高等數(shù)學下課后習題詳解（北大版）

高等數(shù)學下冊課后答案習題全

學院J__________________

班級J__________________

學號J__________________

姓名：

第七章s=二,42+(-3>+(5—5>:§.

6.在z軸上，求與兩點A(-4,1,

7-17)和8(3,5,-2)等距離的點.

1.在空間直角坐標系中，定出下列各解：設此點為例(0,0,z),則

點的位置：

(-4)2+12+(7-Z)2=32+52+(-2-z)2

41,2,3);8(-2,3,4);C(2,-3,-4);

0(3,4,0);f(0,4,3)；F(3,0,0).

解得z=l±

解：點A在第I卦限；點B在第H卦9

限；點C在第VIII卦限；點D在xOy面

即所求點為M(0,0,—).

上；點E在yOz面上；點F在x軸上.9

2.xOy坐標面上的點的坐標有什么特7.試證：以三點A(4,1,9),8

點？yOz面上的呢？zOx面上的呢？(10,-1,6),C(2,4,3)為頂點

答:在xOy面上的點，z=0;的三角形是等腰直角三角形.

在yOz面上的點，x=0;證明:因為|AB|=|AC|=7.且有

在zOx面上的點，y=0.|AC|2+|八812=49+49=98=|BC\2.

3.x軸上的點的坐標有什么特點？y軸故△48C為等腰直角三角形.

上的點呢？z軸上的點呢？

答：x軸上的點，片z=0;7-2

y軸上的點，x=z=0;

1.驗證：(a+b)+c=a+(b+c).

z軸上的點，x=y=0.

4.求下列各對點之間的距離：證明：利用三角形法則得證.見圖7-1

(1)(0,0,0),(2,3,4)；

(2)(0,0,0),(2,-3,-4)；

(3)(-2,3,-4),(1,0,3)；

(4)(4,-2,3),(-2,1,3).

解：(1)5=722+32+42=>/29

圖7-1

(2)s=M+J3)2+(y)2=V292.iSu=a—b+2c,w=-a+35—c.試

用a,b,c表示2“-3y.

(3)5=J(l+2)2+(0-3)2+(3+4)2=將

解：

⑷s=7(-2-4)2+(1+2)2+(3-3)2=3卡.2u—3y2(a—Z>+2c)—3(—a+3b—c)

—2a-2b+4c+3a-9b+3c

5.求點(4,-3,5)到坐標原點和各

坐標軸間的距離.=5a—16+7c

解：點(4,-3,5)到x軸，y軸，z軸3.把△八BC的8c邊分成五等份，設

的垂足分別為(4,0,0),分點依次為。1，。2，。3，。4，再把各

(0,-3,0),(0,0,5).

分點與A連接，試以A^=c,

故So=M+(-3)2+52=

BC=a表示向量2乂，24,萬7和RN.

s*=J(4一44+(一3-0)2+(5-Of=舊

解：D^A=BA-BD.=-c--a

11

/42+(-3+3)2+52=7415

y=5

-1-

D?A=BA—BD?——c——ci

---------------3

D3A=BA—BD、=—c——a

----------------------4

D4A=BA—BD4=—c——a.

4,設向量兩的模是4,它與投影軸

的夾角是60。，求這向量在該軸上的

投影.

解：設M的投影為則

三個力臼=(F=(3,-

PrjubM=|dA1|cos60°=4X1=2.7.1,2,3),F2=(-2,3,-4),3

4,5)同時作用于一點.求合力R的大小

5.一向量的終點為點B(2,-1,和方向余弦.

7),它在三坐標軸上的投影依次是解：/?=(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=

4,-4和7,求這向量的起點人的坐(2,1,4)

標.

|/?|=A/22+12+42=y/2\

解：設此向量的起點人的坐標A(x,y,

z),則

2014

cosa=-}=,cosp=—j=^,cos/=—

AB={4,-4,7}={2-x,-l-y,7-z)V21V21V21

解得x=-2,y=3,z=0

故A的坐標為A(-2,3,0).8.求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c

6.一向量的起點是Pi(4,0,5),=-2i-j+2k的模，并分別用單位向量

終點是P2(7,1,3),試求：

e“,2，”來表達向量a,b,c.

