多元時間序列數(shù)據(jù).ppt

多元時間序列數(shù)據(jù) 常用的一元時間序列方法單位根及協(xié)整檢驗VARX模型與狀態(tài)空間模型 時間序列是指數(shù)據(jù)按照一定時間間隔收集的一系列數(shù)據(jù) 時間序列可以是一維或一元的 也就是說只有一個按照時間記錄的變量 比如一個氣象站點獲取的降水量數(shù)據(jù) 也有些是多維的 即變量是多維向量 比如一個氣象站按照同樣時間間隔收集的氣壓 氣溫 降水量 風(fēng)力等多個指標(biāo) 研究時間序列的一個主要目的是做對同樣變量的未來值的預(yù)測 這就意味著下面的假定必須成立 這個未來值能夠完全由同樣變量的現(xiàn)在和過去值預(yù)測 而不受任何其他變量的影響 這個假定很強 往往不能滿足 但人們往往又有意無意地?zé)o視這個假定 當(dāng)然也有加入其他變量的模型 中國通常的時間序列教科書內(nèi)容的主要部分都是講的一元時間序列 這是因為其數(shù)學(xué)推導(dǎo)和結(jié)論被研究得比較透徹 比較容易講 到了高維時間序列 一切都不那么清晰和漂亮 一元時間序列的一些漂亮數(shù)學(xué)結(jié)論和公式很難推廣到高維情況 多元時間序列在預(yù)測上是否就比一元強些呢 這不見得 時間序列 特別是經(jīng)濟領(lǐng)域的時間序列受到大量其他因素的影響 比如疾病 如SARS 自然災(zāi)害 如地震海嘯 法律政策的改變 全球的金融危機等等 這些經(jīng)濟特征的時間序列嚴(yán)重受制于那些大的環(huán)境因素的變化 而后者是幾乎無法用數(shù)學(xué)方法預(yù)料的 常用的一元時間序列方法時間序列的組成和分解 差分及平滑 例7 1貨幣基數(shù) AMBNS csv 這是在圣路易的美國聯(lián)邦儲備銀行發(fā)布的貨幣基數(shù) 該數(shù)據(jù)是月度數(shù)據(jù) 從1918年1月1日到2012年1月1日 單位是10億美元 w read csv AMBNS csv w1 ts w 2 start c 1918 1 frequency 12 par mfrow c 1 2 ts plot w1 lines diff w1 lty 3 col 4 w2 ts w1 949 1129 start c 1997 1 frequency 12 ts plot w2 ylim c 0 max w2 lines diff w2 lty 3 col 4 Holt Winters濾波函數(shù) 可做指數(shù)平滑 b2 HoltWinters w2 gamma FALSE beta FALSE par mfrow c 1 2 plot b2 原序列及擬合曲線圖ee2 b2 x b2 fit 1 plot ee2 擬合誤差圖 data Orange package Ecdat ts plot Orange 1 原始變量點圖a stl Orange 1 period 對第一個變量 Orange 1 分解ts plot a time series 1 3 畫出分解出來的三部分 Loess方法對橙汁的冰凍橙汁廠家價格做季節(jié)趨勢分解 ARIMA模型例7 1的貨幣基數(shù)數(shù)據(jù) 截取貨幣基數(shù)的一部分?jǐn)?shù)據(jù) 從1918年1月到2007年12月 試試ARIMA 0 1 8 1 0 0 模型 w0 ts w1 1 1080 start c 1918 1 frequency 12 到2007 12 01854 997b0 arima w0 order c 0 1 6 seasonal list order c 1 0 0 bp72 predict b0 72 plot w2 lines bp72 pre lty 2 tsdiag b0 圖7 4 Ljung Box檢驗的零假設(shè)為序列獨立 對于某個滯后 B NULL for iin1 30 B c B Box test b0 resi lag i type Ljung Box p value plot B main Ljung Boxtests ylab p value xlab lag pch 16 abline h 05 lty 2 7 3尼羅河 Nile txt 這是是在阿斯旺 Ashwan 所測量的1871 1970年尼羅河的年度流量 data Nile package datasets layout matrix c 1 1 2 3 2 2 byrow TRUE plot Nile acf Nile pacf Nile ar Nile 選擇了二階AR模型rn arima Nile c 2 0 0 利用下面語句來點出尼羅河數(shù)據(jù)的acf和pacf函數(shù)圖 圖7 6 函數(shù)自動根據(jù)AIC選擇AR模型的階數(shù) 打印出來的結(jié)果為 Call arima x Nile order c 2 0 0 Coefficients ar1ar2intercept0 40960 1987919 8397s e 0 09740 099035 6410sigma 2estimatedas20291 loglikelihood 637 98 aic 1283 96用下面語句點出Ljung Box檢驗的p值 虛線為0 05水平線 殘差的acf和pacf函數(shù)圖 圖7 7 看來擬合雖然不是那么完美 但也還過得去 B NULL for iin1 30 B c B Box test rn