單擺周期公式的推導與應用.doc

單擺周期公式的推導與特殊應用新課程考試大綱與2003年理科綜合考試說明（物理部分）相比，有了很大的調整。知識點由原來的92個增加到了131個，并刪去了許多限制性的內容。如在振動和波這一章，刪去了“不要求推導單擺的周期公式”這一限制性的內容。這就說明，新課程考試大綱要求學生會推導單擺的周期公式。而查看全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本）物理第一冊（必修），在關于單擺周期公式的推導中也僅僅講到單擺受到的回復力與其位移大小成正比，方向與位移的方向相反為止。最后還是通過物理學家的研究才得出了單擺的周期公式。這樣一來，前面的推導似乎只是為了想證明單擺的運動是簡諧運動。一 簡諧運動物體的運動學特征作簡諧運動的物體要受到回復力的作用，而且這個回復力與物體相對于平衡位置的位移成正比，方向與位移相反，用公式表示可以寫成，其中是比例系數。對于質量為的小球，假設時刻（位移是）的加速度為，根據牛頓第二運動定律有：，即ABGG1G2GP圖 1因此小球的加速度與它相對平衡位置的位移成正比，方向與位移相反。因為（或）是變量，所以也是變量，小球作變加速運動。把加速度寫成，并把常數寫成得到。對此微分方程式，利用高等數學方法，可求得其解為。這說明小球的位移是按正弦曲線的規(guī)律隨著時間作周期性變化的，其變化的角速度為，從而得到作簡諧運動物體的周期為。二單擺周期公式的推導 單擺是一種理想化的模型，實際的擺只要懸掛小球的擺線不會伸縮，懸線的長度又比球的直徑大很多，都可以認為是一個單擺。 當擺球靜止在點時，擺球受到的重力和擺線的拉力平衡，如圖1所示，這個點就是單擺的平衡位置。讓擺球偏離平衡位置，此時，擺球受到的重力和擺線的拉力就不再平衡。在這兩個力的作用下，擺球將在平衡位置附近來回往復運動。當擺球運動到任一點時，重力沿著圓弧切線方向的分力提供給擺球作為來回振動的回復力，當偏角很小如時，所以單擺受到的回復力，式中的為擺長，是擺球偏離平衡位置的位移，負號表示回復力與位移的方向相反，由于m、g、L都是確定的常數，所以可以用常數來表示，于是上式可寫成。因此，在偏角很小時，單擺受到的回復力與位移成正比，方向與位移方向相反，單擺作的是簡諧運動。把代入到簡諧運動物體的周期公式，即可得到單擺的周期公式是。圖 2三單擺周期公式在特定條件下的應用討論1：單擺周期公式中的指的是單擺的擺長，但在特定情況下可以理解為是等效擺長。例1如圖2所示，為一雙線擺，它是在水平天花板上用兩根等長的細線懸掛一個小球而構成的。已知擺長為，擺線與天花板之間的夾角為。求小球在垂直于紙面方向作簡諧運動時的周期。解析 小球在垂直于紙面內作簡諧運動時，其等效擺長為，所以此雙線擺的周期。討論2：單擺周期公式中的指的是重力加速度，而在很多特定條件下可以理解為擺球在平衡位置保持相對靜止時，擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向的力，剩余的各力沿著擺線方向的合力與擺球質量的比值，即，（在加速運動系統(tǒng)中，還應包括慣性力，慣性力的大小，方向與系統(tǒng)的加速度的方向相反）此時，單擺的周期公式就變成了。例2在電場中帶電擺球的擺動周期如圖3所示，長為的絕緣細線下端系一帶電量為、質量為的小球，整個裝置處于場強為方向豎直向下的勻強電場中，在擺角小于時，求它的擺動周期。EqFG圖 4解析 擺球所受到的力如圖3所示即細線的拉力、重力圖 3EqE和電場力。當擺球在平衡位置保持相對靜止時， 擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向的力，剩余的各力沿著擺線方向的合力，則，擺動的周期是。 若整個裝置處于如圖4所示的電場中，同樣可以求得單擺的擺動周期為。圖 5例3 如圖5所示，求在勻加速上升的升降機內單擺的周期。解析 設升降機勻加速上升的加速度為，單擺的擺長為，擺球的質量為。當擺球在平衡位置保持相對靜止時，擺球受到的力如圖5所示即擺線的拉力和重力以及慣性力，方向與系統(tǒng)的加速度方向相反。擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向的力，剩余的各力沿著擺線方向的合力，圖 6因此，所以單擺的周期。 如圖6所示，若單擺處于沿水平方向作勻加速直線運動的系統(tǒng)內，單擺的擺長為，系統(tǒng)水平向右的加速度為，擺球的質量為，求這一單擺的周期。圖 7 1+q, m解析 擺球受到擺線的拉力和重力以及慣性力，慣性力的方向與系統(tǒng)的加速度方向相反。擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向的力，剩余的各力沿著擺線方向的合力，因此， ，單擺的周期。例4如圖7所示為一單擺，擺繩長為，擺球的質量為，擺球帶有正電荷的電量為，在單擺的懸點處放有一帶電量為的正電荷，試求這一單擺的周期。圖 8解析 擺球受到擺繩的拉力、重力和電場力。其中電場力始終沿著擺繩的方向，當擺球在平衡位置保持相對靜止時，擺球受到的外力中除去所有的始終沿著擺繩方向的力，剩余的各力沿著擺繩方向的合力，。因此，單擺的周期是。例5如圖8所示，單擺處在方向垂直紙面向里的磁場中，已知擺球的帶電量為，磁感應強度為，求該單擺的周期。解析 擺球在平衡位置周圍往復運動時，除了重力和拉力外，還將受到洛倫茲力的作用，而洛倫茲力的方向總是沿著擺線的方向， 擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向的力，剩余的各力沿著擺線方向的合力，。因此，單擺的周期是。參考文獻：1、 顧建中力學教