(1)4月在各坐標軸上的投影；

解：Ia1=Ji?+12+r=G

(2)強的模;

I昨722+(-3)2+52=屈

(3)4g.的方向余弦；

|C|=7(-2)2+(-1)2+22=3

(4)［月方向的單位向量.

a=Ge4,b=y/3Seh,c=3ec.

解：(1)%=i5d金月=3,

9.設m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,

求向量a=4m+3n-p在x軸上的投影及

4=Prjv而=1，

在y軸上的分向量.

解：a=4(3i+5j+8k)+3(2j-4j-7k)-(5j+j-

az=PrizP}P2=—2.

4k)=13/+7/+15/f

(2)|^X|=7(7-4)2+d-0)2+(3-5)2=V14在x軸上的投影ax=13,在y軸上分向

量為力

10..解：設a={%,av，生}則有

-2-

12.已知點P到點八(0,0,12)的距

離是7,9的方向余弦是2,3,9,

777

求點P的坐標.

求得

解：設P的坐標為(x,y,z),

2222

設［在my面上的投影向量為坂則|PA|=x+y+(z-12)=49

2

有5={%,%,0}得x2+y2+Z-95+24z

則z6570

22cos/=>A=6,

71a-bA/2ax+ayM+y2+z2749

4\a\'\^\2y/ax2+ay2

則求得av=±」2.190

又cosa二=>

42Jx2+/+z27

又同=1,則a；+a；+a；=1

32285

cos/?=y

=)1=3,y2=—

從而求得￡=土也}或M+y?+z~27

222

故點P的坐標為P(2,3,6)或

1」+烏

{c,190285570、

2，2，2

494949

11.已知兩點例1(2,5,-3),儲213.已知a,b的夾角e=,，且

(3,-2,5),點M在線段M1M2

上，=3MM2,求向徑兩的網(wǎng)=3,網(wǎng)=4,計算：

坐標.(1)a?b;(2)(3a-2b)?(a+2b).

解：⑴

解：設向徑OM={x,y,z}

a-b=

2兀1

^{x-2,y-5,z+3}cos^|a|-|^l=cosJyx3x4=--x3x4=-6

MM^{3-x,-2-y,5-z}

(2)(3a-2b\(a+2b)-3aa+()ab-2ba-^bb

因為，M\M=3MM1

=3|af+4a4-42F

所以，

=3X32+4X(-6)-4X16

x=—11

x—2=3(3—x)4=-61.

14.已知a=(4,-2,4),b=(6,-3,2),計算:

<y—5=3(—2—y)=<y=——

4(1)a,b;(2)(2a-3b),(a+

z+3=3(5—z)勺

[z=3

b)；(3)\a-b^

故0M={U,—±3}.解：⑴

44

a/=4x6+(—2)x(—3)+4x2=38

-3-

(2)

解：

Qa-3b)?(a+b)=2aa+2ab-3ab-3bb

所求平面與平面3x-2y+6z=ll平行

=2|小”/-3|肝

=2X[42+(-2)2+42]-38-3[62+(-3)2+22]故〃={3,-2,6},又過點(4,1,-2)

=2x36-38-3x49=713

故所求平面方程為：

⑶

3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0

\a-b^=(a-b)(a-b)=aa-2ab+bb^a^-2ab+\bf

即3x~2y+6z+2=0.

=36-2x38+49=9

2.求過點Mo(l,7,-3),且與連接坐標

15.已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,求:

(DaXb;(2)2aX7b;

原點到點Mo的線段0Mo垂直的平面

(3)7bX2a;(4)aXa.

解：⑴

方程.