resi lag i type Ljung Box p value layout matrix c 1 1 2 3 2 2 byrow TRUE plot B main Ljung Boxtests ylab p value xlab lag pch 16 ylim c 0 1 abline h 05 lty 2 acf rn res pacf rn res 結(jié)構(gòu)時間序列模型 一元狀態(tài)空間模型 測量方程 動態(tài)方程 狀態(tài)方程 data Nile package datasets fit StructTS Nile type level plot Nile lines fitted fit lty 2 同期平滑得到的狀態(tài)lines tsSmooth fit lty 3 col 4 固定區(qū)間平滑得到的狀態(tài)legend bottomleft lty 1 3 c Nile contemporaneoussmoothing fixed intervalsmoothing par mfrow c 1 2 acf residuals fit pacf residuals fit 單位根及協(xié)整檢驗 單位根及協(xié)整檢驗 一些時間序列可能是相關(guān)的 他們在一定時期可能顯示出較強的相關(guān)性 但是 用它們自己來預(yù)測自己的未來或者互相預(yù)測 則風(fēng)險很大 就拿宏觀經(jīng)濟時間序列來說 它們都受到經(jīng)濟危機 金融危機 政策變化 政權(quán)更迭 天災(zāi)人禍疾病等偶然事件 法律和規(guī)則的改變以及人們心態(tài)改變的影響 而這些無法預(yù)料的因素根本無法加入到這幾個只包含了若干可測量的時間序列的模型之中 某些短期預(yù)測往往不用時間序列也可以猜出來 而長期預(yù)測則往往是極端不可靠的 單純利用時間序列來做出推斷 而且還給出 政策建議 不但是不科學(xué)的 也是很不負(fù)責(zé)任的 我們還會遇到不同方法得到的結(jié)論不相同的問題 這么多檢驗方法 這里只介紹幾個 產(chǎn)生出不同的結(jié)論 原因在于這些方法的數(shù)學(xué)模型不同 這些模型及假定與事實不符 不僅僅不同方法會造成不同結(jié)論 同一個方法的不同角度也會造成不同的結(jié)論 比如Engle Granger檢驗 很可能輪換回歸得到的結(jié)論就不同 不僅如此 該方法有兩個步驟 第二個步驟肯定繼承了第一個步驟的誤差 最終誤差可能達(dá)到不可承受的地步 單位根及協(xié)整檢驗 此外 在實際工作者使用這些方法時 往往把 不能拒絕零假設(shè) 當(dāng)成 零假設(shè)正確 或 接受零假設(shè) 的同義詞 這在在邏輯上是完全錯誤的 在統(tǒng)計上是絕對不允許的 不能拒絕零假設(shè) 意味著拒絕的證據(jù)不足 并不意味著零假設(shè)正確 在拒絕零假設(shè)時 至少給出了犯錯誤的大致概率 即p值 但任何人都給不出 接受零假設(shè) 時犯錯誤的概率 做出結(jié)論而又不給出該結(jié)論所包含的風(fēng)險是極端不負(fù)責(zé)的行為 但實際工作者往往需要在顯著性檢驗中無法拒絕零假設(shè)時做出決策 合乎邏輯的說法是 在所有關(guān)于模型形式 比如某種線性表示以及對數(shù)據(jù)的各種假定都成立的前提下 我沒有足夠證據(jù)否定零假設(shè) 因此把零假設(shè)當(dāng)成另一個附加的假定 單位根及檢驗 如果一個時間序列是平穩(wěn)的 則沒有任何預(yù)測價值 因為平穩(wěn)序列的均值不變 任何預(yù)測都不會有什么有價值的結(jié)果 因此人們只對非平穩(wěn)序列感興趣 而對平穩(wěn)序列的研究 也是因為對于非平穩(wěn)序列 總希望可以通過差分等方式轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)的 而后者是可以通過數(shù)學(xué)方式予以解釋的 如果由 d 次差分可以將一個非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)的 則稱其為 d 階單整的 記為 I d 換句話說 如果 Delta dX t 為平穩(wěn)的 則序列 X t 稱為有 d 個單位根 隨機游走為 I 1 單整的 它有1個單位根 最簡單的情況為 這里帶有截距 隨機游走 例7 2芬蘭數(shù)據(jù) finland csv 該數(shù)據(jù)來自JohansenandJuselius 1990 有4個時間序列變量 它們是從1958年第2季度到1984年第3季度的貨幣供應(yīng)量M1的對數(shù) lrm1 實際收入的對數(shù) lny 邊際利率 lnmr 通貨膨脹率 difp 下面就是對于例7 2數(shù)據(jù)的ADF檢驗 看其4個變量有沒有單位根 library urca data finland attach finland lrm1 df ur df lrm1 lags 5 type trend summary lrm1 df lny df ur df lny lags 5 type trend summary lny df lnmr df ur df lnmr lags 5 type trend summary lnmr df difp df ur df difp lags 5 type trend summary difp