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中考幾何模型解題法研修課論文 宋海平第一講 以中招真題為例講解在幾何題中，與角平分線的四類模型：夾角模型、角平分線加垂直模型、角平分線加平行線模型、四邊形對角互補角平分線模型。第二講 弦圖是證明勾股定理時所構(gòu)造出來的圖形。本講將從弦圖出發(fā)，抽離出相似模型，及通過變形得到的高級相似模型，培養(yǎng)學(xué)生利用模型快速解決幾何證明題的能力。第三講 在熟悉A字型相似、8字型相似及各自變形的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生從題目中尋找相似基本模型的能力，從而使其能夠靈活利用模型來解決幾何證明題。 第四講 中考數(shù)學(xué)題中，求線段和最大值、線段差最小值的題目出現(xiàn)頻率較高。本講通過作圖，利用軸對稱的性質(zhì)將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移，利用奶站模型、天橋模型幫助學(xué)生找到解題的突破口，提高做題效率。第五講 幾何題目中經(jīng)常會出現(xiàn)大角中間夾著一個半角的條件（如90度角，中間夾一個45度角），用來求線段或圖形的數(shù)量關(guān)系。本講把這一條件總結(jié)為大角夾半角模型，幫助學(xué)生從題目特征入手，按照模型不同的特征采取不同的處理方法，快速找到題目的突破口，提升解題的效率。 第六講 本講重點講解根據(jù)題目條件，通過構(gòu)造圓，把問題放到圓的背景下，利用圓的性質(zhì)解決問題。培養(yǎng)學(xué)生把幾何的三大板塊：三角形，四邊形和圓統(tǒng)一起來解決問題，做到融會貫通。一、角平分線模型一、 精講精練【模型一】夾角模型OA、OC分別是BAC、BCA的角平分線，則：AOC=90+B BP、CP分別是ABC、ACD的角平分線，則：P=AAD、CD分別是EAC、FCA的角平分線，則： D=90-B1. 如圖，在ABC中，B60，A、C的角平分線AE、CF相交于O求證：OEOF2. （2011湖北黃岡）如圖，ABC的外角ACD的平分線CP與內(nèi)角ABC平分線BP交于點P，若BPC=40，則CAP=_.3. （2011年山東臨沂）如圖，ABC中，AB=AC，AD、CD分別是兩個外角的平分線.（1）求證：AC=AD；（2）若B=60，求證：四邊形ABCD是菱形.【模型二】角平分線加垂直ABAC，AB=AC，CE是ACB的平分線，BECE，則: BE=CF4. （2011大連）在ABC中，A90，點D在線段BC上，EDBC，BEDE，垂足為E，DE與AB相交于點F（1）當(dāng)ABAC時（如圖1），EBF_；探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）當(dāng)ABkAC時（如圖2），求的值（用含k的式子表示）【模型三】角平分線加平行線OP是MON的角平分線，ABON，則：OA=AB5. （2011江蘇宿遷）如圖，在梯形ABCD中，ABDC，ADC的平分線與BCD的平分線的交點E恰在AB上若AD7cm，BC8cm，則AB的長度是 _cm6. （2011山東濱州）如圖，在ABC中，點O是AC邊上（端點除外）的一個動點，過點O作直線MNBC.設(shè)MN交BCA平分線于點E，交BCA的外角平分線于點F，連接AE、AF.那么當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論.【模型四】四邊形對角互補模型A+C=180，BD是ABC的平分線，則:AD=CD7. （2011年山東臨沂前兩問）如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合，三角板的一邊交CD于點F，另一邊交CB的延長線于點G.（1）求證：EF=EG；（2）如圖2，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由弦圖模型n 。一、 知識提要1. 弦圖基本模型模型一： 模型二：2. 弦圖模型之變形 二、 專項訓(xùn)練【板塊一】弦圖基本模型1. 如圖，RtABC中，CDAB，垂足為D，DEAC，垂足為E，求證：2. 如圖，梯形ABCD中，AB/DC，B=90，E為BC上一點，且AEED若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，則AB的長為_3. 在ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB為邊向ABC外作ABD，使ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長. 【板塊二】弦圖模型之變形4. （2011烏魯木齊）如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，點P為BC邊上一點，且BP=1，點D為AC邊上一點，若APD=60，則CD的長為 .5. （2011錦州）如圖，四邊形ABCD，M為BC邊的中點若B=AMD=C=45，AB=8，CD=9，則AD的長為（）A3 B4 C5 D66. （2011荊州）如圖，P為線段AB上一點，AD與BC交干E，CPD=A=B，BC交PD于F，AD交PC于G，則圖中相似三角形有（）A1對B2對 C3對D4對7. 在ABC中，AC=BC，ACB=90，點M是AC上的一點，點N是BC上的一點，沿著直線MN折疊，使得點C恰好落在邊AB上的P點，求證：MC：NC=AP：PB相似基本模型三、 知識提要1. 相似基本模型1：“A” 字型相似及其變形2. 相似基本模型2：“8” 字型相似及其變形四、 專項訓(xùn)練1. 四邊形EFGH是ABC內(nèi)接正方形，BC=21cm，高AD=15cm，則內(nèi)接正方形邊長EF=_. 