2019-2020學年東莞市高二上學期期末數(shù)學試題（解析版）

2019-2020學年廣東省東莞市高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題1在中，內(nèi)角的對邊分別為,且，則邊（ ）ABCD【答案】D【解析】由已知利用正弦定理可求【詳解】解：由正弦定理可得解得故選：【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.2已知實數(shù)滿足，則目標函數(shù)的最大值是（ ）ABCD【答案】A【解析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案【詳解】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示由可得，則表示直線在軸上的截距，截距越小，越大由可得，此時最大為故選：【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題3糖水溶液（不飽和）的濃度計算公式為，向糖水（不飽和）中再加入克糖，那么糖水（不飽和）將變得更甜，則反應(yīng)這一事實的不等關(guān)系為（ ）ABCD【答案】B【解析】依題意得到不等關(guān)系，即可得解.【詳解】解：依題意，向糖水（不飽和）中再加入克糖，此時糖水的濃度為，根據(jù)糖水更甜，可得故選：【點睛】本題考查利用不等式表示不等關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4已知雙曲線的實軸長是虛軸長的兩倍，則它的漸近線方程為（ ）ABCD【答案】A【解析】由焦點在軸，故漸近線為，實軸長是虛軸長的兩倍，得到、的關(guān)系，即可得到漸近線方程.【詳解】解：實軸長為，虛軸長為，漸近線為因為實軸長是虛軸長的兩倍，即可得故選：【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（ ）A3B4C7D8【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，根據(jù)條件列出方程組，解得.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為；解得故選：【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式的基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.6已知a,b為實數(shù)，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】D【解析】根據(jù)不等式的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷【詳解】解：若，滿足，但不成立，即充分性不成立若且，滿足，但不成立，即必要性不成立故“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題7中國古代數(shù)學著作算法統(tǒng)綜中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”.其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”，則該人第4天走的路程為（ ）A里B里C里D里【答案】C【解析】由題意可得：此人每天所走的路形成等比數(shù)列，其中，利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出【詳解】解：由題意可得：此人每天所走的路形成等比數(shù)列，其中，則，解得故選：【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題8如圖，已知三棱錐，點分別是的中點，點為線段上一點，且，若記,則（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)所給的圖形，在圖形中看出要求的向量可以怎么得到，用減法把向量先變化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法則，得到結(jié)果【詳解】，故選：【點睛】本題考查空間向量的加減法，本題解題的關(guān)鍵是在已知圖形中盡量的應(yīng)用幾何體的已知棱表示要求的結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題9已知實數(shù)且，則的最大值為（ ）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)得到即可將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次式，即可求出其最大值.【詳解】解：時故選：【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.10已知，為雙曲線的左、右焦點，為上異于頂點的點直線分別與，為直徑的圓相切于，兩點，則AB3C4D5【答案】B【解析】設(shè)，的中點分別為，則，可得【詳解】解：如圖，設(shè)，的中點分別為，則，故選：【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，充分應(yīng)用雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題二、多選題11四邊形內(nèi)接于圓，下列結(jié)論正確的有（ ）A四邊形為梯形B圓的直徑為7C四邊形的面積為D的三邊長度可以構(gòu)成一個等差數(shù)列【答案】ACD【解析】利用余弦定理，結(jié)合面積公式，分析四個選項，即可得出結(jié)論.