df ADF顯著性水平為0 1的臨界值為 3 13 值越小就越顯著 而這4個檢驗統(tǒng)計量的值分別為 2 2702 1 5932 3 1016 2 7569 因此沒有足夠證據(jù)拒絕零假設(shè) 也就是說 沒有證據(jù)說它們是平穩(wěn)的 因此假定它們都至少是 I 1 的 為了確定這些系列的單整階數(shù) 再對它們的差分?jǐn)?shù)做ADF單位根檢驗 零假設(shè)是差分序列有單位根 下面是代碼 lrm12 diff lrm1 lrm12 df ur df lrm12 lags 5 type trend summary lrm12 df 01顯著I 1 lny2 diff lny lny2 df ur df lny2 lags 5 type trend summary lny2 df 05顯著I 1 lnmr2 diff lnmr lnmr2 df ur df lnmr2 lags 5 type trend summary lnmr2 df 01顯著I 1 difp2 diff difp difp2 df ur df difp2 lags 5 type trend summary difp2 df 01顯著I 1 這次 ADF顯著性水平為0 01 0 05及0 1的臨界值分別為 3 99 3 45 3 13 值越小就越顯著 而上述差分的4個檢驗統(tǒng)計量分別為 4 89 3 7416 6 4769 5 7403 分別在0 01 0 05 0 01 0 05水平上顯著 這就拒絕了差分有單位根的零假設(shè) 即他們都不大會是 I 2 有可能是 I 1 單整的 協(xié)整檢驗 如果若干時間序的線性組合的單整系數(shù)階數(shù)小于其成分的單整階數(shù) 就稱這些序列間存在協(xié)整 cointegration 那些線性組合系數(shù)稱為協(xié)整向量 cointegratingvector 協(xié)整向量個數(shù)小于變量數(shù)目 協(xié)整概念類似于線性代數(shù)中的線性相關(guān)的概念 一個時間序列向量 只有當(dāng)它們是協(xié)整的 才有同時研究的價值 協(xié)整意味著向量分量之間存在長期關(guān)系 在短期中 這些向量可能關(guān)系不那么顯著 各自由不同的動態(tài)過程所支配 然而 長遠(yuǎn)來說 協(xié)整把變量綁在一起 對于多元時間序列 帶有輸入項 啞元 D t 的向量自回歸模型 VAR p 為 Egle Granger協(xié)整檢驗 這個檢驗的思想很簡單 先用這些時間序列變量互相做通常最小二乘 OLS 回歸 再通過單位根檢驗它們的殘差是否為 I 0 如果是 則這些變量可能存在協(xié)整關(guān)系 我們通過例7 2來說明 首先對這些系列互相做OLS回歸 lrm1 ts lrm1 start c 1958 2 end c 1984 3 frequency 4 lny ts lny start c 1958 2 end c 1984 3 frequency 4 lnmr ts lnmr start c 1958 2 end c 1984 3 frequency 4 difp ts difp start c 1958 2 end c 1984 3 frequency 4 flcons window cbind lrm1 lny lnmr difp start c 1958 2 end c 1984 3 各個變量輪流做因變量 lrm1 eq summary lm lrm1 lny lnmr difp data flcons lrm1 eqlny eq summary lm lny lrm1 lnmr difp data flcons lny eqlnmr eq summary lm lnmr lrm1 lny difp data flcons lnmr eqdifp eq summary lm difp lrm1 lny lnmr data flcons difp eq 下面是殘差序列 error lrm1 ts resid lrm1 eq start c 1958 3 end c 1984 3 frequency 4 error lny ts resid lny eq start c 1958 3 end c 1984 3 frequency 4 error lnmr ts resid lnmr eq start c 1958 3 end c 1984 3 frequency 4 error difp ts resid difp eq start c 1958 3 end c 1984 3 frequency 4 通過這些回歸的輸出 可以看出有些變量之間是有些關(guān)系 但由于OLS的檢驗條件不一定符合 不足為據(jù) 必須對殘差做進一步研究 下面對這些殘差做ADF單位根檢驗 這里零假設(shè)是殘差序列存在單位根 即它們之間不存在協(xié)整 df lrm1 ur df error lrm1 lags 0 type none summary df lrm1 df lny ur df error lny lags 0 type none summary df lny df lnmr ur df error lnmr lags 0 type none summary df lnmr df difp ur df error difp lags 0 type none summary df difp 這里ADF檢驗的顯著性為0 01 0 05 0 1的臨界值分別為 2 