初中數(shù)學(xué)最短路徑問題.ppt

八年級上冊 13 4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題 課件說明 本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個經(jīng)典問題 將軍飲馬問題 為載體開展對 最短路徑問題 的課題研究 讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題 再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為 兩點之間 線段最短 或 三角形兩邊之和大于第三邊 問題 學(xué)習(xí)目標(biāo) 能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題 體會圖形的變化在解決最值問題中的作用 感悟轉(zhuǎn)化思想 學(xué)習(xí)重點 利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為 兩點之間 線段最短 問題 課件說明 引言 前面我們研究過一些關(guān)于 兩點的所有連線中 線段最短 連接直線外一點與直線上各點的所有線段中 垂線段最短 等的問題 我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴} 現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題 本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史中著名的 將軍飲馬問題 引入新知 問題1相傳 古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者 名叫海倫 有一天 一位將軍專程拜訪海倫 求教一個百思不得其解的問題 從圖中的A地出發(fā) 到一條筆直的河邊l飲馬 然后到B地 到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短 探索新知 精通數(shù)學(xué) 物理學(xué)的海倫稍加思索 利用軸對稱的知識回答了這個問題 這個問題后來被稱為 將軍飲馬問題 你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎 探索新知 追問1這是一個實際問題 你打算首先做什么 將A B兩地抽象為兩個點 將河l抽象為一條直線 探索新知 1 從A地出發(fā) 到河邊l飲馬 然后到B地 2 在河邊飲馬的地點有無窮多處 把這些地點與A B連接起來的兩條線段的長度之和 就是從A地到飲馬地點 再回到B地的路程之和 探索新知 追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎 探索新知 追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎 3 現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點 設(shè)C為直線上的一個動點 上面的問題就轉(zhuǎn)化為 當(dāng)點C在l的什么位置時 AC與CB的和最小 如圖 追問1對于問題2 如何將點B 移 到l的另一側(cè)B 處 滿足直線l上的任意一點C 都保持CB與CB 的長度相等 探索新知 問題2如圖 點A B在直線l的同側(cè) 點C是直線上的一個動點 當(dāng)點C在l的什么位置時 AC與CB的和最小 追問2你能利用軸對稱的有關(guān)知識 找到上問中符合條件的點B 嗎 探索新知 問題2如圖 點A B在直線l的同側(cè) 點C是直線上的一個動點 當(dāng)點C在l的什么位置時 AC與CB的和最小 作法 1 作點B關(guān)于直線l的對稱點B 2 連接AB 與直線l相交于點C 則點C即為所求 探索新知 問題2如圖 點A B在直線l的同側(cè) 點C是直線上的一個動點 當(dāng)點C在l的什么位置時 AC與CB的和最小 探索新知 問題3你能用所學(xué)的知識證明AC BC最短嗎 證明 如圖 在直線l上任取一點C 與點C不重合 連接AC BC B C 由軸對稱的性質(zhì)知 BC B C BC B C AC BC AC B C AB AC BC AC B C 探索新知 問題3你能用所學(xué)的知識證明AC BC最短嗎 探索新知 問題3你能用所學(xué)的知識證明AC BC最短嗎 證明 在 AB C 中 AB AC B C AC BC AC BC 即AC BC最短 若直線l上任意一點 與點C不重合 與A B兩點的距離和都大于AC BC 就說明AC BC最小 探索新知 追問1證明AC BC最短時 為什么要在直線l上任取一點C 與點C不重合 證明AC BC AC BC 這里的 C 的作用是什么 探索新知 追問2回顧前面的探究過程 我們是通過怎樣的過程 借助什么解決問題的 造橋選址問題 如圖 A和B兩地在一條河的兩岸 現(xiàn)要在河上造一座橋MN 喬早在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短 假定河的兩岸是平行的直線 橋要與河垂直 思維分析 1 如圖假定任選位置造橋 連接 和 從A到B的路徑是AM MN BN 那么怎樣確定什么情況下最短呢 2 利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢 我們能否在不改變AM MN BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢 什么圖形變換能幫助我們呢 思維火花 各抒己見 1 把A平移到岸邊 2 把B平移到岸邊 3 把橋平移到和A相連 4 把橋平移到和B相連 古有愚公移山 今有學(xué)子搬橋 呵呵 上述方法都能做到使AM MN BN不變呢 請檢驗 合作與交流 1 2兩種方法改變了 怎樣調(diào)整呢 把A或B分別向下或上平移一個橋長 那么怎樣確定橋的位置呢 問題解決 A1 M N 如圖 平移A到A1 使 A1等于河寬 連接A1 交河岸于 作橋 此時路徑 最短 理由 另任作橋 連接 由平移性質(zhì)可知 AM MN BN轉(zhuǎn)化為