“巧”求面積-陰影面積的計(jì)算方法、類型總結(jié).doc

“巧”求面積山東省章丘市寧家埠鎮(zhèn)中學(xué) 宋萬(wàn)民 劉學(xué)峰圖形面積的計(jì)算是數(shù)學(xué)計(jì)算中的一個(gè)重要部分，它不僅僅只是注重培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力，而且可以將各章節(jié)知識(shí)融于其中，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力也起著很大的作用?，F(xiàn)舉幾例，與大家共同探討：一、巧用概率例1（06 福州）如圖，創(chuàng)新廣場(chǎng)上鋪設(shè)了一種新穎的石子圖案，它是有五個(gè)過同一點(diǎn)但半徑不同的圓組成，其中陰影部分鋪黑色石子，其余部分鋪白色石子。小鵬在規(guī)定地點(diǎn)隨意的向圖案內(nèi)投擲小球，每次球都能落在圖案內(nèi)，經(jīng)過多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)落在一、三、五環(huán)(陰影)內(nèi)的概率分別為0.04、0.2、0.36。如果最大圓的半徑為1米，那么黑色石子區(qū)域的總面積為 米2。（精確到0.01米2）分析：因?yàn)樾∏蚵湓诟鞑糠值母怕实扔谠摬糠值拿娣e于整個(gè)圖形面積之比。所以，陰影部分的面積等于整個(gè)圖形面積陰影部分的概率之和。解：3.1412（0.04+0.2+0.36）=1.8841.88總結(jié)：本例雖然難度不大，但它巧妙的將概率、統(tǒng)計(jì)知識(shí)、近似數(shù)知識(shí)融于圓的面積計(jì)算中，培養(yǎng)了同學(xué)們的橫向聯(lián)系問題能力，發(fā)展了思維的廣度。二、巧用規(guī)律例2（06 山東）如圖，已知ABC的面積是1，如圖(1)中，若，則A1B1C1的面積是；如圖(2)中，若，則A2B2C2的面積是；如圖(3)中，若，則A3B3C3的面積是；若按此規(guī)律，若則A8B8C8的面積是 。分析：由于S1=；S2=；S3=;易知分母是4=22=(1+1)2，9=32=(2+1)2，16=42=(3+1)2，(n+1)2；而分子是1=1+10，3=1+21，7=1+32，n（n-1）+1。即Sn=。所以S8=。本題亦可用列表查規(guī)律的方法（如右表），重點(diǎn)在于分子的得出?？偨Y(jié)：本例借用面積計(jì)算考察了同學(xué)們探索、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括規(guī)律的能力，培養(yǎng)了同學(xué)們的縱向剖析問題的能力，發(fā)展了思維的深度。練習(xí)1（06 遼寧）如圖，用三個(gè)邊長(zhǎng)為a 的等邊三角形拼成如圖（1）所示的等腰梯形，現(xiàn)將這個(gè)等腰梯形截成四個(gè)全等的等腰梯形，（圖中1、2、3、4部分），然后將其中的一個(gè)等腰梯形按照上述方法，再截成四個(gè)全等的等腰梯形，如此重復(fù)下去，求第n次截得的一個(gè)等腰梯形的周長(zhǎng)和面積？答案：周長(zhǎng)：,，.面積：，。三、巧用對(duì)稱例3（06 江蘇）如圖已知BEC是等邊三角形，AEB=DEC=90,AE=DE,AC、BD的交點(diǎn)為O,求證：AECDEB,若ABC=DCB=90，AB=2cm，求圖中陰影部分的面積。解：（1）證明：AEB=DEC=90，AEB+BEC=DEC+BEC，即：AEC=DEB。BEC是等邊三角形，CE=BE。又AE=DE，AECDEB。（2）解：連結(jié)EO并延長(zhǎng)EO交BC于點(diǎn)F，連結(jié)AD。由（1）知AC=BD。ABC=DCB=90，ABC+DCB=180，ABDC，AB=。四邊形ABCD是平行四邊形且是矩形。OA=OB=OC=OD。又BE=CE，OE所在直線垂直平分線段BC，BF=CF，EFB=90。OF=。BEC是等邊三角形，EBC=60。在RtAEB中，AEB=90，ABE=ABCEBC=9060=30，BE=ABcos30=。在RtBFE中，BFE=90，EBF=60，BF=BEcos60=, EF=BEsin60=。OE=EF-OF=。AE=ED，OE=OE，AO=DO，AOEDDE，。=（cm2）。總結(jié)：本例不僅綜合運(yùn)用了三角形、四邊形的有關(guān)知識(shí)，而且利用了對(duì)稱的性質(zhì)把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，從而使問題在思路上得到了簡(jiǎn)化。練習(xí)1（06 濟(jì)南）現(xiàn)在有若干張邊長(zhǎng)不相等但都大于4cm的正方形紙片，從中任選一張，如圖從距離正方形四個(gè)頂點(diǎn)2cm處,沿45角畫線,將正方形紙片分成5部分,則中間陰影部分的面積為 cm2,若在上述正方形中再任選一張重復(fù)上述過程,并計(jì)算陰影部分的面積,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? 。(答案：8；是一定值，都等于8。)四、巧用旋轉(zhuǎn)例4（06 遼寧）如圖，扇形AOB的圓心角是90，四邊形OCDE是邊長(zhǎng)為1的正方形。點(diǎn)C、E、D分別是在OA、OB和弧AB上，過A作AFED交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，那么圖中陰影部分的面積為 。分析：由圖形很容易看出陰影BDE沿直線OD對(duì)折可與圖形ADC重合，從而求整個(gè)陰影部分的面積之和就轉(zhuǎn)化為求矩形ACDF的面積。解：將陰影BDE沿直線OD對(duì)折可與圖形ADC重合，從而整個(gè)陰影部分的面積之和就等于矩形ACDF的面積。因?yàn)檎叫蜲CDE的邊長(zhǎng)為1，所以O(shè)D=OA=，AC=OAOC=，所以矩形ACDF的面積等于，即圖中陰影部分的面積等于。例5（06 浙江寧波）如圖梯形ABCD中，ADBC,ABBC,AD=3,BC=5,將腰DC繞D點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90至DE，連結(jié)AE，則ADE的面積為（ ）。A.1 B.2 C.3 D.4分析：要求ADE的面積，須知其底與高，怎樣得到底與高的數(shù)值呢？