58 1 95 1 62 而這四個殘差的檢驗統(tǒng)計量的值為 3 5256 3 904 5 1339 8 7288 都在0 01的水平上顯著 這就是說 可以拒絕零假設(shè) 而得出結(jié)論說殘差不存在單位根 為 I 0 序列 因而這些序列之間很可能存在協(xié)整關(guān)系 有了協(xié)整關(guān)系 我們希望得到短期的誤差修正模型 對于例7 2 它可以是這樣的 非矩陣 形式 這些系數(shù)可以用簡單線性模型估計 lrm12 diff lrm1 lny2 diff lny lnmr2 diff lnmr difp2 diff difp leq2 lag error lrm1 ecm summary lm lrm12 lny2 lnmr2 difp2 leq2 OKecm coef 1 得到ECM系數(shù)當(dāng)然 這些估計是比較粗糙的 但可以看出 最后一項 即誤差項的系數(shù)為負(fù)數(shù) 這就是 誤差修正 的含義 描述了長期效應(yīng)收斂的快慢 Pillips Ouliaris協(xié)整檢驗 對于例7 2數(shù)據(jù) 方差率檢驗為flcons window cbind lrm1 lny lnmr difp start c 1958 2 end c 1984 3 pu test summary ca po flcons demean const type Pu pu test 1不顯著統(tǒng)計量的值為26 0919 而顯著性水平為0 1的臨界值為39 6949 因此不顯著 多元跡檢驗代碼為 pz test summary ca po flcons demean const type Pz pz test 01顯著統(tǒng)計量的值為184 3248 而顯著性水平為0 01的臨界值為153 4504 因此很顯著 按照多元跡檢驗 可能存在協(xié)整 而根據(jù)方差率檢驗 沒有證據(jù)說存在協(xié)整 這就產(chǎn)生了矛盾結(jié)論 Johansen方法 對于例7 2 使用Johansen方法的跡檢驗的代碼如下 summary ca jo data frame lrm1 lny lnmr difp type trace ecdet const 跡檢驗程序輸出下面檢驗結(jié)果 Valuesofteststatisticandcriticalvaluesoftest test10pct5pct1pctr 3 7 767 529 2412 97r 2 18 9017 8519 9624 60r 1 51 6732 0034 9141 07r 0 95 7849 6553 1260 16按照這個結(jié)果 有 r 3 個協(xié)整向量 對于例7 2 使用Johansen方法的特征值檢驗的代碼如下 summary ca jo data frame lrm1 lny lnmr difp type eigen ecdet const 特征值檢驗程序輸出下面檢驗結(jié)果 Valuesofteststatisticandcriticalvaluesoftest test10pct5pct1pctr 3 7 767 529 2412 97r 2 11 1513 7515 6720 20r 1 32 7719 7722 0026 81r 0 44 1125 5628 1433 24按照這個結(jié)果 有可能有 r 2 個協(xié)整向量 VARX模型與狀態(tài)空間模型 前面一節(jié)討論了單位根檢驗及協(xié)整等問題 其主要目的是要確定這些時間序列之間存在長期的關(guān)聯(lián)關(guān)系 但究竟是怎樣的關(guān)系 則需要用一些模型來擬合數(shù)據(jù) 本章前面已經(jīng)介紹了帶有輸入的向量自回歸模型 即VARX模型 本節(jié)還要簡單介紹狀態(tài)空間 statespace 模型 然后用這兩個模型擬合例7 2的數(shù)據(jù) VARX模型擬合 data finland package urca finland VAR finland p 2 type none VAR finland p 2 type const VAR finland p 2 type trend VAR finland p 2 type both VARX模型擬合 使用軟件包dse的第一步是把數(shù)據(jù)變成該軟件包的格式 data finland package urca finland數(shù)據(jù)attach finland library dse 把第一個變量 M1 作為輸出 另外三個作為輸入 fld TSdata input finland 2 4 output finland 1 把數(shù)據(jù)標(biāo)為時間序列 fld tframed fld list start c 1958 2 frequency 4 把變量名標(biāo)上 似乎無法取代默認(rèn)名字 Series1 Series2等 seriesNamesInput fld c lny lnmr difp seriesNamesOutput fld lrm1 擬合VARX模型 fld ls estVARXls fld max lag 2 默認(rèn)max lag 6print fld ls stability fld ls rr checkResiduals fld ls par mfrow c 1 2 acf rr re pacf rr re 輸出的擬合矩陣為