史上最全復變函數(shù)試題庫.doc

（史上最全） 復變函數(shù)論試題庫復變函數(shù)考試試題（一）一、 判斷題（20分）：1.若f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導， 則函數(shù)f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函數(shù)必在整個復平面為常數(shù). ( ) 3.若收斂， 則與都收斂. ( ) 4.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析， 且， 則（常數(shù)）. ( ) 5.若函數(shù)f(z)在z0處解析， 則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù). ( ) 6.若z0是的m階零點， 則z0是1/的m階極點. ( ) 7.若存在且有限， 則z0是函數(shù)f(z)的可去奇點. ( ) 8.若函數(shù)f(z)在是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)， 則. ( ) 9. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C.( ) 10.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒等于常數(shù)， 則f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù).（ ）二.填空題（20分）1、 _.（為自然數(shù)）2. _.3.函數(shù)的周期為_.4.設(shè)， 則的孤立奇點有_.5.冪級數(shù)的收斂半徑為_.6.若函數(shù)f(z)在整個平面上處處解析， 則稱它是_.7.若， 則_.8._， 其中n為自然數(shù).9. 的孤立奇點為_ .10.若是的極點， 則.三.計算題（40分）：1. 設(shè)， 求在內(nèi)的羅朗展式.2. 3. 設(shè)， 其中， 試求4. 求復數(shù)的實部與虛部.四. 證明題.(20分)1. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析. 證明：如果在內(nèi)為常數(shù)， 那么它在內(nèi)為常數(shù).2. 試證: 在割去線段的平面內(nèi)能分出兩個單值解析分支, 并求出支割線上岸取正值的那支在的值.復變函數(shù)考試試題（二）一. 判斷題.（20分）1. 若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)， 則u(x,y)與v(x,y)都在D內(nèi)連續(xù).( )2. cos z與sin z在復平面內(nèi)有界. ( )3. 若函數(shù)f(z)在z0解析， 則f(z)在z0連續(xù). ( )4. 有界整函數(shù)必為常數(shù). ( ) 5. 如z0是函數(shù)f(z)的本性奇點， 則一定不存在. ( )6. 若函數(shù)f(z)在z0可導， 則f(z)在z0解析. ( ) 7. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C.( )8. 若數(shù)列收斂， 則與都收斂. ( )9. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析， 則|f(z)|也在D內(nèi)解析. ( )10. 存在一個在零點解析的函數(shù)f(z)使且. ( )二. 填空題. (20分)1. 設(shè)， 則2.設(shè)， 則_.3. _.（為自然數(shù)） 4. 冪級數(shù)的收斂半徑為_ .5. 若z0是f(z)的m階零點且m0， 則z0是的_零點.6. 函數(shù)ez的周期為_. 7. 方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.8. 設(shè)， 則的孤立奇點有_.9. 函數(shù)的不解析點之集為_.10. .三. 計算題. (40分)1. 求函數(shù)的冪級數(shù)展開式.2. 在復平面上取上半虛軸作割線. 試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)在正實軸取正實值的一個解析分支， 并求它在上半虛軸左沿的點及右沿的點處的值.3. 計算積分：， 積分路徑為（1）單位圓（）的右半圓.4. 求 .四. 證明題. (20分)1. 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析， 試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是在D內(nèi)解析.2. 試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.復變函數(shù)考試試題（三）一. 判斷題. (20分).1. cos z與sin z的周期均為. ( )2. 若f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件, 則f(z)在z0解析. ( )3. 若函數(shù)f(z)在z0處解析， 則f(z)在z0連續(xù). ( ) 4. 若數(shù)列收斂， 則與都收斂. ( )5. 