1977年上海市高考數學試卷(理科).doc

1977年上海市高考數學試卷（理科）一、解答題（共10小題，滿分100分）1（10分）（1997上海）（1）化簡；（2）計算；（3），驗算i是否方程2x4+3x33x2+3x5=0的解；（4）求證：2（10分）（1997上海）在ABC中，C的平分線交AB于D，過D作BC的平分線交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的長3（10分）（1997上海）已知圓A的直徑為，圓B的直徑為，圓C的直徑為2，圓A與圓B外切，圓A又與圓C外切A=60，求BC及C4（10分）（1997上海）正六棱錐VABCDEF的高為2cm，底面邊長為2cm（1）按1：1畫出它的三視圖；（2）求其側面積；（3）求它的側棱和底面的夾角5（10分）（1997上海）解不等式并在數軸上把它的解表示出來6（10分）（1997上海）已知兩定點A（4，0）、B（4，0），一動點P（x，y）與兩定點A、B的連線PA、PB的斜率的乘積為，求點P的軌跡方程，并把它化為標準方程，指出是什么曲線7（10分）（1997上海）等腰梯形的周長為60，底角為60，問這梯形各邊長為多少時，面積最大？8（10分）（1997上海）當k為何值時，方程組有兩組相同的解，并求出它的解9（10分）（1997上海）如圖所示，半圓O的直徑為2，A為半圓直徑的延長線上的一點，且OA=2，B為半圓上任一點，以AB為邊作等邊ABC，問B在什么地方時，四邊形OACB的面積最大？并求出這個面積的最大值10（10分）（1997上海）已知曲線y=x22x+3與直線y=x+3相交于點P（0，3）、Q（3，6）兩點（1）分別求出曲線在交點的切線的斜率；（2）求出曲線與直線所圍成的圖形的面積1977年上海市高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、解答題（共10小題，滿分100分）1（10分）（1997上海）（1）化簡；（2）計算；（3），驗算i是否方程2x4+3x33x2+3x5=0的解；（4）求證：考點：對數的運算性質；復數的基本概念；三角函數恒等式的證明專題：計算題；綜合題分析：（1）利用平方和公式、同分，然后化簡即可（2）利用對數的運算性質，化簡即可（3）把i代入方程驗證即可（4）三角方程的左邊利用誘導公式化簡即可解答：解：（1）原式=（2）=（3）令x=i，左邊=23i+3+3i5=0，所以i是所給方程的一個解（4）證：左邊=右邊點評：本題考查對數的運算性質，復數的基本概念，三角函數恒等式的證明，考查計算能力，是基礎題2（10分）（1997上海）在ABC中，C的平分線交AB于D，過D作BC的平分線交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的長考點：相似三角形的性質；相似三角形的判定專題：計算題分析：根據線線平行得角相等，再結合角平分線可得三角形相似，由相似三角形的性質找出對應邊成比例然后根據已知邊的長求出邊DE的長解答：解：DEBC，1=3又1=2，2=3DE=EC由ADEABC，bDE=abaDE，故點評：本題考查相似三角形的判定與性質的實際應用及分析問題、解決問題的能力3（10分）（1997上海）已知圓A的直徑為，圓B的直徑為，圓C的直徑為2，圓A與圓B外切，圓A又與圓C外切A=60，求BC及C考點：余弦定理；正弦定理專題：計算題分析：根據題意可求得AC和AB，再根據余弦定理求得BC，最后利用正弦定理求得sinC，進而求得C解答：解：由已知條件可知，AC=，AB=2，CAB=60根據余弦定理，可得BC=（1+）2+42cos60（1+）2=由正弦定理，則，C=45點評：本題主要考查了余弦定理和正弦定理的應用余弦定理和正弦定理是解三角形問題中常用的方法，應該熟練記憶4（10分）（1997上海）正六棱錐VABCDEF的高為2cm，底面邊長為2cm（1）按1：1畫出它的三視圖；（2）求其側面積；（3）求它的側棱和底面的夾角考點：簡單空間圖形的三視圖；由三視圖求面積、體積；直線與平面所成的角專題：計算題分析：（1）由正六棱錐VABCDEF的高為2cm，底面邊長為2cm易得其正視圖為高為2cm，底邊長為4cm三角形，側視圖為高為2cm，底面長為2cm三角形，俯視圖為邊長為2cm的正六邊形（2）其側面積等于六個全等的三角形面積的和，由已知中的高及底面邊長，我們易求出側高，進行得到側面積（3）由（2）中側高的長，我們可以計算出側棱的長，進而易得側棱與底面的夾角解答：解：（1）按1：1畫出正六棱錐VABCDEF的三視圖，如右圖示：（2）斜高為（cm），故側面積=（cm2）（3）側棱長為=2，側棱與底面的夾角的正弦值為=故側棱和底面的夾角45點評：正棱錐（臺、柱）的側面是n個全等的三角形（等腰梯形、矩形），我們只要求出一個側面的面積，乘以n即可得到側面積5（10分）（1997上海）解不等式并在數軸上把它的解表示出來考點：一元二次不等式的解法 