2-1-1332

axb=i+Ij+I]k=3i-lj-5k

-1解：所求平面的法向量可取為

(2)2ax7b=14(ax0)=42"98/—70A〃=。%={1，7,-3}

⑶

故平面方程為：x~l+7(廠7)-3(z+3)=0

lbx2a=14(6xa)=T4(axm=-42i+98j+70k

即x+7y~3z-59=0

(4)axa=0.

16.已知向量。和b互相垂直，且

3.設平面過點(1,2,T),而在x軸和z

|a|=3,|回=4.計算:

軸上的截距都等于在)，軸上的截距的

(1)|(a+b)X(a-b)|;

(2)|(3a+b)X(a-2fe)|.

兩倍，求此平面方程.

(1)

解：設平面在)，軸上的截距為。

=2|a|-|Z>|-sin兀^=24則平面方程可定為力+；+福一1

2bh2b

(2)

又(1,2,T)在平面上，則有

|(3a+ft)x(fl-2/>)H3flxa-6<ixft+ixfl-2ix/)|=|7(Z)x(i)|

12-1,

—+—+—=1

712bb2b

=7x3x4xsin—=84

2

得b=2.

7-3

1求過點(4],-2)且與平面3x-2y+6z=l1故所求平面方程為:+與+；=1

424

平行的平面方程.

-4-

4.求過(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,(3)2廠3廠6=0表示平行于z軸且在x

2)三點的平面方程.軸及y軸上的截距分別為x=3和y=-2

解：由平面的三點式方程知的平面.(如圖7-4)

尤一玉y-yz-Z|(4)x-y=0表示過z軸的平面

工2一%必一XZ「Z\=°

龍3-玉力一%Z3—Z](如圖7-5)

代入三已知點，有(5)2x~3y+4z=Q表示過原點的平面

x-1y-1z+1(如圖7-6).

-2-1-2-12+1=0

1-1-1-12+1

化簡得獷3廠2z=0即為所求平面方程.

&/。>

5.指出下列各平面的特殊位置，并畫7圖7-4

出其圖形：

(l)y=0;(2)3x-l=0;

(3)2x-3j-6=0;(4)x-y=0;

(5)2x-3y+4z=0.

解：⑴y=0表示xOz坐標面(如圖7-

/圖7-5

2)

⑵3x-l=0表示垂直于x軸的平面.(如

圖7-3)

人

A圖7-6

愛圖7-2

6.通過兩點(1,1,1,)和(2,

2,2)作垂直于平面x+y-z=0的平面.

解：設平面方程為Ax+5y+Cz+￡>=0

則其法向量為〃={A,8,C}

X圖7-3

已知平面法向量為〃I={1,1,-1}

-5-

過已知兩點的向量上{1,1,1}

3-1-1223

s=〃[X/i,=i+j+k=i-Jj-i9k

由題知nm=0,nl=O'2-52233-5

A+B-C^O

=>C=0,A=—B.

A+B+C=O另取xo=O代入直線一般方程可解得

yo=7,zo=17

所求平面方程變?yōu)锳jc~Ay+D=Q

于是直線過點(0,7,17),因此直

又點(1,1,1)在平面上，所以有

線的標準方程為：

D=Q故平面方程為％-y=0.

xy-7z-17

T--7--19

7.求通過下列兩已知點的直線方程：

且直線的參數(shù)方程為：

(1)(1,-2,1),(3,1,-1)；

(2)(3,-1,0),(1,0,-3).x=t

解：(1)兩點所確立的一個向量為<y=7-7/

z=17-19r

s={3-l,1+2,-1-1}={2,3,-2)

9.決定參數(shù)攵的值，使平面x+母-

故直線的標準方程為：

2z=9適合下列條件：

1y+2z—1I,

---=-----=----或

23-2

(1)經過點(5,-4,6)；

x-3y-1z+1

〒一亍一三(2)與平面2x-3y+z=0成;的角.

(2)直線方向向量可取為

解：⑴因平面過點(5,-4,6)

s={l-3,0+1,-3-0}={-2,1,-3)

故有5-462x6=9得k-4.