若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)解析且在D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒為常數(shù)， 則數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù). ( )6. 若函數(shù)f(z)在z0解析， 則f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導. ( )7. 如果函數(shù)f(z)在上解析,且,則. （ ）8. 若函數(shù)f(z)在z0處解析， 則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù). ( )9. 若z0是的m階零點, 則z0是1/的m階極點. ( )10. 若是的可去奇點， 則. ( )二. 填空題. (20分)1. 設(shè)， 則f(z)的定義域為_.2. 函數(shù)ez的周期為_.3. 若， 則_.4. _.5. _.（為自然數(shù)）6. 冪級數(shù)的收斂半徑為_.7. 設(shè)， 則f(z)的孤立奇點有_.8. 設(shè)， 則.9. 若是的極點， 則.10. .三. 計算題. (40分)1. 將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展為Laurent級數(shù).2. 試求冪級數(shù)的收斂半徑.3. 算下列積分：， 其中是. 4. 求在|z|1內(nèi)根的個數(shù).四. 證明題. (20分)1. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析. 證明：如果在內(nèi)為常數(shù)， 那么它在內(nèi)為常數(shù).2. 設(shè)是一整函數(shù)， 并且假定存在著一個正整數(shù)n， 以及兩個正數(shù)R及M， 使得當時， 證明是一個至多n次的多項式或一常數(shù)。復變函數(shù)考試試題（四）一. 判斷題. (20分)1. 若f(z)在z0解析， 則f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件. （ ）2. 若函數(shù)f(z)在z0可導， 則f(z)在z0解析. （ ）3. 函數(shù)與在整個復平面內(nèi)有界. （ ）4. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析， 則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有.（ ）5. 若存在且有限， 則z0是函數(shù)的可去奇點. （ ）6. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且， 則f(z)在D內(nèi)恒為常數(shù). （ ）7. 如果z0是f(z)的本性奇點， 則一定不存在. （ ）8. 若， 則為的n階零點. （ ）9. 若與在內(nèi)解析， 且在內(nèi)一小弧段上相等， 則. （ ）10. 若在內(nèi)解析， 則. （ ）二. 填空題. (20分)1. 設(shè)， 則.2. 若， 則_.3. 函數(shù)ez的周期為_.4. 函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_5. 若函數(shù)f(z)在復平面上處處解析， 則稱它是_.6. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外處處解析， 則稱它是D內(nèi)的_.7. 設(shè)， 則.8. 的孤立奇點為_.9. 若是的極點， 則.10. _.三. 計算題. (40分)1. 解方程.2. 設(shè)， 求3. . 4. 函數(shù)有哪些奇點？各屬何類型（若是極點， 指明它的階數(shù)）.四. 證明題. (20分)1. 證明：若函數(shù)在上半平面解析， 則函數(shù)在下半平面解析.2. 證明方程在內(nèi)僅有3個根.復變函數(shù)考試試題（五）一. 判斷題.（20分）1. 若函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)， 則它在D內(nèi)有任意階導數(shù). （ ）2. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析， 且在D內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)， 則在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù). （ ）3. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析， 則|f(z)|也在D內(nèi)解析. （ ）4. 若冪級數(shù)的收斂半徑大于零， 則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析. （ ）5. 若函數(shù)f(z)在z0處滿足Cauchy-Riemann條件， 則f(z)在z0解析. （ ）6. 若存在且有限， 則z0是f(z)的可去奇點. （ ）7. 若函數(shù)f(z)在z0可導， 則它在該點解析. （ ）8. 設(shè)函數(shù)在復平面上解析， 若它有界， 則必為常數(shù). （ ）9. 若是的一級極點， 則. （ ）10. 若與在內(nèi)解析， 且在內(nèi)一小弧段上相等， 則. （ ）二. 