數(shù)學(xué)人教版九年級上冊配方法解一元二次方程.doc

配方法解一元二次方程教學(xué)案例漢川市馬口中學(xué) 王克文教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】使學(xué)生會用配方法解數(shù)學(xué)系數(shù)的一元二次方程?！具^程與方法】經(jīng)歷列方程解決實際問題的過程，體會配方法和推導(dǎo)過程，熟練地運用配方法解一元二次方程，滲透轉(zhuǎn)化思想，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能?！厩楦小B(tài)度與價值觀】通過配方法的探索活動，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。教學(xué)重點難點【重點】用配方法解一元二次方程【難點】配方的過程教學(xué)過程設(shè)計 （一）創(chuàng)設(shè)情境 導(dǎo)入新課導(dǎo)語一（1）你能解哪些一元二次方程？（2）你會解下列一元二次方程嗎？你是怎么做的？（3）解方程x2+12x-15=0的困難在哪里？你能將方程x2+12x-15=0轉(zhuǎn)化為上面方程的形式嗎？導(dǎo)語二 1、用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？2、將下列各式配成完全平方式。（1）a2+12a+ 62 =(a+ 6 )2；（2）x2- x +=(x+ )2；3、若4x2-mx+9是一個完全平方式，那么m的值是 12 。導(dǎo)語三 為了響應(yīng)國家“退耕還林”的號召，改變水土流失嚴(yán)重的狀況，2007年某市退耕還林1600畝，計劃2009年退耕還林1936畝，則這兩種平均每年退耕還林的增長率是多少？你能用所學(xué)過的一元二次方程知識解決這個問題？設(shè)這兩年的年平均增長率為x，則1600(1+x)2=1936，解得x=10%，x2=-210%（舍），即平均每年退耕還林的增長率為10%（二）合作交流 解讀探究1、配方法問題要使一塊矩形場地的長比寬多6m，并且面積為16m2，場地的長和寬應(yīng)各是多少個？（注：這是一個比較簡單的幾何題，學(xué)生經(jīng)過思考，不難得出答案，請一位同學(xué)回答，教師演示答案。）即：設(shè)場地寬xm，長(x+6)m。根據(jù)矩形面積為16m2，列方程x(x+6)=16，即x2+6x-16=0 （注：本題選擇以解決問題作為本節(jié)課的開端，有益于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。）（思考）怎樣解方程x2+6x-16=0?對比這個方程與前面討論過的方程x2+6x+9=2，可以發(fā)現(xiàn)方程x2+6x+9=2的左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方程；而方程x2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困難，能設(shè)法把x2+6x-16=0化為具有上述形式的方程嗎？（注：教師提出問題，學(xué)生思考、討論發(fā)表意見，同時教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵；若要解方程x2+6x-16=0，只要將其符號左邊轉(zhuǎn)化為一個完全平方式配方，而配方的關(guān)鍵是常數(shù)項的選擇，學(xué)生找出常數(shù)項，教師演示配方的過程，完成方程由不可解到可解的轉(zhuǎn)化，師生完成后續(xù)步驟。）x2+6x-16=0 移 項x2+6x=16 兩邊都加上9（即()2）使左邊配成 x2+2bx+b2的形式x2+6x+9=16+9 左邊寫成平方形式(x+3)2=25 降次x+3=5 解一次方程x+3=5,x+3=-5x1=2，x2=-8像上面那樣，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，可以看出，配方是為了降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程來解。2、用配方法解一元二次方程的一般做法（1）移項，使方程左邊為二次項、一次項，右邊為常數(shù)項；（2）方程的兩邊都除以二次項系數(shù)，將二次項系數(shù)化為1；（3）配方，方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，使方程左邊為一個完全平方式，右邊是一個常數(shù)的形式；（4）如果右邊是非負(fù)數(shù)，兩邊直接開平方，解這個一元二次方程。（三）應(yīng)用遷移 鞏固提高類型之一 用配方法解一元二次方程【例1】解下列方程（注：學(xué)生練習(xí)，教師巡視，適當(dāng)輔導(dǎo)。）