元二次不等式的解法專題：計(jì)算題分析：將兩式聯(lián)立，消元，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次方程的根的問(wèn)題，判斷的情況即可解題中注意挖掘題目隱含的條件：由（1），x0，y2，注意檢驗(yàn)解答：解：由（1），x0，y2由（2），y=kx2k10代入（1），得，x2kx+（2k+12）=0此方程有二等根的條件是判別式為零，即k24（2k+12）=0，k28k48=0，（k12）（k+4）=0，k1=12，k2=4（增根）當(dāng)k=12時(shí)，x=6，y=38點(diǎn)評(píng)：本題考查方程組的解的問(wèn)題、二次方程根的問(wèn)題，同時(shí)考查消元思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用9（10分）（1997上海）如圖所示，半圓O的直徑為2，A為半圓直徑的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且OA=2，B為半圓上任一點(diǎn)，以AB為邊作等邊ABC，問(wèn)B在什么地方時(shí)，四邊形OACB的面積最大？并求出這個(gè)面積的最大值考點(diǎn)：在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型專題：計(jì)算題分析：本題考查的知識(shí)是余弦定理，及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，由于AOB的大小不確定，故我們可以設(shè)AOB=，并根據(jù)余弦定理，表示出ABC的面積及OAB的面積，進(jìn)而表示出四邊形OACB的面積，并化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為正弦型函數(shù)的形式，再結(jié)合正弦型函數(shù)最值的求法進(jìn)行求解解答：解：四邊形OACB的面積=OAB的面積+ABC的面積設(shè)AOB=，則ABC的面積=OAB的面積=OAOBsin=21sin=sin四邊形OACB的面積=當(dāng)60=90，即=150時(shí)，四邊形OACB的面積最大，其最大面積為點(diǎn)評(píng)：函數(shù)y=Asin（x+）（A0，0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由決定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，再根據(jù)最大值為|A|，最小值為|A|，周期T=進(jìn)行求解10（10分）（1997上海）已知曲線y=x22x+3與直線y=x+3相交于點(diǎn)P（0，3）、Q（3，6）兩點(diǎn)（1）分別求出曲線在交點(diǎn)的切線的斜率；（2）求出曲線與直線所圍成的圖形的面積考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；定積分專題：常規(guī)題型分析：（1）函數(shù)y=f（x）在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值即為在該點(diǎn)的斜率，所以只要求出該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值即可（2）求圖形的面積，根據(jù)圖形只要求出梯形OAQP的面積與曲邊梯形OAQP的面積，求曲邊梯形OAQP的面積，用定積分求，再求它們之差即可解答：解：（1）y=x22x+3，y=2x2，過(guò)點(diǎn)（0，3）的切線斜率k1=y|x=0=2過(guò)點(diǎn)（3，6）的切線斜率k1=y