填空題.（20分）1. 設(shè)， 則.2. 當時， 為實數(shù).3. 設(shè)， 則.4. 的周期為_.5. 設(shè)， 則.6. .7. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外處處解析， 則稱它是D內(nèi)的_。8. 函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_.9. 的孤立奇點為_.10. 設(shè)C是以為a心， r為半徑的圓周， 則.（為自然數(shù)）三. 計算題. (40分)1. 求復數(shù)的實部與虛部.2. 計算積分：， 在這里L表示連接原點到的直線段.3. 求積分：， 其中0a1.4. 應用儒歇定理求方程， 在|z|1內(nèi)根的個數(shù)， 在這里在上解析， 并且.四. 證明題. (20分)1. 證明函數(shù)除去在外， 處處不可微.2. 設(shè)是一整函數(shù)， 并且假定存在著一個正整數(shù)n， 以及兩個數(shù)R及M， 使得當時， 證明:是一個至多n次的多項式或一常數(shù).復變函數(shù)考試試題（六）一、 判斷題（30分）：1. 若函數(shù)在解析， 則在連續(xù). （ ）2. 若函數(shù)在處滿足Caychy-Riemann條件， 則在解析. （ ）3. 若函數(shù)在解析， 則在處滿足Caychy-Riemann條件. （ ）4. 若函數(shù)在是區(qū)域內(nèi)的單葉函數(shù)， 則. （ ）5. 若在單連通區(qū)域內(nèi)解析， 則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ）6. 若在區(qū)域內(nèi)解析， 則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ）7. 若， 則函數(shù)在是內(nèi)的單葉函數(shù).（ ）8. 若是的階零點， 則是的階極點.（ ）9. 如果函數(shù)在上解析， 且,則.（ ）10. .（ ）二、 填空題（20分）1. 若， 則_.2. 設(shè)， 則的定義域為_.3. 函數(shù)的周期為_.4. _.5. 冪級數(shù)的收斂半徑為_.6. 若是的階零點且， 則是的_零點.7. 若函數(shù)在整個復平面處處解析， 則稱它是_.8. 函數(shù)的不解析點之集為_.9. 方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.10. 公式稱為_.三、 計算題（30分）1、.2、設(shè)， 其中， 試求.3、設(shè)， 求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復數(shù)的實部與虛部.6、求的值.四、 證明題（20分）1、 方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.2、 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析， 等于常數(shù)， 則在恒等于常數(shù).3、 若是的階零點， 則是的階極點.復變函數(shù)考試試題（七）一、 判斷題（24分）1. 若函數(shù)在解析， 則在的某個領(lǐng)域內(nèi)可導.（ ）2. 若函數(shù)在處解析， 則在滿足Cauchy-Riemann條件.（ ）3. 如果是的可去奇點， 則一定存在且等于零.（ ）4. 若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的單葉函數(shù)， 則.（ ）5. 若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)， 則它在內(nèi)有任意階導數(shù).（ ）6. 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析， 且在內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)， 則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（ ）7. 若是的階零點， 則是的階極點.（ ）二、 填空題（20分）1. 若， 則_.2. 設(shè)， 則的定義域為_.3. 函數(shù)的周期為_.4. _.5. 冪級數(shù)的收斂半徑為_.6. 若是的階零點且， 則是的_零點.7. 若函數(shù)在整個復平面處處解析， 則稱它是_.8. 函數(shù)的不解析點之集為_.9. 方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.10. _.三、 計算題（30分）1、 求.2、 設(shè)， 其中， 試求.3、設(shè)， 求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復數(shù)的實部與虛部.6、利用留數(shù)定理計算積分：， .四、 證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析， 等于常數(shù)， 則在恒等于常數(shù).3、 若是的階零點， 則是的階極點.五、 計算題（10分）求一個單葉函數(shù)， 去將平面上的上半單位圓盤保形映射為平面的單位圓盤復變函數(shù)考試試題（八）一、判斷題（20分）1、若函數(shù)在解析， 則在連續(xù).