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單擺周期公式的推導(dǎo)與特殊應(yīng)用新課程考試大綱與2003年理科綜合考試說明(物理部分)相比,有了很大的調(diào)整。知識(shí)點(diǎn)由原來的92個(gè)增加到了131個(gè),并刪去了許多限制性的內(nèi)容。如在振動(dòng)和波這一章,刪去了“不要求推導(dǎo)單擺的周期公式”這一限制性的內(nèi)容。這就說明,新課程考試大綱要求學(xué)生會(huì)推導(dǎo)單擺的周期公式。而查看全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(試驗(yàn)修訂本)物理第一冊(必修),在關(guān)于單擺周期公式的推導(dǎo)中也僅僅講到單擺受到的回復(fù)力與其位移大小成正比,方向與位移的方向相反為止。最后還是通過物理學(xué)家的研究才得出了單擺的周期公式。這樣一來,前面的推導(dǎo)似乎只是為了想證明單擺的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)。一 簡諧運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征作簡諧運(yùn)動(dòng)的物體要受到回復(fù)力的作用,而且這個(gè)回復(fù)力與物體相對(duì)于平衡位置的位移成正比,方向與位移相反,用公式表示可以寫成,其中是比例系數(shù)。對(duì)于質(zhì)量為的小球,假設(shè)時(shí)刻(位移是)的加速度為,根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有:,即ABGG1G2GP圖 1因此小球的加速度與它相對(duì)平衡位置的位移成正比,方向與位移相反。因?yàn)椋ɑ颍┦亲兞?,所以也是變量,小球作變加速運(yùn)動(dòng)。把加速度寫成,并把常數(shù)寫成得到。對(duì)此微分方程式,利用高等數(shù)學(xué)方法,可求得其解為。這說明小球的位移是按正弦曲線的規(guī)律隨著時(shí)間作周期性變化的,其變化的角速度為,從而得到作簡諧運(yùn)動(dòng)物體的周期為。二單擺周期公式的推導(dǎo) 單擺是一種理想化的模型,實(shí)際的擺只要懸掛小球的擺線不會(huì)伸縮,懸線的長度又比球的直徑大很多,都可以認(rèn)為是一個(gè)單擺。 當(dāng)擺球靜止在點(diǎn)時(shí),擺球受到的重力和擺線的拉力平衡,如圖1所示,這個(gè)點(diǎn)就是單擺的平衡位置。讓擺球偏離平衡位置,此時(shí),擺球受到的重力和擺線的拉力就不再平衡。在這兩個(gè)力的作用下,擺球?qū)⒃谄胶馕恢酶浇鼇砘赝鶑?fù)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到任一點(diǎn)時(shí),重力沿著圓弧切線方向的分力提供給擺球作為來回振動(dòng)的回復(fù)力,當(dāng)偏角很小如時(shí),所以單擺受到的回復(fù)力,式中的為擺長,是擺球偏離平衡位置的位移,負(fù)號(hào)表示回復(fù)力與位移的方向相反,由于m、g、L都是確定的常數(shù),所以可以用常數(shù)來表示,于是上式可寫成。因此,在偏角很小時(shí),單擺受到的回復(fù)力與位移成正比,方向與位移方向相反,單擺作的是簡諧運(yùn)動(dòng)。把代入到簡諧運(yùn)動(dòng)物體的周期公式,即可得到單擺的周期公式是。圖 2三單擺周期公式在特定條件下的應(yīng)用討論1:單擺周期公式中的指的是單擺的擺長,但在特定情況下可以理解為是等效擺長。例1如圖2所示,為一雙線擺,它是在水平天花板上用兩根等長的細(xì)線懸掛一個(gè)小球而構(gòu)成的。已知擺長為,擺線與天花板之間的夾角為。求小球在垂直于紙面方向作簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期。解析 小球在垂直于紙面內(nèi)作簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí),其等效擺長為,所以此雙線擺的周期。討論2:單擺周期公式中的指的是重力加速度,而在很多特定條件下可以理解為擺球在平衡位置保持相對(duì)靜止時(shí),擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向的力,剩余的各力沿著擺線方向的合力與擺球質(zhì)量的比值,即,(在加速運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中,還應(yīng)包括慣性力,慣性力的大小,方向與系統(tǒng)的加速度的方向相反)此時(shí),單擺的周期公式就變成了。例2在電場中帶電擺球的擺動(dòng)周期如圖3所示,長為的絕緣細(xì)線下端系一帶電量為、質(zhì)量為的小球,整個(gè)裝置處于場強(qiáng)為方向豎直向下的勻強(qiáng)電場中,在擺角小于時(shí),求它的擺動(dòng)周期。EqFG圖 4解析 擺球所受到的力如圖3所示即細(xì)線的拉力、重力圖 3EqE和電場力。當(dāng)擺球在平衡位置保持相對(duì)靜止時(shí), 擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向的力,剩余的各力沿著擺線方向的合力,則,擺動(dòng)的周期是。 若整個(gè)裝置處于如圖4所示的電場中,同樣可以求得單擺的擺動(dòng)周期為。圖 5例3 如圖5所示,求在勻加速上升的升降機(jī)內(nèi)單擺的周期。解析 設(shè)升降機(jī)勻加速上升的加速度為,單擺的擺長為,擺球的質(zhì)量為。當(dāng)擺球在平衡位置保持相對(duì)靜止時(shí),擺球受到的力如圖5所示即擺線的拉力和重力以及慣性力,方向與系統(tǒng)的加速度方向相反。擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向的力,剩余的各力沿著擺線方向的合力,圖 6因此,所以單擺的周期。 如圖6所示,若單擺處于沿水平方向作勻加速直線運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)內(nèi),單擺的擺長為,系統(tǒng)水平向右的加速度為,擺球的質(zhì)量為,求這一單擺的周期。圖 7 1+q, m解析 擺球受到擺線的拉力和重力以及慣性力,慣性力的方向與系統(tǒng)的加速度方向相反。擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向的力,剩余的各力沿著擺線方向的合力,因此, ,單擺的周期。例4如圖7所示為一單擺,擺繩長為,擺球的質(zhì)量為,擺球帶有正電荷的電量為,在單擺的懸點(diǎn)處放有一帶電量為的正電荷,試求這一單擺的周期。圖 8解析 擺球受到擺繩的拉力、重力和電場力。其中電場力始終沿著擺繩的方向,當(dāng)擺球在平衡位置保持相對(duì)靜止時(shí),擺球受到的外力中除去所有的始終沿著擺繩方向的力,剩余的各力沿著擺繩方向的合力,。因此,單擺的周期是。例5如圖8所示,單擺處在方向垂直紙面向里的磁場中,已知擺球的帶電量為,磁感應(yīng)強(qiáng)度為,求該單擺的周期。解析 擺球在平衡位置周圍往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí),除了重力和拉力外,還將受到洛倫茲力的作用,而洛倫茲力的方向總是沿著擺線的方向, 擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向的力,剩余的各力沿著擺線方向的合力,。因此,單擺的周期是。參考文獻(xiàn):1、 顧建中力學(xué)教
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