2020屆高考數(shù)學(理)一輪復習講義 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性.doc

2.3函數(shù)的奇偶性與周期性最新考綱考情考向分析1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義2.會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性.以理解函數(shù)的奇偶性、會用函數(shù)的奇偶性為主，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯命題，加強函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用意識，題型以選擇、填空題為主，中等偏上難度.1函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點奇函數(shù)設函數(shù)yf(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有xD，且f(x)f(x)，則這個函數(shù)叫做奇函數(shù)關(guān)于坐標原點對稱偶函數(shù)設函數(shù)yg(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有xD，且g(x)g(x)，則這個函數(shù)叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱2.周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期概念方法微思考1如果已知函數(shù)f(x)，g(x)的奇偶性，那么函數(shù)f(x)g(x)，f(x)g(x)的奇偶性有什么結(jié)論？提示在函數(shù)f(x)，g(x)公共定義域內(nèi)有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2已知函數(shù)f(x)滿足下列條件，你能得到什么結(jié)論？(1)f(xa)f(x)(a0)(2)f(xa)(a0)(3)f(xa)f(xb)(ab)提示(1)T2|a|(2)T2|a|(3)T|ab|題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)函數(shù)yx2，x(0，)是偶函數(shù)()(2)偶函數(shù)的圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點()(3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對稱()題組二教材改編2已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x0時，f(x)x(1x)，則f(1)_.答案2解析f(1)122，又f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)2.3設f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當x1,1)時，f(x)則f_.答案1解析ff4221.4.設奇函數(shù)f(x)的定義域為5,5，若當x0,5時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)0的解集為_答案(2,0)(2,5解析由圖象可知，當0x0；當2x5時，f(x)0，又f(x)是奇函數(shù)，當2x0時，f(x)0，當5x0.綜上，f(x)0的解集為(2,0)(2,5題組三易錯自糾5已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是()A B. C. D答案B解析f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.6已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x3)f(x)，且當x時，f(x)x3，則f_.答案解析由f(x3)f(x)知函數(shù)f(x)的周期為3，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以fff3.題型一函數(shù)奇偶性的判斷例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由得x236，解得x6，即函數(shù)f(x)的定義域為6,6，關(guān)于原點對稱，f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)，函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(2)由得定義域為(1,0)(0,1)，關(guān)于原點對稱x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱當x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；當x0時，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；綜上可知，對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)思維升華 判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立跟蹤訓練1 (1)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是()Af(x)xsin 2x Bf(x)x2cos xCf(x)3x Df(x)x2tan x答案D解析對于選項A，函數(shù)的定義域為R，f(x)xsin 2(x)(xsin 2x)f(x)，所以f(x)xsin 2x為奇函數(shù)；對于選項B，函數(shù)的定義域為R，f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，所以f(x)x2cos x為偶函數(shù)；對于選項C，函數(shù)的定義域為R，f(x)3xf(x)，所以f(x)3x為奇函數(shù)；只有f(x)x2tan x既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)故選D.(2)已知函數(shù)f(x)，g(x)，則下列結(jié)論正確的是()Ah(x)f(x)g(x)是偶函數(shù)Bh(x)f(x)g(x)是奇函數(shù)Ch(x)f(x)g(x)是奇函數(shù)Dh(x)f(x)g(x)是偶函數(shù)答案A解析易知h(x)f(x)g(x)的定義域為x|x0因為f(x)g(x)f(x)g(x)，所以h(x)f(x)g(x)是偶函數(shù)故選A.題型二函數(shù)的周期性及其應用1若函數(shù)f(x)(xR)是周期為4的奇函數(shù)，且在0,2上的解析式為f(x)則ff_.答案解析由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，所以ffffffffsin .2已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)2，且對任意的x都有f(x2)，則f(2 020)_.答案2解析由f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，所以f(2 020)f(4)因為f(22)，所以f(4)2.故f(2 020)2.3(2017山東)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x4)f(x2)若當x3,0時，f(x)6x，則f(919)_.答案6解析f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期為6的周期函數(shù)，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(1)f(1)6，即f(919)6.4設定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；當0x1時，f(x)2x1，則ff(1)ff(2)f_.答案1解析依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2，則f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.ff(1)ff(2)ff0ff(0)ffff(0)fff(0)12011.思維升華 利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進而解決問題題型三函數(shù)性質(zhì)的綜合應用命題點1求函數(shù)值或函數(shù)解析式例2 (1)設f(x)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，若在區(qū)間2,0)(0,2上，f(x)則f(2 021)_.