（ ）2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件， 則在處解析.（ ）3、如果是的本性奇點， 則一定不存在.（ ）4、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)解析， 并且， 則是區(qū)域的單葉函數(shù).（ ）5、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)， 則它在內(nèi)有任意階導數(shù).（ ）6、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的每一點均可導， 則它在內(nèi)有任意階導數(shù).（ ）7、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且， 則在內(nèi)恒為常數(shù).（ ）8. 存在一個在零點解析的函數(shù)使且.（ ）9. 如果函數(shù)在上解析， 且， 則.（ ）10. 是一個有界函數(shù).（ ）二、填空題（20分）1、若， 則_.2、設(shè)， 則的定義域為_.3、函數(shù)的周期為_.4、若， 則_.5、冪級數(shù)的收斂半徑為_.6、函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_.7、若是單位圓周， 是自然數(shù)， 則_.8、函數(shù)的不解析點之集為_.9、方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.10、若， 則的孤立奇點有_.三、計算題（30分）1、求2、設(shè)， 其中， 試求.3、設(shè)， 求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復數(shù)的實部與虛部.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)， 則二元函數(shù)與都在內(nèi)連續(xù).4、 若是的階零點， 則是的階極點.五、 計算題（10分）求一個單葉函數(shù)， 去將平面上的區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.2011復變函數(shù)考試試題（九）一、判斷題（20分）1、若函數(shù)在可導， 則在解析.（ ）2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件， 則在處解析.（ ）3、如果是的極點， 則一定存在且等于無窮大.（ ）4、若函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析， 則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ）5、若函數(shù)在處解析， 則它在該點的某個領(lǐng)域內(nèi)可以展開為冪級數(shù).（ ）6、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析， 且在內(nèi)某一條曲線上恒為常數(shù)， 則在區(qū)域內(nèi)恒為常數(shù).（ ）7、若是的階零點， 則是的階極點.（ ）8、如果函數(shù)在上解析， 且， 則.（ ）9、.（ ）10、如果函數(shù)在內(nèi)解析， 則（ ）二、填空題（20分）1、若， 則_.2、設(shè)， 則的定義域為_.3、函數(shù)的周期為_.4、_.5、冪級數(shù)的收斂半徑為_.6、若是的階零點且， 則是的_零點.7、若函數(shù)在整個復平面除去有限個極點外， 處處解析， 則稱它是_.8、函數(shù)的不解析點之集為_.9、方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.10、_.三、計算題（30分）1、2、設(shè)， 其中， 試求.3、設(shè)， 求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、 求復數(shù)的實部與虛部.6、 利用留數(shù)定理計算積分.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析， 等于常數(shù)， 則在恒等于常數(shù).7、 若是的階零點， 則是的階極點.五、計算題（10分）求一個單葉函數(shù)， 去將平面上的帶開區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.復變函數(shù)考試試題（十）一、判斷題（40分）：1、若函數(shù)在解析， 則在的某個鄰域內(nèi)可導.（ ）2、如果是的本性奇點， 則一定不存在.（ ）3、若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)， 則與都在內(nèi)連續(xù).（ ）4、與在復平面內(nèi)有界.（ ）5、若是的階零點， 則是的階極點.（ ）6、若在處滿足柯西-黎曼條件， 則在解析.（ ）7、若存在且有限， 則是函數(shù)的可去奇點.（ ）8、若在單連通區(qū)域內(nèi)解析， 則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ）9、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)， 則它在內(nèi)有任意階導數(shù).