故直線的標準方程為：

(2)兩平面的法向量分別為

x-3y+1x-l_y_z+3

或

-2zii={/12={2,-3,1}

2x+3y-z-4=0

8.求直線<的標準式且…也=月=7=也

3x-5y+2z+l=0III1V5+F-V1442

方程和參數(shù)方程.解得女=±等

解：所給直線的方向向量為

10.確定下列方程中的/和m:

-6-

(1)平面2x+/y+3z~5=0和平面nvc-6y-解：m={3-1,7),112=[1,-1,2}.

2+2=0平行；1.%故

(2)平面3x-5y+/z-3=0和平面-17733-1

〃=I2^+2]，+]^k=5i+j-2k

x+3y+2z+5=0垂直.

解：⑴小={2,/,3},M2={777,-6-1)則6“=±3(5，+/-2幻.

V30

2/32

n\〃%=7=7=口=根=_§''=I'

13.求下列直線的夾角：

(2)〃產{3,-5,1},?2={1,3,2)5x-3y+3z-9=0和

(1)

%J_n2n3xl—5x3+/x2=0n/=6.3x-2y+z—l=0

11.通過點(1,-1,1)作垂直于兩2x+2y—z+23—0

3冗+8y+z-18=0'

平面x-y+z-1=0和2x+y+z+l=0的平面.

x-2y—3z—1

⑵和

4-123

解：設所求平面方程A^+8y+Cz+Z)=0

y—3z—8

其法向量n={A,B,C}

x=1

?1={},?2={2,1,1)

解：（1）兩直線的方向向量分別為

A=--C

n±n}=>A-B+C=03

n±n2=>2A+B+C=0B=)si={5,-3,3}x{3,-2,1}

3

ijk

又(1,-1.1)在所求平面上，=5-33={3,4,-1)

3-21

故A-B+C+ZM),得0=0

S2={2,2,-1}X{3,8,1)

故所求平面方程為

ijk

——Cx+—y+Cz—O=22-1={10,-5,10}

33381

即2x~y~3z=0

由SI-S2=3X10+4X(-5)+(-1)xl0=0知

12.求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于

SIJ_S2

向量L/+2A的單位向量.

-7-

從而兩直線垂直，夾角為15.求點(1,2,1)到平面x+2y+2z-

2

⑵直線手=二=守的方向向

10=0是巨離.

4-123

y-3_z-8解：過點(1,2,1)作垂直于已知

量為s產{4,-12,3},直線=1"二=

x=1平面的直線，直線的方向向量為

的方程可變?yōu)?2:二2=0,可求得其?=?={!,2,2}

工一1=0

X=1+E

方向向量S2={0,2,T}x{l,0,0}={0,T,所以垂線的參數(shù)方程為＜y=2+2r

z=1+2r

-2},于是

將其代入平面方程得r=g.

cos6=*PM,故垂足為(**!),且與點(1,2,

0X78°5'

1)的距離為

14.求下列直線與平面的交點：

“心+章+守=】

⑴子與H2x+3y+zT=0;

/—、x+2y_1z-3__/八

(2)——=§=2，x+2y~2z+6=0.即為點到平面的距離.

解：(1)直線參數(shù)方程為7-4

x=l+t1.建立以點(1.3,-2)為中心，且

<y=-l—2t

z=6t通過坐標原點的球面方程.

代入平面方程得r=l解：球的半徑為

故交點為(2,-3,6).R=712+32+(-2)2=V14.

x=—2+2t設(x,y,z)為球面上任一點，

(2)直線參數(shù)方程為<y=l+3f

z=3+2，則(xT)2+(、-3)2+(Z+2)2=14

代入平面方程解得r=0.即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0為所求球面方

故交點為(-2,1,3).程.

-8-

2.一動點離點(2,0,-3)的距離與

離點(4,-6,6)的距離之比為3,

求此動點的軌跡方程.

