2012中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 最短距離問題分析.doc

2012中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 最短距離問題分析 最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是一類綜合性較強(qiáng)的問題，它貫穿初中數(shù)學(xué)的始終，是中考的熱點(diǎn)問題，它主要考察學(xué)生對(duì)平時(shí)所學(xué)的內(nèi)容綜合運(yùn)用，無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有最值問題，在中考?jí)狠S題中出現(xiàn)比較高的主要有利用重要的幾何結(jié)論（如兩點(diǎn)之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等）。利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。一、“最值”問題大都?xì)w于兩類基本模型：、歸于函數(shù)模型：即利用一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的對(duì)稱性及增減性，確定某范圍內(nèi)函數(shù)的最大或最小值、歸于幾何模型，這類模型又分為兩種情況：（1）歸于“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”。凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之和的最小值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型。（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之差的最大值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型。 ABPl幾何模型：條件：如圖，、是直線同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問題：在直線上確定一點(diǎn)，使的值最小方法：作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，則的值最小（不必證明）ABECBD圖1模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形的邊長為2，為的中點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)連結(jié)，由正方形對(duì)稱性可知，與關(guān)于直線對(duì)稱連結(jié)交于，則的最小值是_；OABC圖2P（2）如圖2，的半徑為2，點(diǎn)在上，是上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；OABPRQ圖3（3）如圖3，是內(nèi)一點(diǎn)，分別是上的動(dòng)點(diǎn)，求周長的最小值解：（1）的最小值是 （2）的最小值是（3）周長的最小值是【典型例題分析】ADEPBC1.如圖所示，正方形的面積為12，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對(duì)角線上有一點(diǎn)，使的和最小，則這個(gè)最小值為（ ） A B C3 DBOAxy2如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A，與y 軸交于點(diǎn)B(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，求證：PA-PBAB；(3)當(dāng)PA-PB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：(1)令x=0，得y=2， B(0，2) A(-2，3)(2)證明：.當(dāng)點(diǎn)P是AB的延長線與x軸交點(diǎn)時(shí)，PA-PB=AB；.當(dāng)點(diǎn)P在x軸上又異于AB的延長線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，BOAxyPH在點(diǎn)P、A、B構(gòu)成的三角形中，PA-PBAB. 綜合上述：PA-PBAB.(3)作直線AB交x軸于點(diǎn)P由(2)可知：當(dāng)PA-PB最大時(shí)，點(diǎn)P是所求的點(diǎn)作AHOP于H BOOP BOP=AHP，且BPO=APH BOPAHP 由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2 即 OP=4， P(4，0)yOxPDB3.如圖，在矩形中，已知、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，為的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)是平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）（1）試證明：無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處，總造橋與相等；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)的距離最小時(shí)，試確定過三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)是（2）中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，的周長最??？求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和的周長；（4）設(shè)點(diǎn)是矩形的對(duì)稱中心，是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo) yOxDBPEFM解：（1）點(diǎn)是的中點(diǎn)，又是的角平分線，（2）過點(diǎn)作的平分線的垂線，垂足為，點(diǎn)即為所求易知點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），故，作，是等腰直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3） 拋物線經(jīng)過原點(diǎn)， 設(shè)拋物線的解析式為又拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)， 有 解得拋物線的解析式為（3）由等腰直角三角形的對(duì)稱性知D點(diǎn)關(guān)于的平分線的對(duì)稱點(diǎn)即為點(diǎn)連接，它與的平分線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)（因?yàn)椋鴥牲c(diǎn)之間線段最短），此時(shí)的周長最小拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)， 設(shè)所在直線的解析式為，則有，解得所在直線的解析式為點(diǎn)滿足，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為 的周長即是 第4題（4）存在點(diǎn)，使其坐標(biāo)是或4.一次函數(shù)的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，4）（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PCPD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)解：(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入ykxb并計(jì)算得k2，b4解析式為：y2x4；(2)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C，連結(jié)PC、DC，則PCPCPCPDPCPDCD，即C、P、D共線時(shí)，PCPD的最小值是CD連結(jié)CD，在RtDCC中，CD2；易得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，1)(亦可作RtAOB關(guān)于y軸對(duì)稱的)5.