（ ）10、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析， 且在內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)， 則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（ ）二、填空題（20分）：1、函數(shù)的周期為_.2、冪級數(shù)的和函數(shù)為_.3、設(shè)， 則的定義域為_.4、的收斂半徑為_.5、=_.三、計算題（40分）：1、2、求3、4、設(shè) 求， 使得為解析函數(shù)， 且滿足。其中（為復平面內(nèi)的區(qū)域）.5、求， 在內(nèi)根的個數(shù)復變函數(shù)考試試題（十一）一、 判斷題.（正確者在括號內(nèi)打， 錯誤者在括號內(nèi)打， 每題2分）1當復數(shù)時， 其模為零， 輻角也為零. （ ）2若是多項式的根， 則也是的根.（ ）3如果函數(shù)為整函數(shù)， 且存在實數(shù)， 使得， 則為一常數(shù).（ ）4設(shè)函數(shù)與在區(qū)域內(nèi)解析， 且在內(nèi)的一小段弧上相等， 則對任意的， 有. （ ）5若是函數(shù)的可去奇點， 則. （ ）二、填空題.（每題2分）1 _.2設(shè)， 且， 當時， _.3函數(shù)將平面上的曲線變成平面上的曲線_.4方程的不同的根為_.5_.6級數(shù)的收斂半徑為_.7在（為正整數(shù)）內(nèi)零點的個數(shù)為_.8函數(shù)的零點的階數(shù)為_.9設(shè)為函數(shù)的一階極點， 且， 則_.10設(shè)為函數(shù)的階極點， 則_.三、計算題（50分）1設(shè)。求， 使得為解析函數(shù)， 且滿足.其中（為復平面內(nèi)的區(qū)域）.（15分）2求下列函數(shù)的奇點， 并確定其類型（對于極點要指出它們的階）.（10分） （1） ； （5分） （2）. （5分）3計算下列積分.（15分） （1） （8分）， （2） （7分）.4敘述儒歇定理并討論方程在內(nèi)根的個數(shù).（10分）四、證明題（20分）1設(shè)是上半復平面內(nèi)的解析函數(shù)， 證明是下半復平面內(nèi)的解析函數(shù).（10分）2設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析， 令。證明：在區(qū)間上是一個上升函數(shù)， 且若存在及（）， 使， 則常數(shù).（10分）復變函數(shù)考試試題（十二）二、 判斷題。（正確者在括號內(nèi)打， 錯誤者在括號內(nèi)打， 每題2分）1設(shè)復數(shù)及， 若或， 則稱與是相等的復數(shù)。（ ）2函數(shù)在復平面上處處可微。 （ ）3且。 （ ） 4設(shè)函數(shù)是有界區(qū)域內(nèi)的非常數(shù)的解析函數(shù)， 且在閉域上連續(xù)， 則存在， 使得對任意的， 有。 （ ）5若函數(shù)是非常的整函數(shù)， 則必是有界函數(shù)。（ ）二、填空題。（每題2分）1 _。2設(shè)， 且， 當時， _。3若已知， 則其關(guān)于變量的表達式為_。4以_為支點。5若， 則_。6_。7級數(shù)的收斂半徑為_。8在（為正整數(shù)）內(nèi)零點的個數(shù)為_。9若為函數(shù)的一個本質(zhì)奇點， 且在點的充分小的鄰域內(nèi)不為零， 則是的_奇點。10設(shè)為函數(shù)的階極點， 則_。三、計算題（50分）1設(shè)區(qū)域是沿正實軸割開的平面， 求函數(shù)在內(nèi)滿足條件的單值連續(xù)解析分支在處之值。 （10分）2求下列函數(shù)的奇點， 并確定其類型（對于極點要指出它們的階）， 并求它們留數(shù)。（15分）（1）的各解析分支在各有怎樣的孤立奇點， 并求這些點的留數(shù) （10分） （2）求。 （5分）3計算下列積分。（15分） （1） （8分）， （2） （7分）。4敘述儒歇定理并討論方程在內(nèi)根的個數(shù)。（10分）四、證明題（20分）1討論函數(shù)在復平面上的解析性。 （10分）2證明： 。 此處是圍繞原點的一條簡單曲線。（10分）復變函數(shù)考試試題（十三）一、填空題（每題分）設(shè)， 則_設(shè)函數(shù)， ， ， 則的充要條件是_設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析， 則在內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線的積分_設(shè)為的極點， 則_設(shè)， 則是的_階零點設(shè)， 則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為_設(shè)， 其中為正常數(shù)， 則點的軌跡曲線是_設(shè)， 則的三角表示為_設(shè)， 則在處的留數(shù)為_二、計算題計算下列各題（分）(1) ； (2) ; (3) 2求解方程（分）設(shè)， 驗證是調(diào)和函數(shù)， 并求解析函數(shù)， 使之（分）計算積分（10分）(1) ， 其中是沿由原點到點的曲線(2) ， 積分路徑為自原點沿虛線軸到， 再由沿水平方向向右到試將函數(shù)分別在圓環(huán)域和內(nèi)展開為洛朗級數(shù)（分）計算下列積分（分）(1) ； (2) 