2. 如圖，在ABC中，AED=B，DE=6，AB=10，AE=8，則BC的長度為（）A.B. C.3D.3. 如圖，直角梯形ABCD中，BCD=90，ADBC，BC=CD，E為梯形內(nèi)一點，且BEC=90，將BEC繞C點旋轉(zhuǎn)90使BC與DC重合，得到DCF，連接EF交CD于M已知BC=5，CF=3，則DM：MC的值為（）A.5：3B.3：5 C.4：3D.3：44. 如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N為BD的三等分點，連接CM并延長交AB于E點，連接EN并延長交CD于F點，則DF：AB等于（）A.1：3B.1：4 C.2：5D.3：85. 如圖，半圓O的直徑AB=7，兩弦AC、BD相交于點E，弦CD=，且BD=5，則DE等于_.6. 已知：如圖，ABC中，AECE，BCCD，求證：ED3EF. 7. 已知：如圖，梯形ABCD中，ABDC，E是AB的中點，直線ED分別與對角線AC和BC的延長線交于M、N點，求證：MD：MEND：NE.巧用軸對稱解線段和差最值【板塊一】線段和最小1. 如圖，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（ ） A B C3 DADEPBCADEPBCADEPBCADEPBC2. 如圖，在五邊形ABCDE中，BAE=120，B=E=90，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分別找一點M，N，使得AMN周長最小時，則AMN +ANM的度數(shù)為（ ）A. 100 B. 110 C. 120 D. 1303. 如圖， 在銳角ABC中， AB=，BAC=45,BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD，AB上的動點，則BM+MN的最小值是_.4. （2011福州）已知，如圖，二次函數(shù)圖象的頂點為H，與x軸交于A、B兩點（B在A點右側(cè)），點H、B關(guān)于直線對稱.（3）過點B作直線BKAH交直線于K點，M、N分別為直線AH和直線上的兩個動點，連接HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值. 5. 已知四邊形PABQ在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則當(dāng)四邊形PABQ的周長最小時，a= 【板塊二】線段差最大6. （2009四川眉山）如圖，已知直線與軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標(biāo)為 (1，0) (3)在拋物線的對稱軸上找一點M，使的值最大，求出點M的坐標(biāo)大角夾半角模型原題剖析： 如圖，已知在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，若有EAF=45，求證：BE+DF=EF模型提取：題型對比：1.（2008天津）已知RtABC中，有一個圓心角為，半徑的長等于的扇形繞點C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線交于點M，NCABEFMN圖（）當(dāng)扇形繞點C在的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，如圖，求證：；CABEFMN圖（）當(dāng)扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn)至圖的位置時，關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由實戰(zhàn)訓(xùn)練2. （2010重慶改編）邊長為2的等邊ABC的兩邊AB、AC上有兩點M、N，D為ABC外一點，且MDN=60，BDC=120，BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在AB、AC上移動時，AMN的周長是否為定值？典型特例：3.如圖，點C、D在線段AB上，PCD是等邊三角形，且APB=120，CD=3，設(shè)AC=x、BD=y，求y關(guān)于x的表達(dá)式4.如圖，在ABC中，AB=AC=2，BAC=20動點P、Q分別在直線BC上運動，且始終保持PAQ=100設(shè)BP=x，CQ=y ， 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.5.如圖，將兩個全等的等腰直角三角形ABC與AFG擺放在一起，A為公共端點，BAC=AGF=90，它們的斜邊長為2，若ABC固定不動，AFG繞點A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（D、E不與B、C重合），設(shè)BE=m，CD=n.（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一組進(jìn)行證明；（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量的取值范圍6. 如圖，在ABC中，已知BAC=45，ADBC于D，BD=2，DC=3，求ABC的面積四點共圓【板塊一】對角互補1. 如圖，在ABC中，ADBC于D，DNAC于N，DMAB于M，求證：ANM=B2. 如圖，在四邊形ABCD中，已知BAD=60，ABC=90，BCD=120，對角線AC，BD交于點S，且DS=2SB，P為AC的中點求證：（1）PBD=30；（2）AD=DC【板塊二】同線段同側(cè)所張的角相等3. 如圖，在四邊形ABCD中，BCAB，A在BC的垂直平分線上，D在AC的垂直平分線上，且CAD=ABD，則ABC+ADC=（）A90B12