答案解析設0x2，則2x0時，x0時，f(x)x2ax1a，若函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是_答案1,0解析因為函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)0，若函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足當x0時，函數(shù)為減函數(shù)，且1a0，此時即即1a0.命題點3利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式例4 (1)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，若f(ln x)f(2)，則x的取值范圍是()A(0，e2) B(e2，)C(e2，) D(e2，e2)答案D解析根據(jù)題意知，f(x)為偶函數(shù)且在0，)上單調(diào)遞增，則f(ln x)f(2)|ln x|2，即2ln x2，解得e2xf(2x1)成立的x的取值范圍為_答案解析由已知得函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)f(|x|)，由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|)當x0時，f(x)ln(1x)，因為yln(1x)與y在(0，)上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|，兩邊平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10，解得x0 B減函數(shù)且f(x)0 D增函數(shù)且f(x)0，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以在區(qū)間上函數(shù)也單調(diào)遞增，且f(x)0.由ff(x)知，函數(shù)的周期為，所以在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增且f(x)0.故選D.(2)設f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當0x1時，f(x)2x(1x)，則f_.答案解析由題意可知，fff2.(3)已知函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)，且當xf(x)，則實數(shù)x的取值范圍是_答案(3,2)解析g(x)是奇函數(shù)，當x0時，g(x)g(x)ln(1x)，易知f(x)在R上是增函數(shù)，由f(6x2)f(x)，可得6x2x，即x2x60，3x0.給出下列命題：f(3)0；直線x6是函數(shù)yf(x)的圖象的一條對稱軸；函數(shù)yf(x)在9，6上為增函數(shù)；函數(shù)yf(x)在9,9上有四個零點其中所有正確命題的序號為_答案解析f(36)f(3)f(3)又f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(3)0，故正確；由知f(x6)f(x)，所以f(x)的周期為6.又因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(x6)f(x)，而f(x)的周期為6，所以f(x6)f(6x)，f(x)f(x6)，所以f(6x)f(6x)，所以直線x6是函數(shù)yf(x)的圖象的一條對稱軸故正確；當x1，x20,3，且x1x2時，都有0，所以函數(shù)yf(x)在0,3上為增函數(shù)因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)yf(x)在3,0上為減函數(shù)，而f(x)的周期為6，所以函數(shù)yf(x)在9，6上為減函數(shù)故錯誤；f(3)0，f(x)的周期為6，所以f(9)f(3)f(3)f(9)0，所以函數(shù)yf(x)在9,9上有四個零點故正確二、函數(shù)性質(zhì)的綜合應用例2 (1)(2018全國)已知f(x)是定義域為(，)的奇函數(shù)，滿足f(1x)f(1x)若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)等于()A50 B0 C2 D50答案C解析f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(1x)f(x1)f(1x)f(1x)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)由f(x)為奇函數(shù)且定義域為R得f(0)0，又f(1x)f(1x)，f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.故選C.(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案D解析因為f(x)滿足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2，2上是增函數(shù)，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f()，則a的取值范圍是_答案解析f(2|a1|)f()f()，又由已知可得f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，2|a1|，|a1|，a2的解集為()A(2，) B.(2，)C.(，) D(，)答案B解析f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(，0上是減函數(shù)，所以f(x)在0，)上是增函數(shù)，所以f(log2x)2f(1)f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1或log2x2或0x.6已知偶函數(shù)f(x)對于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)遞增的，則f(6.5)，f(1)，f(0)的大小關(guān)系是()Af(0)f(6.5)f(1)Bf(6.5)f(0)f(1)Cf(1)f(6.5)f(0)Df(1)f(0)f(6.5)答案A解析由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，函數(shù)f(x)的周期是2.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1)f(x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)遞增的，f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)0時，f(x)ln x，則f的值為_答案ln 2解析由已知可得fln 2，所以ff(2)又因為f(x)是奇函數(shù)，所以ff(2)f(2)ln 2. 9奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,6上是增函數(shù)，且在區(qū)間3,6上的最大值為8，最小值為1，則f(6)f(3)的值為_答案9解析由于f(x)在3,6上為增函數(shù)，所以f(x)的最大值為f(6)8，f(x)的最小值為f(3)1，因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(3)f(3)1，所以f(6)f(3)819.10若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上是單調(diào)遞增的如果實數(shù)t滿足f(ln t)f2f(1)，那么t的取值范圍是_答案解析由于函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(ln t)f，由f(ln t)f2f(1)，得f(ln t)f(1)又函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上是單調(diào)遞增的，所以|ln t|1，即1ln t1，故te.11已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求實數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍解(1)設x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，于是x0時，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知所以10，f(x2)對任意xR恒成立，則f(2 023)_.答案1解析因為f(x)0，f(x2)，所以f(x4)f(x2)2f(x)，即函數(shù)f(x)的周期是