計算積分（分）求下列冪級數(shù)的收斂半徑（分）(1)；(2)討論的可導性和解析性（分）三、證明題設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析， 為常數(shù)， 證明必為常數(shù)（分）試證明的軌跡是一直線， 其中為復常數(shù)， 為實常數(shù)（分）復變函數(shù)考試試題（十四）一、填空題（每題分）設(shè)， 則_設(shè)函數(shù)， ， ， 則的充要條件_設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析， 則在內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線的積分_設(shè)為的可去奇點， _設(shè)， 則是的_階零點設(shè)， 則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為_設(shè)， 其中為正常數(shù)， 則點的軌跡曲線是_設(shè)， 則的三角表示為_設(shè)， 則在處的留數(shù)為_二、計算題計算下列各題（分）(1) ； (2) ; (3) 2求解方程（分）設(shè)， 驗證是調(diào)和函數(shù)， 并求解析函數(shù)， 使之（分）計算積分， 其中路徑為（）自原點到點的直線段；(2)自原點沿虛軸到， 再由沿水平方向向右到（10分）試將函數(shù)在的鄰域內(nèi)的泰勒展開式（分）計算下列積分（分）(1) ； (2) 計算積分（分）求下列冪級數(shù)的收斂半徑（分）(1)；(2)設(shè)為復平面上的解析函數(shù)， 試確定， ， 的值（分）三、證明題設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析， 在區(qū)域內(nèi)也解析， 證明必為常數(shù)（分）試證明的軌跡是一直線， 其中為復常數(shù)， 為實常數(shù)（分）試卷一至十四參考答案復變函數(shù)考試試題（一）參考答案一 判斷題12 610二填空題1. ； 2. 1； 3. ， ； 4. ； 5. 16. 整函數(shù)； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. .三計算題.1. 解 因為 所以 .2. 解 因為 ,.所以.3. 解 令, 則它在平面解析, 由柯西公式有在內(nèi), . 所以.4. 解 令, 則 . 故 , .四. 證明題.1. 證明 設(shè)在內(nèi). 令. 兩邊分別對求偏導數(shù), 得 因為函數(shù)在內(nèi)解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)? 消去得, .1) 若, 則 為常數(shù).2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (為常數(shù)).所以為常數(shù).2. 證明的支點為. 于是割去線段的平面內(nèi)變點就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周, 故能分出兩個單值解析分支. 由于當從支割線上岸一點出發(fā),連續(xù)變動到 時, 只有的幅角增加. 所以的幅角共增加. 由已知所取分支在支割線上岸取正值, 于是可認為該分支在上岸之幅角為0, 因而此分支在的幅角為, 故.復變函數(shù)考試試題（二）參考答案一. 判斷題.1 6 10.二. 填空題1.1， ， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. .6. ， . 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0.三. 計算題1. 解 .2. 解 令. 則. 又因為在正實軸去正實值， 所以. 所以.3. 單位圓的右半圓周為, . 所以.4. 解=0.四. 證明題.1. 證明 (必要性) 令,則. (為實常數(shù)). 令. 則. 即滿足, 且連續(xù), 故在內(nèi)解析.(充分性) 令, 則 , 因為與在內(nèi)解析, 所以, 且.比較等式兩邊得 . 從而在內(nèi)均為常數(shù),故在內(nèi)為常數(shù).2. 即要證“任一 次方程 有且只有 個根”. 證明 令, 取, 當在上時, 有 . .由儒歇定理知在圓 內(nèi), 方程 與 有相同個數(shù)的根. 而 在 內(nèi)有一個 重根 . 因此次方程在 內(nèi)有 個根.復變函數(shù)考試試題（三）參考答案一. 判斷題1 6 10.二.填空題.1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ;6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .三. 計算題.1. 解 .2. 解 . 所以收斂半徑為.3. 解 令 , 則 .故原式.4. 解 令 , . 則在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有 . 即在 內(nèi), 方程只有一個根.四. 證明題.1. 證明 證明 設(shè)在內(nèi). 令. 兩邊分別對求偏導數(shù), 得 因為函數(shù)在內(nèi)解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)? 消去得, .1) , 則 為常數(shù).2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (為常數(shù)).