解：設該動點為M(x,y,z),由題意知

7(x-2)*2+*56(y-O)2+(z+3)2

I=3

7U-4)2+(y+6)2+(z-6)2

化簡得：8A:2+8/+8Z2-68X+108J-

114z+779=07--8

即為動點的軌跡方程.

(3)母線平行于y軸的橢圓柱面，如

3.指出下列方程所表示的是什么曲

圖7-9.

面，并畫出其圖形：

(4)母線平行于x軸的拋物柱面，如

⑴(犬一發(fā)+%專)?；

圖7-10.

22

(2)-JJ；

49

x22

3—+—z=1;

94

⑷y2-z=0;

(5)x2-y2=0;

(6)%2+y2=0.

解：(1)母線平行于z軸的拋物柱

面，如圖7-7.

(2)母線平行于z軸的雙曲柱面，如(5)母線平行于z軸的兩平面，如圖

7-11.

圖7-8.

(6)z軸，如圖7-12.

-9-

圖7-11

圖7-12

圖7-14

4.指出下列方程表示怎樣的曲面，并

(3)以x軸為中心軸的雙葉雙曲面，如

作出圖形：

圖7-15.

22

2.V.Z1

⑴X------1------1?

49'(4)單葉雙曲面，如圖7-16.

⑵36d+9y2-4z=36；

72

2曠z-

⑶r

49

22

/+U1.圖7-15

49'

z2

Y+------=0

⑸

9

解：

⑴半軸分別為1,2,3的橢球

面，如圖7-13.圖7-16

(2)頂點在(0,0,-9)的橢圓拋物⑸頂點在坐標原點的圓錐面，其中心

面，如圖7-14.軸是z軸，如圖7-17.

-10-

5.作出下列曲面所圍成的立體的圖

形：

(1)/+V+z2=a2與z=O,z=y(a>0);

(2)x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0;

(3)z=4-f,x=Q,y=Q,z=0及2x+產;4

(4)z=6-(x2+y2),x=0,>'=0,z=0及x+y=l.

6.求下列曲面和直線的交點：

解：⑴(2)(3)(4)分別如圖

222

/八廠yz

(1)—+—+—=1與

81369

x-3y-4z+2

-6

⑵今/A與1與平

解：（1）直線的參數(shù)方程為

x=3+3/

<y=4-6f

z=-2+4/

代入曲面方程解得uO,/=L

得交點坐標為

(3,4,-2),(6,-2,2).

圖7-19

⑵直線的參數(shù)方程為

-11-

'22

x=4tXZ~

_-_-_I1-_-_-_1

<y=-31（2）截線方程為?94

z=-2+4/y=0

代入曲面方程可解得Ul,為xOz面上的一個橢圓.

得交點坐標為（4,-3,2）.X2+Z2

（3）截線方程為＜（3及產+

7.設有一圓，它的中心在z軸上，半°=5

徑為3,且位于距離xOy平面5個單為平面y=5上的一個橢圓.

位的平面上，試建立這個圓的方程.工上=0

⑷截線方程為亍一不一

解：設（x,y,z）為圓上任一點，依z=2

題意有為平面z=2上的兩條直線.

9.求曲線x2+y2+z2=?2,x2+y2=z2在xOy

z=±5

面上的投影曲線.

即為所求圓的方程.

解：以曲線為準線，母線平行于z軸

222

8.試考察曲面2嘖+亍=1在下列

的柱面方程為

各平面上的截痕的形狀，并寫出其方八九土

2

程.

