數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊突破相似問題的策略分析.doc

突破相似問題的策略分析（一） 成都八中 巫倩一、 教學(xué)目標(biāo)針對近年成都中考A卷20題，分析考試題目的結(jié)構(gòu)和考點(diǎn)的特征。從三角形的邊角關(guān)系入手，分析常見幾何“K”字模型中全等三角形和相似三角形的證明方法，完成相關(guān)線段長度的求解。并將其拓展到變換的圖形中，進(jìn)行深入探究，從而提高初三學(xué)生的幾何分析能力和解題技巧。二、 教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：全等三角形、相似三角形的性質(zhì)和判定難點(diǎn)：角等的證明，成比例線段的應(yīng)用，輔助線的添加方法，計(jì)算中方程（組）的建立三、 教學(xué)過程（一） 基本技能（組織學(xué)生快速閱讀近兩年中考20題的問題，發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)）1、 常見“K”字模型例1BC中，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，過B、C作直線m的垂線段，垂足分別是D、E，若，則_； Am ED C 若，則_； BDEABC若， 則_ _。 證明：ABD+BDA+DAB = 180， mEAD DAB+BAC+CAE = 180 ABD =CAE 又BDA =CEA=，BDAAEC 。【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生歸納常見的數(shù)學(xué)模型，由特殊到一般，在圖形的變換中掌握全等三角形和相似三角形的證明，熟悉角等的證明方法（同角的余角相等，三角形外角和定理）。2、 旋轉(zhuǎn)與輔助線的添加例2 是正方形邊上的一點(diǎn)（不與重合），且，連接并將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，則的長為_。FACBDPEM 分析：由旋轉(zhuǎn)知，PD=PE，正方形ABCD中，AD=AB，可構(gòu)造全等三角形。 方法一（作垂線段構(gòu)造全等直角三角形）：過E作，交AB的延長線于F，則DAPPFE， AP=EF，AD=PF，又AB=AP+PB，AD=PB+BF，AP=BF ，BF=EF=，即BFE是等腰直角三角形，則。 方法二（截取等長線段構(gòu)造全等三角形）： 在AD上截取DM=PB，可證MDP=BPE，則DMPPBE， MP=BE，再證AM=AP，即AMP是等腰直角三角形，則?！驹O(shè)計(jì)意圖】在幾何的旋轉(zhuǎn)問題中加深對“K”字模型的理解，總結(jié)常見的輔助線添加方法（作垂線段構(gòu)成全等直角三角形、截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形），并學(xué)會(huì)靈活添加輔助線。（二） 攻略賞析（2012成都） 如圖，ABC和DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，且BAC =EDF =90，DEF的頂點(diǎn)E與ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合。將DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q。（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP=AQ時(shí)，求證：BPECQE；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長線上時(shí)，求證：BPECEQ；（3）在（2）的條件下，當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)間的距離(用含的代數(shù)式表示)。分析：考點(diǎn)：相似三角形與全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。 解：（1）證明：ABC是等腰直角三角形 B=C=45，AB=AC AP=AQ ，BP=CQE是BC的中點(diǎn)，BE=CE在BPE和CQE中，BPECQE（SAS）；（2）解：ABC和DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形B=C=DEF=45BEQ=EQC+C即BEP+DEF=EQC+C，BEP+45=EQC+45BEP=EQCBPECEQ 。 （3）解：BPECEQ ， ， ，連接PQ，中，。【設(shè)計(jì)意圖】帶領(lǐng)學(xué)生賞析中考題，發(fā)現(xiàn)其考點(diǎn)結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，將基本技能應(yīng)用于此，做到有的放矢。拓展訓(xùn)練1：將“兩個(gè)全等的等腰直角三角形”改成“頂角為120的兩個(gè)全等等腰三角形”，問題（2）的結(jié)論成立嗎？拓展訓(xùn)練2：在不添加字母的情況下，圖有幾對相似三角形？證明：由（2）知 BPECEQ ， BE=EC，又PEQ=PBE PEQPBE，BPECEQEPQ?！驹O(shè)計(jì)意圖】從邊角關(guān)系再探究相似三角形的證明方法等角的夾邊對應(yīng)成比例。拓展訓(xùn)練3：若線段AB與EF的交點(diǎn)為M，求的值。 分析：由CEQEPQ知，PQE=EQC，即QM是PQA的角平分線， 則。（此處的證明留給學(xué)生課后思考）【設(shè)計(jì)意圖】再次利用相似問題研究線段的比例問題，通過一題多變，發(fā)散學(xué)生思維。（三） 隨堂練習(xí)（2013成都）如圖，點(diǎn)B在線段AC上，點(diǎn)D、E在AC同側(cè)，A=C=90，BDBE，AD=BC。（1）求證：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，作PQDP，交直線BE于點(diǎn)Q ，當(dāng)點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)不重合時(shí)，求的值。分析：考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)（1）根據(jù)同角的余角相等求出1=E，再利用“角角邊”證明ABD和CEB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=CE，然后根據(jù)AC=AB+BC整理即可得證；（2）過點(diǎn)Q作QFBC于F，根據(jù)BFQ和BCE相似可得，然后求出，再根據(jù)ADP和FPQ相似可得，整理得到（APBF）（5AP）=0，從而求出AP=BF，最后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得，得解。解：（1）證明：BDBE1+2=18090= 90C = 902+E=18090= 901=E在ABD和CEB中，ABDCEB（AAS）AB = CEAC =AB+BC = AD+CE ；（2）如圖，過點(diǎn)Q作QFBC于F，則BFQBCE， ，BDBEADP+FPQ=18090= 90FPQ+PQF=18090= 90ADP=FPQ，又A =PFQ = 90ADPFPQ，即 整理得 （APBF）（AP5）= 0點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合，AP5，AP = BF由ADPFPQ得 。（提示：四點(diǎn)共圓、建立平面直角坐標(biāo)系也可解此問）【設(shè)計(jì)意圖】繼續(xù)品味中考題，學(xué)會(huì)在計(jì)算中建立方程。在熟練掌握解題方法和技巧的同時(shí)，提高計(jì)算能力。鼓勵(lì)學(xué)生思考其他的解法，力求一題多