所以為常數(shù).2. 證明 取 , 則對一切正整數(shù) 時, . 于是由的任意性知對一切均有. 故, 即是一個至多次多項式或常數(shù). 復變函數(shù)考試試題（四）參考答案一. 判斷題.1 6 10 .二. 填空題.1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整函數(shù);6. 亞純函數(shù); 7. 0; 8. ; 9. ; 10. .三. 計算題.1. 2. 解 , . 故原式.3. 解 原式.4. 解 =， 令， 得， 而 為可去奇點 當時， 而 為一階極點.四. 證明題.1. 證明 設(shè), 在下半平面內(nèi)任取一點, 是下半平面內(nèi)異于的點, 考慮 .而, 在上半平面內(nèi), 已知在上半平面解析, 因此, 從而在下半平面內(nèi)解析.2. 證明 令, , 則與在全平面解析, 且在上, ,故在內(nèi).在上, , 故在內(nèi).所以在內(nèi)僅有三個零點, 即原方程在內(nèi)僅有三個根.復變函數(shù)考試試題（五）參考答案一. 判斷題.1 6 10.二. 填空題.1.2, , ; 2. ; 3. , ; 4. ; 5. 0; 6. 0; 7. 亞純函數(shù); 8. ; 9. 0; 10. . 三. 計算題.1. 解 令, 則 . 故 , .2. 解 連接原點及的直線段的參數(shù)方程為 , 故.3. 令, 則. 當時, 故, 且在圓內(nèi)只以為一級極點, 在上無奇點, 故, 由殘數(shù)定理有.4. 解 令 則在內(nèi)解析, 且在上, , 所以在內(nèi), , 即原方程在 內(nèi)只有一個根.四. 證明題.1. 證明 因為, 故. 這四個偏導數(shù)在平面上處處連續(xù), 但只在處滿足條件, 故只在除了外處處不可微.2. 證明 取 , 則對一切正整數(shù) 時, . 于是由的任意性知對一切均有. 故, 即是一個至多次多項式或常數(shù).復變函數(shù)考試試題（六）參考答案一、判斷題：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 階 7. 整函數(shù) 8. 9. 0 10. 歐拉公式 三、計算題：1. 解：因為 故.2. 解： 因此 故 .3.解： 4.解： 5解：設(shè), 則. 6解：四、1. 證明：設(shè)則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理， 與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點， 而的零點個數(shù)為6， 故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6. 2.證明：設(shè)， 則, 由于在內(nèi)解析， 因此有 , .于是故， 即在內(nèi)恒為常數(shù). 3.證明：由于是的階零點， 從而可設(shè) ， 其中在的某鄰域內(nèi)解析且， 于是 由可知存在的某鄰域， 在內(nèi)恒有， 因此在內(nèi)解析， 故為的階極點.復變函數(shù)考試試題（七）參考答案一、判斷題：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 階 7. 整函數(shù) 8. 9. 0 10. 三、計算題：1. 解：2. 解： 因此 故 .3. 解： 因此4. 解： 由于， 從而. 因此在內(nèi)有 5解：設(shè), 則. 6.解：設(shè)， 則， ， 故奇點為.四、證明題：1. 證明：設(shè)則在上， 即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點， 而在內(nèi)的零點個數(shù)為7， 故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2.證明：設(shè)， 則 已知在區(qū)域內(nèi)解析， 從而有將此代入上上述兩式得因此有 于是有. 即有 故在區(qū)域恒為常數(shù).3.證明：由于是的階零點， 從而可設(shè) ， 其中在的某鄰域內(nèi)解析且， 于是 由可知存在的某鄰域， 在內(nèi)恒有， 因此在內(nèi)解析， 故為的階極點.五、計算題解：根據(jù)線性變換的保對稱點性知關(guān)于實軸的對稱點應該變到關(guān)于圓周的對稱點， 故可設(shè)復變函數(shù)考試試題（八）參考答案一、判斷題：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.二、填空題：1. 2. 3. 4. 5. 1 6. 7. 8. 9. 5 10. 三、計算題：1. 解：由于在解析， 所以而因此.2. 解： 因此 故 .3. 解： 因此 4.解： 由于， 從而因此在內(nèi)有 5解：設(shè), 則. 6解：設(shè), 則 在內(nèi)只有一個一級極點因此 .四、證明：1. 證明：設(shè)則在上， 即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點， 而在內(nèi)的零點個數(shù)為7， 故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7 2. 證明：因為， 在內(nèi)連續(xù), 所以, 當時有 從而有 即與在連續(xù)， 由的任意性知與都在內(nèi)連續(xù)3.證明：由于是的階零點， 從而可設(shè) ， 其中在的某鄰域內(nèi)解析且，