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圓錐曲線的二個定義(1)第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件:橢圓中,與兩個定點F,F(xiàn)的距離的和等于常數(shù),且此常數(shù)一定要大于,當(dāng)常數(shù)等于時,軌跡是線段FF,當(dāng)常數(shù)小于時,無軌跡;雙曲線中,與兩定點F,F(xiàn)的距離的差的絕對值等于常數(shù),且此常數(shù)一定要小于|FF|,定義中的“絕對值”與|FF|不可忽視。若|FF|,則軌跡是以F,F(xiàn)為端點的兩條射線,若|FF|,則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。比如:已知定點,在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是 A B C D(答:C);方程表示的曲線是_(答:雙曲線的左支)(2)第二定義中要注意定點和定直線是相應(yīng)的焦點和準(zhǔn)線,且“點點距為分子、點線距為分母”,其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義,給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系,要善于運用第二定義對它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。如已知點及拋物線上一動點P(x,y),則y+|PQ|的最小值是_(答:2)一、求焦點弦長例1 過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A()、B(),若,求|AB|的長。解:設(shè)AB的中點為E,點A、E、B在拋物線準(zhǔn)線l:上的射影分別為G、H、M。由第二定義知:。二、求離心率例2 設(shè)橢圓=1(ab0)的右焦點為,右準(zhǔn)線為l1,若過F1且垂直于x軸的弦的長度等于F1到準(zhǔn)線l1的距離,求橢圓的離心率。解:如圖,AB是過F1垂直于x軸的弦,為F1到準(zhǔn)線l1的距離,ADl1于D,則|AD|=|F1C|,由題意知。由橢圓的第二定義知:三、求點的坐標(biāo)例3 雙曲線的右支上一點P,到左焦點F1與到右焦點F2的距離之比為2:1,求點P的坐標(biāo)。解:設(shè)點P()(),雙曲線的左準(zhǔn)線為l1:,右準(zhǔn)線為l2:,則點P到l1、l2的距離分別為。所以,解得。將其代入原方程,得。因此,點P的坐標(biāo)為。4、 求焦半徑(圓錐曲線上的點P到焦點F的距離)的計算方法:利用圓錐曲線的第二定義,轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離,即焦半徑,其中表示P到與F所對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。比如:1、點P在橢圓上,它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍,則點P的橫坐標(biāo)為_(答:);2、拋物線上的兩點A、B到焦點的距離和是5,則線段AB的中點到軸的距離為_(答:2);3、橢圓內(nèi)有一點,F(xiàn)為右焦點,在橢圓上有一點M,使 之值最小,則點M的坐標(biāo)為_(答:);五、求離心率的范圍例4 已知橢圓,分別是左、右焦點,若橢圓上存在點P,使F1PF2=90,求橢圓的離心率e的取值范圍。解:設(shè)點P(),則由第二定義得,。因為為直角三角形,所以。即解得,由橢圓方程中x的范圍知。,解得。五、求最值例5 已知點A(),設(shè)點F為橢圓的右焦點,點M為橢圓上一動點,求的最小值,并求此時點M的坐標(biāo)。解:如圖,過點A作右準(zhǔn)線l的
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