故曲線在xOy面上的投影曲線方程為

⑴平面戶2;（2）平面產0;

122a2

⑶平面）=5;（4）平面z=2.,2

z=0

解：（1）截線方程為

10.建立曲線x2+y2=z,z=x+1在xOy平

’22

?IZ__]

,（5下）2（2逐）2面上的投影方程.

x=2解：以曲線為準線，母線平行于z軸

其形狀為42平面上的雙曲線.的柱面方程為

-12-

^+y2=x+1即(x--)2+y2⑶原點關于平面6x+2y-9z+121=0的對稱點是

(T2,-4,⑻。

故曲線在x。)，平面上的投影方程為

解：由題知可設垂線的參數(shù)方程為

J1、225x=6/,j=2/,z=-9/,所要求的對稱點尸在

<(x__)-+r=_

z=0此垂線上，且它到平面的距離等于原點到平而

的距離。因此

習題七|6?6/+2?2/-9(-9/)+121|

"2+22+(—9)2

1.填空題：

_|6.0+2.0-9.0+121|

⑴過(0,1,0)且與平面x-y+z=l平行的平面方762+22+(-9)：

程為x-y+z=-]BP36/+4/+81z+121=-121,

解得/=一2,得點尸

解：因為所求平面與平面x-y+z=l平行，

⑷曲線卜?V+Z，=1在*伽平面上的投影曲

所以所求平面的法向量3=(1,-1,1),[x+2y+z=0

線方程是竹、5八4孫=1

設所求平面方程為x-y+z+O=0,

z=0

將(0,1,0)代入得0=1,

解：由曲線「"二+Z』

⑵點(2,1,0)到平面％+4尸52=0的距離x+2y+z=0

代入/+廿+22=1

d=V2^z=-x-2y

得z=-x-2yf^Ax2+y2+z2=\

解：點(2,1,0)到平面3》+。+52=0的距離可直

得2x2+5y2+4xy=1,

接利用點到平面距離公式

x2+y2+z2=\

故曲線1在XQT平面上的

jAx0+By0+Cz0+D\x+2y+z=0

投影曲線方程為[2X2+5/+4X?=L

z=0

其中(%+K+Z。)為點的坐標,

投影曲線方程為嚴+5"+4k=1。

為平面方程。

Ax+By+Cz+D=0z=0

由題意點(2,1,0),平面3x+4y+5z=0可知:(5)將zOx平面上的曲線/+z2=l繞z軸旋轉

/=3,8=4,C=5,￡>=0

一周所生成的旋轉曲面的方程為X?+歹+z?=1.

%=2,%=l,z()=0

解：以±斤"代替圓方程V+z-l中的x

故4|3x2+4xl+5x0+0|6

>/32+42+52得：(士J.2+/)+z?=1=>/+"+z?=]

-13-

2.選擇題：

(1)設三向量a,b,c滿足關系式a+b+c=O,則解：方程是zox面上的曲線(z-a)2=x2繞

axb=(B)Z軸旋轉?周而來，或是

AicxbB.bxcyoz面上的曲線(z-a>=/繞z軸旋轉一

C:axcDtbxa周而形成的。故選8。

解：由a+6+c=0,得〃=-b—c,

則〃乂力=(一力一(，)乂6=—(這力=力乂。,(5)F列方程所對應的曲面為雙曲拋物面的是

(D)

故選8。

A.x3+2/+3z2=1

(2)兩平行平面再:19x-4y+8z+21=0與

勺：19x-4y+8z+42=0之間的距離為(A)B.x2-2y2+3z2=l

A:\B:-C:2D:2\C.X2+2/-3Z=0

2

解：由公式

C.X2+2/-3Z=0

?四一3根-21|」

222222

>]A+B+CJ19+(-4)+8D.X2-2/-3Z=0

故選Ao解：/為橢球，8為單葉雙曲面，C橢圓拋

物面，。雙曲拋物面，故選

x+2y~z=7.+小

,與直線

{-2x+y+z=73.已知四點/(l,-2,3),3(4,4-3),C(2,4,3)和

4產+6y-3z=8之間的關系是⑻

以8,6.6)求向量存在向量而上的投影.

"[2x-y-z=0

解：而={3,-2,-6),

8："出

C:￡1與右相交但不一定垂直

4與4為異面宜線CD=[6,2,3)

解：由題知直線4的方向向量5=(3,1,5)