【詳解】解：可證顯然不平行即四邊形為梯形，故正確；在中由余弦定理可得圓的直徑不可能是，故錯誤；在中由余弦定理可得解得或（舍去）故正確；在中，滿足的三邊長度可以構(gòu)成一個等差數(shù)列，故正確；故選：【點睛】本題考查余弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用，等差數(shù)列的概念的理解，屬于中檔題.12我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”.如圖，已知橢圓，為頂點，為焦點，為橢圓上一點，滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（ ）A為等比數(shù)列BC 軸，且D四邊形的內(nèi)切圓過焦點【答案】BD【解析】利用橢圓的簡單性質(zhì)分別求出離心率，再利用黃金橢圓的定義求解【詳解】解：，對于：為等比數(shù)列則不滿足條件，故錯誤；對于：即解得或（舍去）滿足條件故正確；對于： 軸，且即解得不滿足題意，故錯誤；對于：四邊形的內(nèi)切圓過焦點即四邊形的內(nèi)切圓的半徑為，解得（舍去）或故正確故選：【點睛】本題考查橢圓的離心率的計算問題，屬于中檔題.三、填空題13拋物線上的一點到焦點的距離為2，則點的縱坐標是_.【答案】【解析】先求拋物線的準線方程，再根據(jù)拋物線的定義，將點到焦點的距離為轉(zhuǎn)化為點到準線的距離為，故可求點的縱坐標【詳解】解：拋物線的準線方程為設(shè)點的縱坐標是，則拋物線上一點到焦點的距離為根據(jù)拋物線的定義可知，點到準線的距離為點的縱坐標是故答案為：【點睛】本題以拋物線的標準方程為載體，考查拋物線的定義，解題的關(guān)鍵是將點到焦點的距離為轉(zhuǎn)化為點到準線的距離為.14如圖，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標為_.【答案】【解析】由的坐標為，分別求出和的坐標，由此能求出結(jié)果【詳解】解：如圖，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，的坐標為， 故答案為：【點睛】本題考查空間向量的坐標的求法，考查空間直角坐標系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題15已知命題“不等式”為真命題，則的取值范圍為_.【答案】【解析】令，則對稱軸為，分對稱軸在區(qū)間之間，區(qū)間左邊和區(qū)間右邊三種情況討論可得.【詳解】解：令，則對稱軸為，要使不等式恒成立，即，當時解得；當時解得；當時解得；綜上可得：故答案為：【點睛】本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16斐波那契數(shù)列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家列昂納多斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.它是這樣一個數(shù)列：在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方法定義： ，記其前項和為，設(shè)（為常數(shù)），則_（用表示），_(用常數(shù)表示)【答案】 【解析】依題意由遞推公式及計算可得，【詳解】解：故， 故故答案為：；【點睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，屬于中檔題.四、解答題17已知.（1）若且為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）分別求解一元二次不等式化簡，然后利用為真，取交集求得實數(shù)的取值范圍；（2）求解一元二次不等式化簡，結(jié)合是充分不必要條件，可得 ，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式組得答案【詳解】解：（1）：解得或 當解得 為真，即都為真即 所以的取值范圍為（2），即所以， 即因為是的充分不必要條件， 所以 所以或綜上：是的充分不必要條件時，的取值范圍為【點睛】本題考查復(fù)合命題的真假判斷，考查了充分必要條件的判斷方法，屬于中檔題18已知等比數(shù)列滿足，數(shù)列是首項為公差為的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1），（2）【解析】（1）等比數(shù)列，設(shè)首項為，公比，得到關(guān)于、的方程組，解得、 ，即可得到數(shù)列的通項公式，再由數(shù)列是首項為公差為的等差數(shù)列.得到即可求出的通項公式；（2）由（1）所求的通項公式，利用錯位相減法求其前n項和.