已知：拋物線的對(duì)稱軸為與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)其中、（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得的周長最小請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）過點(diǎn)D作交軸于點(diǎn)連接、設(shè)的長為，的面積為求與之間的函數(shù)關(guān)系式試說明是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由ACxyBO5題圖ACxyBO解：（1）此拋物線的解析式為（2）連結(jié)、.因?yàn)榈拈L度一定，所以周長最小，就是使最小.點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn).（第24題圖）OACxyBEPD設(shè)直線的表達(dá)式為則解得此直線的表達(dá)式為把代入得點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）存在最大值 理由：即即方法一：連結(jié) =當(dāng)時(shí)，方法二： = 當(dāng)時(shí)，6.如圖，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)DOxyBEPAC（1）求拋物線的表達(dá)式（2）把ABC繞AB的中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180，得到四邊形ADBC判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由（3）試問在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得FBD的周長最小，若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）由題意知DOxyBEPCP解得， 拋物線的解析式為 （2）設(shè)點(diǎn)A（，0），B（，0），則，解得 OA1，OB3又tanOCBOCB60，同理可求OCA30ACB90 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知ACBD，BCAD 四邊形ADBC是平行四邊形 又ACB90四邊形ADBC是矩形 （3）延長BC至N，使假設(shè)存在一點(diǎn)F，使FBD的周長最小即最小DB固定長只要FD+FB最小又CABN FD+FBFD+FN當(dāng)N、F、D在一條直線上時(shí)，F(xiàn)D+FB最小 又C為BN的中點(diǎn)， （即F為AC的中點(diǎn)） 又A（1，0），C（0，） 點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（，） 存在這樣的點(diǎn)F（，），使得FBD的周長最小 7.如圖（1），拋物線和軸的交點(diǎn)為為的中點(diǎn)，若有一動(dòng)點(diǎn)，自點(diǎn)處出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)），再沿直線運(yùn)動(dòng)到該拋物線對(duì)稱軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)），最后又沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，求使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路程的長。AFEM解：如圖（1），由題意可得（0，3），拋物線的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為（6，3）。連結(jié)。根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，的長就是所求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中最短總路程的長，在直線的方程為（過程略）。AFEMB33設(shè)與的交點(diǎn)為則為在軸上所求的點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)為所求的F點(diǎn)。可得點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為）。由勾股定理可求出（過程略）所以點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程（）最短時(shí)間為。不管在什么背景下，有關(guān)線段之和最短問題，總是化歸到“兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短”，而轉(zhuǎn)化的方法大都是借助于“軸對(duì)稱點(diǎn)”8.恩施州自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世著名的恩施大峽谷和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運(yùn)送游客小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（與直線垂直，垂足為），到、的距離之和，圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，連接交直線于點(diǎn)），到、的距離之和（1）求、，并比較它們的大??；（2）請(qǐng)你說明的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，到直線的距離為，請(qǐng)你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、組成的四邊形的周長最小并求出這個(gè)最小值BAPX圖（1）YXBAQPO圖（3）BAPX圖（2）解：圖10（1）中過B作BCAP,垂足為C,則PC40,又AP10, AC30 在RtABC 中，AB50 AC30 BC40 BP S1 圖10（2）中，過B作BCAA垂足為C，則AC50，又BC40 BA由軸對(duì)稱知：PAPA S2BA (2)如 圖10（2），在公路上任找一點(diǎn)M,連接MA,MB,MA，由軸對(duì)稱知MAMAMB+MAMB+MAABS2BA為最小（3）過A作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A, 過B作關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB,交X軸于點(diǎn)P, 交Y軸于點(diǎn)Q,則P,Q即為所求 過A、 B分別作X軸、Y軸的平行線交于點(diǎn)G,AB 所求四邊形的周長為ACBPQ9.如圖，（1），在中，為邊上一定點(diǎn)，（不與點(diǎn)B，C重合），為邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)的長為，請(qǐng)寫出最小值，并說明理由?！居^察與思考】其實(shí)，本題和例2中的（2）基本上是相同的，是“在直線上求一點(diǎn)，使它到同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之和最小”。因此，可由圖（1）（連結(jié)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)與所成線段，交于。或圖（1）（連結(jié)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)與所成線段，ACBPACBPQACBPQ交于，都同樣可得最小值。（1）（1）（1）解：如圖（1），作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，易知，。在中，又，在上任意取一異于的點(diǎn)，連結(jié)，則 對(duì)邊上的動(dòng)點(diǎn)，最小值為。10.如圖8,C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn),分別過點(diǎn)B、D作ABBD,EDBD,連接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,設(shè)CD=x.EDCBA圖8(1)用含x的代數(shù)式表示ACCE的長；(2)請(qǐng)問點(diǎn)C滿足什么條件時(shí),ACCE的