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信息論與編碼作業(yè)答案(新)超全 信息論與編碼習題參考答案 第一章 單符號離散信源 信息論與編碼作業(yè)是74頁，1.1的（1）（5），1.3,1.4,1.6,1.13,1.14還有證明熵函數(shù)的連續(xù)性、擴展性、可加性 1.1同時擲一對均勻的子，試求： (1)“2和6同時出現(xiàn)”這一事件的自信息量； (2)“兩個5同時出現(xiàn)”這一事件的自信息量； (3)兩個點數(shù)的各種組合的熵； (4)兩個點數(shù)之和的熵； (5)“兩個點數(shù)中至少有一個是1”的自信息量。 解： 11 樣本空間：N?c6c6?6?6?36 n12 ?I(a)?logP1?log18?4.17bitN36n1 (2)P2?2?I(a)?logP2?log36?5.17bit N36(1)P1? (3)信源空間： ?log?6?log36?4.32bit 36236 ?H(x)?15? 2436636836 ?log36?log?log?log36362363364 1036636 ?log?log?3.71bit 365366n1136 (5) P3?3?I(a)?logP3?log?1.17bit N3611 ?H(x)? 1.2如有6行、8列的棋型方格，若有兩個質(zhì)點A和B，分別以等概落入任一方格內(nèi)，且它們的坐標分別為（Xa，Ya）, （Xb，Yb）,但A，B不能同時落入同一方格內(nèi)。 （1） 若僅有質(zhì)點A，求A落入任一方格的平均信息量； （2） 若已知A已落入，求B落入的平均信息量； （3） 若A，B是可辨認的，求A，B落入的平均信息量。 解： 1 (1)?A落入任一格的概率:P(ai)?I(ai)?logP(ai)?log48 48 ?H(a)?P(ai)logP(ai)?log48?5.58bit i?1 48 (2)?在已知A落入任一格的情況下,B落入任一格的概率是:P(bi)?I(bi)?logP(bi)?log47 ?H(b)?P(bi)logP(bi)?log47?5.55bit i?148 1 47 (3)AB同時落入某兩格的概率是P(ABi)?I(ABi)?logP(ABi) 48?47i?1 11?4847 H(ABi)?P(ABi)logP(ABi)?log(48?47)?11.14bit 1.3從大量統(tǒng)計資料知道,男性中紅綠色盲的發(fā)病率為7%,女性發(fā)病率為0.5%.如果你問一位男士：“你是否是紅綠色盲？”他的回答可能是：“是”，也可能“不是”。問這兩個回答中各含有多少信息量？平均每個回答中各含有多少信息量？如果你問一位女士，則她的答案中含有多少平均信息量？ 解： 對于男士: 回答“是”的信息量：I(my)?logP(my)?log7%?3.84bit回答“不是”的信息量：I(mn)?logP(mn)?log93%?0.105bit平均每個回答信息量：H(m)?P(my)?logP(my)?P(mn)?logP(mn) ?-7%?log7%-93%?log93%?0.366bit對于女： 回答“是”的信息量：I(wy)?logP(wy)?log0.5%回答“不是”的信息量：I(mn)?logP(mn)?log99.5% 平均每個回答信息量：H(m)?P(wy)?logP(wy)?P(wn)?logP(wn) ?-0.5%?log0.5%-99.5%?log99.5%?0.0454bit 1.4某一無記憶信源的符號集為0，1，已知p0? 13 ，p1? 23 。 （1） 求符號的平均信息量； （2） 由1000個符號構(gòu)成的序列，求某一特定序列（例如有m個“0”,（1000-m）個“1”） 的自信量的表達式； （3） 計算（2）中序列的熵。 解： 1122 （1）H(x)?p0logp0?p1logp1?log?log?0.918bit/symble 3333 12 （2）I(A)?mlogp0?(1000?m)logp?mlog?(1000?m)logbit 33 （3）H(A)?1000H(X)?1000?0.918?918bit/sequence H(A)?p0logp0? i?1m 1000?m ? i?1 p1logp1? m12(1000?m)2 log?log3333 1.5設(shè)信源X的信源空間為： a1 a2a3a4a5 a6?X： x?p：? ?p(X) 0.170.190.180.160.18 0.3 求信源熵，并解釋為什么H(X)log6，不滿足信源熵的極值性。 解： H(X)?p(ai)logp(ai) i?1 6 ?0.17log0.17?0.19log0.19?2?0.18log0.18?0.16log0.16?0.3log0.3 ?2.725 bit/symble 可見H(X)?2.725?log6?2.585 不滿足信源熵的極值性， 這是因為信源熵的最大值是在?pi?1的約束條件下求得的，但是本題中 i?1r ?p i?1 6 i ?1.18不滿足信源熵最大值成立的約束條件，所以H(X)?log6。 