【詳解】解：（1）因為數(shù)列是等比數(shù)列，故設(shè)首項為，公比因為， 所以， 所以，解得，所以所以數(shù)列的通項公式為因為是首項為公差為的等差數(shù)列 所以 因為，所以（2）由（1）知同乘得： 作差得：即 所以【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，同時考查等比數(shù)列的求和公式的運用，屬于中檔題19在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角的大小.（2）若邊上的中線，且,求的周長.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理可求角的大小.（2）由面積公式可得，再在和中，由余弦定理可得，最后用完全平方公式可求的值，即可求得三角形的周長.【詳解】解：（1）由已知 由正弦定理得： 由余弦定理得：在中，因為,所以 （2）由，得 由（1）知，即 在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得： 因為，所以 由，得所以所以的周長.【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題20如圖，已知斜三棱柱中，在底面上的射影恰為的中點，且.（1）求證：； （2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在點，使得二面角的平面角為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）（3）不存在點滿足要求.見解析【解析】（1）作交于點，分別以所在直線為 軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明；（2）利用（1）中所建坐標系，求出直線的方向向量和平面的一個法向量，則兩向量的夾角的余弦值的絕對值即為線與面的夾角的正弦值；（3）假設(shè)存在設(shè)（），求出平面的一個法向量，根據(jù)，即可求出的值，即可得證.【詳解】證明：（1）作交于點，分別以所在直線為 軸建系 所以， ，所以 （2）因為，所以面的一個法向量為 因為，所以， 設(shè)線與平面所成角為， （3）不存在，設(shè)，（） , 設(shè)面的一個法向量為 有 ，得 所以不存在點滿足要求.【點睛】本題考查了空間位置關(guān)系與距離空間角、數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題21在數(shù)學建模課上，老師給大家?guī)砹艘粍t新聞：“2019年8月16日上午，423米的東莞第一高樓民盈國貿(mào)中心2號樓（以下簡稱“國貿(mào)中心”）正式封頂，隨著最后一方混凝土澆筑到位，標志著東莞最高樓紀錄誕生，由東莞本地航母級企業(yè)民盈集團刷新了東莞天際線，比之前的東莞第一高樓臺商大廈高出134米.”在同學們的驚嘆中，老師提出了問題：國貿(mào)中心真有這么高嗎？我們能否運用所學知識測量驗證一下？一周后，兩個興趣小組分享了他們各自的測量方案.第一小組采用的是“兩次測角法”：他們在國貿(mào)中心隔壁的會展中心廣場上的點測得國貿(mào)中心頂部的仰角為，正對國貿(mào)中心前進了米后，到達點，在點測得國貿(mào)中心頂部的仰角為，然后計算出國貿(mào)中心的高度（如圖）.第二小組采用的是“鏡面反射法”：在國貿(mào)中心后面的新世紀豪園一幢11層樓（與國貿(mào)中心處于同一水平面，每層約3米）樓頂天臺上，進行兩個操作步驟：將平面鏡置于天臺地面上，人后退至從鏡中能看到國貿(mào)大廈的頂部位置，測量出人與鏡子的距離為米；正對國貿(mào)中心，將鏡子前移米，重復(fù)中的操作，測量出人與鏡子的距離為米.然后計算出國貿(mào)中心的高度（如圖）.實際操作中，第一小組測得米，最終算得國貿(mào)中心高度為；第二小組測得米，米，米，最終算得國貿(mào)中心高度為；假設(shè)他們測量者的“眼高”都為米.（1）請你用所學知識幫兩個小組完成計算（參考數(shù)據(jù)：，,答案保留整數(shù)結(jié)果）；（2）你認為哪個小組的方案更好，說出你的理由.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】（1）對于第一小組，利用銳角三角函數(shù)解答；第二小組利用三角形相似可求；（2）從測量難易程度以及數(shù)據(jù)的誤差，對比分析.【詳解】解：（1）第一小組：在中得，；在中得，因為即得米 米第二小組：,得 同理得， 因為得 所以=米 所以米（2）優(yōu)點：測量方法較好理解，普適性強；計算思路簡潔；不足：的距離較長，測量要求高，難度大；角度測量較難精準，容易造成誤差；場地要求較高；第二組方案優(yōu)點：測量方法有創(chuàng)意（用到鏡面成像和相似三角形）；相對距離短，比較好測量；只需測量距離，需要的工具少；不足：兩次放鏡子相對距離太短，容易造成誤差；鏡面放置較難保持水平，容易造成誤差；如果鏡面較大，人眼看鏡內(nèi)物像時，兩次不一定都看準鏡面上的同一個點，易造成誤差；人與鏡子的距離差值較小，測量容易造成誤差【點睛】本題考查利用所學數(shù)學知識建立數(shù)學模型解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題.22設(shè)圓的圓心為，直線l過點且與x軸不重合，l交圓于兩點，過點作的平行線交于點.（1）證明為定值,并寫出點的軌跡方程；（2）設(shè)點的軌跡為曲線，直線與曲線交于兩點，點為橢圓上一點，若是以為底邊的等腰三角形，求面積的最小值.【答案】（1）見解析，（）（2）【解析