（1）x2-10x+24=0； （2）(2x-1)(x+3)=5； （3）3x2-6x+4=0解：（1）移項，得x2-10x=-24配方，得x2-10x+25=-24+25，由此可得(x-5)2=1，x-5=1，x1=6，x2=4（2）整理，得2x2+5x-8=0。移項，得2x2+5x=8二次項系數(shù)化為1得x2+x=4，配方，得(x+)2=，由此可得x+=，x1=， x2=（3）移項，得3x2-6x=-4二次項系數(shù)化為1，得x2-2x=-，配方，得x2-2x+12=-+12,(x-1)2=-因為實數(shù)的平方不會是負(fù)數(shù)，所以x取任何實數(shù)時，(x-1)2都是非負(fù)數(shù)，上式都不成立，即原方程無實數(shù)根。（注：本次活動，教師應(yīng)重點關(guān)注：1、學(xué)生對待解問題和已解問題的對比、分析能力；2、給予學(xué)生一定的時間去思考，爭取讓學(xué)生自主得出結(jié)論；3、鼓勵學(xué)生大膽猜想，勇于發(fā)表見解）。做一做解下列方程：（1）x2-8x+1=0； （2）2x2+1=3x； （3）4x2-6x-3=0【分析】（1）把x2-8x+1=0移項，得x2-8x=-1，兩邊都加一次項系數(shù)的一半的平方，得x2-8x+42=-1+42，即(x-4)2=15，再開平方即可求出方程的解。（2）先移項化為2x2-3x+1=0,再方程兩邊同時除以2，得x2-x+=0，再移項，配方。（3）兩邊同時除以4，把二次項系數(shù)化為1，再移項，配方。特別提示（1）配方法的含義是把方程的一邊配方化為一個完全平方式，另一邊經(jīng)為非負(fù)數(shù)，然后用開平方法求解。（2）配方的關(guān)鍵是“方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方”類型之二 二次三項式的配方【例2】填空：(1)x2+6x+_=(x+3)2；(2)x2-5x+_=(x-_)2；(3)x2+x+_=(x+)2；(4)x2+px+_=(x+_)2。（學(xué)生練習(xí)，教師巡視，適當(dāng)輔導(dǎo)，然后由學(xué)生回答，師生一起糾正，然后歸納。）【歸納】左邊常數(shù)項是一次項系數(shù)的一半的平方，右邊是一次項系數(shù)的一半?！敬鸢浮?1)32；(2)()2 ；(3)()2；(4)()2 .【例3】用配方法將下列各式化為a(x+h)2+k的形式。(1)-3x2-6x+1；(3)y2+y+2；(3)0.4x2-0.8x-1.解：(1)-3x2-6x+1=-3(x2+2x-)=-3(x2+2x+12-12-) = -3(x+1)2-=-3(x+1)2+4(2)=.(3)0.4x2-0.8x-1=0.4(x2-2x-2.5)=0.4(x2-2x+12)-12-2.5=0.4(x-1)2-1.4【點評】化二次三項式ax2+bx+c(a0)為a(x+h)2+k形式分以下幾個步驟。（1）提取二次項系數(shù)使括號內(nèi)的二次項系數(shù)為1.（2）配方：在括號內(nèi)加上一次項系數(shù)一半的平方，同時減去一次項系數(shù)一半的平方。（3）化簡、整理（4）本例題既讓學(xué)生鞏固配方法，又為后面學(xué)習(xí)二次函數(shù)打下基礎(chǔ)。（四）總結(jié)反思 拓展升華總結(jié)1.本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識是用配方法解一元二次方程。2.本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法是轉(zhuǎn)化思想.根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型。反思用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？【分析】(1)把二次項系數(shù)化為1；方程的兩邊同時除以二次項系數(shù)。(2)移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項。(3)配方：方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程化為(x+a)2=b的形式。(4)用直接開平方法解變形的方程(x+a)2=b的形式。拓展用配方法證明：多項式2x4-4x2-1的值總大于x4-2x2-4的值?！痉治觥坑C2x4-4x2-1x4-2x2-4，即證(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4)0，只要算出(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4)值的大小即可。證明：(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4)=x4-2x2+3=(x2)2-2x2+1+2=(x2-1)2+20【點評】比較A，B兩數(shù)的大小，常用作差法。