請(qǐng)看解答：解：過點(diǎn)D作OFBC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EGAD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，當(dāng)DFC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90時(shí)，則能與DGE重合。即：FC=GE。又FC=BC-BF=BC-AD=5-3=2，GE=FC=2，?？偨Y(jié)：上述兩例都巧妙的利用旋轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)化和求解，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，可謂解法巧妙而新穎。O練習(xí)1(06 內(nèi)蒙古) 如圖將等腰直角三角形ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15后得三角形,若AC=1,則圖中陰影部分的面積為 。解：設(shè)AB與交于點(diǎn)O，由題意易知AC=1,OAC=30,C=90,所以設(shè)OC=x，則OA=2x，由“勾股定理”可得 x=,。五、巧用函數(shù)例6（06 四川綿陽(yáng)）梯形AOBC的頂點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)圖像上，OABC,上底邊OA在直線y=x 上，下底邊BC交x軸于點(diǎn)E（2，0），則四邊形AOEC的面積為（ ）。 解：OABC，且OA的解析式為y=x,過點(diǎn)E（2，0）的直線BC的解析式為y=x-2，又點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，1=x-2，即：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3。從而易知反比例函數(shù)的解析式為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（）。所以直線AC的解析式為，它與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）。如圖過點(diǎn)A作AGx軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CHx軸于點(diǎn)H，則=?？偨Y(jié)：本例綜合運(yùn)用了反比例函數(shù)、一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，并且與三角形的面積計(jì)算有機(jī)的結(jié)合在一起，所以說(shuō)本例是一道綜合性很強(qiáng)的題目。練習(xí)1：（06 武漢）如圖，已知點(diǎn)A是一次函數(shù)y=x的圖像與反比例函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，且OA=OB，那么AOB的面積為（ ）。xyOAB 解：如圖過點(diǎn)A作AEx軸于點(diǎn)E，因?yàn)辄c(diǎn)A既在直線y=x上，又在雙曲線y=上，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），即AE=，OA=OB=2，SAOB=。故選B。六、巧用圓的性質(zhì)例7：（07 章丘市第二屆教師素質(zhì)大賽試題）如圖，點(diǎn)A是半徑為1的O上的一點(diǎn)，以A為圓心，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑，在O上連續(xù)截取AB=BC=CD，再分別以A、D為圓心，以AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，再以A為圓心，以O(shè)E的長(zhǎng)為半徑畫弧交O于點(diǎn)F，連接AC、AF、CF，則ACF的面積為（ ）。 解：由題意易知，AD=2，AC=，則OE=AF=，連結(jié)OA、OC、OF，則三角形ACF被分割成AOC、COF、FOA三部分，因?yàn)?，SFOA=，所以SACF=SAOC+ SCOF+ SFOA=。例8：（06 沈陽(yáng)）如圖，已知在O中，直徑MN=10,正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在半徑OM 、OP以及O上，并且POM=45，則正方形ABCD的面積為 。分析：本題綜合考察了相交弦定理的推論和正方形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)求解問題的能力。解：由四邊形ABCD是正方形可知DCCO，ABOM，又因POM=45，則DC=CO，根據(jù)相交弦定理的推論可得AB2=MBBN，即：AB2=（5-2AB）（5+2AB），解此式可得AB2=5。練習(xí)1如圖，O的半徑為3，OA6，AB切O于B,弦BCOA,連結(jié)AC, 圖中陰影部分的面積為 。解：連結(jié)OB、OC，則OBAB，又OB=3，OA=6，OAB=30，AB=，而BCOA，ABC=150，OBC=AOB=60，又OB=OC，OBC是正三角形，BOC=，扇形OBC的面積為，因?yàn)镺BC與ABC是同底等高的兩個(gè)三角形，所以它們的面積相等，從而陰影部分的面積就等于扇形的面積，都等于。練習(xí)2：(06 山東)要在一個(gè)矩形紙片上，畫出半徑分別為4cm和1cm的兩個(gè)外切圓，則該矩形的面積的最小值為 cm2。（答案：72）七、巧用三視圖例9（06 安徽）如圖是某工件的三視圖，求此工件的全面積解：由三視圖可知，該工件為圓錐，并且該圓錐的底面直徑和高分別為20cm 和30cm ,根據(jù)圓錐的全面積計(jì)算公式可得： =八、巧用勾股例10（07 朱元生中考模擬）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F，分別在BC、CD上，如果AEEF，且AE=4，AF=5，那么正方形ABCD的面積等于（ ）。 分析：本例用到了“勾股定理”和“相似三角形”的相關(guān)知識(shí)。解：由題意易知ABEECF，所以，AEF是直角三角形，且 AE=4，AF=5，EF=3。若設(shè)AB=x,則EC=，F(xiàn)C=。在RtECF中，由勾股定理得：EC2+FC2=EF2，即，解之得x2=。故選A。CAB練習(xí)1：(06 福州) 如圖，