1.6為了使電視圖象獲得良好的清晰度和規(guī)定的對比度，需要用5105個像素和10個不同的亮度電平，并設(shè)每秒要傳送30幀圖象，所有的像素是獨立的，且所有亮度電平等概出現(xiàn)。求傳輸此圖象所需要的信息率（bit/s）。 解： 由于亮度電平等概出現(xiàn)，由熵的極值性： 每個像素的熵是： H(x0)?p(ai)logp(ai)?log10?3.322bit/pels i?110 每幀圖像的熵是： H(X)?5?105?H(x0)?5?105?3.322?1.661?106 bit/frame ?所需信息速率為：R?r(frame/s)?H(X)(bit/frame)?30?1.661?106?4.983?107 bit/s 1.7設(shè)某彩電系統(tǒng)，除了滿足對于黑白電視系統(tǒng)的上述要求外，還必須有30個不同的色彩度。試證明傳輸這種彩電系統(tǒng)的信息率要比黑白系統(tǒng)的信息率大2.5倍左右。 證: 增加30個不同色彩度,在滿足黑白電視系統(tǒng)要求下,每個色彩度需要10個亮度,所以每個像素需要用30?10?300bit量化 ?每個像素的熵是： H(x1)?p(bi)logp(bi)?log300bit/pels i?1300 ? H(x1)log300 ?2.477?2.5H(x0)log10 ?彩色電視系統(tǒng)每個像素信息量比黑白電視系統(tǒng)大2.5倍作用,所以傳輸相同的圖形,彩色電視系統(tǒng)信息率要比黑白電視系統(tǒng)高2.5倍左右. 1.8每幀電視圖像可以認為是由3105個像素組成，所以像素均是獨立變化，且每像素又取128個不同的亮度電平，并設(shè)亮度電平是等概出現(xiàn)。問每幀圖像含有多少信息量？若現(xiàn)在有一個廣播員，在約10000個漢字中選1000個字來口述這一電視圖像，試問若要恰當?shù)孛枋龃藞D像，廣播員在口述中至少需要多少漢字？ 解: 每幀圖象所含信息量: H(X)?3?105?H(x)?3?105?log128?2.1?106bit/symble1000 ?0.110000 ?每個漢字所包含信息量:H(c)?logp每個漢字所出現(xiàn)概率p? 描述一幀圖像需要漢字數(shù)n,H(X)?nH(c)H(X)2.1?106n?6.322?105/frame H(c)?log0.1?最少需要6.322?105個漢字 1.9給定一個概率分布(p1,p2,.,pn)和一個整數(shù)m，0?m?n。定義qm?1? ?p，證明： ii?1 m H(p1,p2,.,pn)?H(p1,p2,.,pm,qm)?qmlog(n?m)。并說明等式何時成立？ 證： 先證明f(x)?xlogx(x?0)為凸函數(shù)，如下： loge 又x?0x loge ?f?(x)?(?xlogx)?0 即f(x)?xlogx(x?0)為凸函數(shù)。 x?f?(x)?(?xlogx)? 又?H(p1,p2,.,pn)?pilogpi? i?1m i?m?1 ?plogp i n i 由凸函數(shù)的性質(zhì)，變量函數(shù)的平均值小于變量的算術(shù)平均值的函數(shù)，可得： ? i?m?1 ?pilogpi?(n?m) i?m?1 n i?m?1 ?f(p) i n n?m ?(n?m)f( i?m?1 ?p n i n?m )?(n?m) i?m?1 ?p n i n?m log i?m?1 ?p n i n?m ?qmlog qmn?m 即? ?plogp i n i ?qmlogqm?qmlog(n?m) 當且僅當pm?1?pm?2?.?pn時等式成立。?H(p1,p2,.,pn)?pilogpi? m ?plogp i n i ?pilogpi?qmlogqm?qmlog(n?m) m i?1 i?m?1 i?1 m?H(p1,p2,.,pm,qm)?pilogpi?qmlogqm i?1 ?H(p1,p2,.,pn)?H(p1,p2,.,pm,qm)?qmlog(n?m)當且僅當pm?1?pm?2?.?pn時等式成立。 1.10找出兩種特殊分布: p1p2p3pn，p1p2p3pm,使H(p1,p2,p3,pn)=H(p1,p2,p3,pm)。解：n m H(p1,p2,.,pn)?pilogpi?H(q1,q2,.,qm)?qilogqi i?1 i?1 信息論與編碼課程大作業(yè) 下范圍之內(nèi)) a) 信息理論方法的應(yīng)用 b) 信息率失真函數(shù)與有損數(shù)據(jù)壓縮技術(shù) c) 信源編碼及其發(fā)展動態(tài) d) 論信源編碼與信道編碼 e) 論現(xiàn)代密碼體制 f) 論通信與香農(nóng)三大定理的關(guān)系 2、 論文格式要求 a) 按題目、名字學(xué)號、摘要、關(guān)鍵詞、正文、結(jié)論、參考文獻進行書寫，格式要統(tǒng)一規(guī)范，圖表要完備； b) 字體小四、宋體、1.5行距； c) 任意兩個同學(xué)的論文不能相同，如相同20%以上則視為零分； 3、 論文內(nèi)容要求 1） 論文不能寫成綜述性文章，必須是對技術(shù)