分析：分別求解不等式，再求其交集即可解答：解：解不等式得即4x2或3x4點評：注意到數形結合，數軸的運用可幫助更快解題6（10分）（1997上海）已知兩定點A（4，0）、B（4，0），一動點P（x，y）與兩定點A、B的連線PA、PB的斜率的乘積為，求點P的軌跡方程，并把它化為標準方程，指出是什么曲線考點：軌跡方程；橢圓的定義 分析：欲求點P的軌跡方程，只須尋找它的坐標x，y間的關系式即可，利用題中斜率的乘積為列式化簡即得最后將把它化為標準方程，指出是什么曲線即可解答：解：A（4，0）、B（4，0），P（x，y）因為直線PA、PB的斜率存在，所以x4直線PA、PB的斜率分別是，由題意：PA、PB的斜率的乘積為，得：，化簡得，點P的軌跡的標準方程為，x4，它表示橢圓除去x軸上的兩個頂點，故此曲線為橢圓，除去x軸上的兩個頂點點評：本題考查了軌跡方程、橢圓的定義直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程7（10分）（1997上海）等腰梯形的周長為60，底角為60，問這梯形各邊長為多少時，面積最大？考點：基本不等式分析：設等腰梯形的腰長為x，利用x表達出梯形的面積，轉化為求函數的最值問題解答：解：設等腰梯形的腰長為x，則有AE=，BE=，=等腰梯形ABCD的面積=（BC+AE）BE=由此可知，當且僅當x=15時等腰梯形的面積最大此時，腰AB=CD=x=15，上底BC=7.5，下底AD=BC+2AE=22.5點評：本題考查函數的應用，求函數關系式和最值，難度不大，要充分結合圖形表達各邊長8（10分）（1997上海）當k為何值時，方程組有兩組相同的解，并求出它的解考點：一元二次不等式的解法專題：計算題分析：將兩式聯(lián)立，消元，轉化為關于x的二次方程的根的問題，判斷的情況即可解題中注意挖掘題目隱含的條件：由（1），x0，y2，注意檢驗解答：解：由（1），x0，y2由（2），y=kx2k10代入（1），得，x2kx+（2k+12）=0此方程有二等根的條件是判別式為零，即k24（2k+12）=0，k28k48=0，（k12）（k+4）=0，k1=12，k2=4（增根）當k=12時，x=6，y=38點評：本題考查方程組的解的問題、二次方程根的問題，同時考查消元思想和等價轉化思想的運用9（10分）（1997上海）如圖所示，半圓O的直徑為2，A為半圓直徑的延長線上的一點，且OA=2，B為半圓上任一點，以AB為邊作等邊ABC，問B在什么地方時，四邊形OACB的面積最大？并求出這個面積的最大值考點：在實際問題中建立三角函數模型專題：計算題分析：本題考查的知識是余弦定理，及正弦型函數的性質，由于AOB的大小不確定，故我們可以設AOB=，并根據余弦定理，表示出ABC的面積及OAB的面積，進而表示出四邊形OACB的面積，并化簡函數的解析式為正弦型函數的形式，再結合正弦型函數最值的求法進行求解解答：解：四邊形OACB的面積=OAB的面積+ABC的面積設AOB=，則ABC的面積=OAB的面積=OAOBsin=21sin=sin四邊形OACB的面積=當60=90，即=150時，四邊形OACB的面積最大，其最大面積為點評：函數y=Asin（x+）（A0，0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由決定，即要求三角函數的周期與最值一般是要將其函數的解析式化為正弦型函數，再根據最大值為|A|，最小值為|A|，周期T=進行求解10（10分）（1997上海）已知曲線y=x22x+3與直線y=x+3相交于點P（0，3）、Q（3，6）兩點（1）分別求出曲線在交點的切線的斜率；（2）求出曲線與直線所圍成的圖形的面積考點：導數的運算；定積分專題：常規(guī)題型分析：（1）函數y=f（x）在某點的導數值即為在該點的斜率，所以只要求出該點的導數值即可（2）求圖形的面積，根據圖形只要求出梯形OAQP的面積與曲邊梯形OAQP的面積，求曲邊梯形OAQP的面積，用定積分求，再求它們之差即可解答：解：（1）y=x22x+3，y=2x2，過點（0，3）的切線斜率k1=y|x=0=2過點（3，6）的切線斜率k1=y