線性代數(shù)(同濟(jì)六版)知識(shí)點(diǎn)總結(jié).doc

.1. 二階行列式-對(duì)角線法則 : a11 a12a21 a22= a11a22 -a12a212. 三階行列式 對(duì)角線法則 按行（列）展開(kāi)法則3. 全排列：n個(gè)不同的元素排成一列。 所有排列的種數(shù)用Pn 表示， Pn = n！ 逆序數(shù)：對(duì)于排列p1 p2 pn，如果排在元素pi前面，且比pi大的元素個(gè)數(shù)有ti個(gè)，則pi這個(gè)元素的逆序數(shù)為ti。 整個(gè)排列的逆序數(shù)就是所有元素的逆序數(shù)之和。 奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。n個(gè)元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n!2 對(duì)換：一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.4. 其中：j1j2j3 是1,2,3的一個(gè)排列， t(j1j2j3)是排列 j1j2j3 的逆序數(shù)5. 下三角行列式:副三角跟副對(duì)角相識(shí) 對(duì)角行列式： 副對(duì)角行列式：6. 行列式的性質(zhì)：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. （轉(zhuǎn)置：行變列，列變行）。D = DT互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。 推論 ：兩行（列）相同的行列式值為零。 互換兩行：ri rj 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)k，等于用數(shù) k 乘此行列式。第i行乘k：ri x k 推論 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)外面行列式中如果有兩行（列）元素成比例 ，則此行列式等于0若行列式的某一列（行）的元素都是兩個(gè)元素和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和。如：把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變。如第j列的k倍加到第i列上：ci+kcj7. 重要性質(zhì)：利用行列式的性質(zhì) ri+krj 或 ci+kcj ，可以把行列式化為上（下）三角行列式，從而計(jì)算n階 行列式的值。（P11頁(yè)例7）8. 行列式按行（列）展開(kāi)法則（*重要*） 重要概念： 余子式：在 n 階行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列劃去, 剩下的( n 1 )2 個(gè)元素按原來(lái)的排法構(gòu) 成的 n 1 階行列式 叫做aij 的余子式，記為Mij 代數(shù)余子式：記 Aij = ( 1 ) i+j Mij 為元素 aij 的代數(shù)余子式 。 重要性質(zhì)，定理 1）第i行各元素的余子式，代數(shù)余子式與第i行元素的取值無(wú)關(guān)。或 2）行列式按行（列）展開(kāi)法則：行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和， 即： 推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. 即 或 使用該法則計(jì)算行列式的值：先選取存在最多0的行（列），從該行選取一個(gè)非0元素aij，并將該行其他元素 通過(guò)性質(zhì)化為0，則D = aij Aij 9. 利用Cramer法則求解n個(gè)n元線性方程組：若非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，則方程組有唯一解。等于0，則無(wú)解其中 Dj(j=1,2n) 是把系數(shù)行列式中的第j列的元素用方程組右邊的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的的n階行列式即：對(duì)于齊次線性方程組，如果系數(shù)行列式D 0，則該方程組只有零解，若D = 0，則存在非零解。第二章1. 矩陣相關(guān)的概念： 矩陣：由 mn 個(gè)數(shù) aij (i=1,2,m; j=1,2,n)排成的 m 行 n 列的數(shù)表(是一組數(shù))。 行（列）矩陣：只有一行（列）的矩陣，又稱為行（列）向量。 同型矩陣：行數(shù)，列數(shù)均相等的兩個(gè)矩陣 A=B ： 矩陣A和矩陣B為同型矩陣，且對(duì)應(yīng)的元素相等。 零矩陣：所有元素為0的矩陣，記為O，不同型的零矩陣是不相等的。 對(duì)角矩陣：對(duì)角線元素為，其余元素為0的方陣 單位矩陣：對(duì)角線元素為，其余元素為0的方陣， 2. 矩陣的運(yùn)算1）加法：只有兩個(gè)矩陣為同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。A+B等于對(duì)應(yīng)元素相加起來(lái)。滿足交換律和結(jié)合律2）數(shù)與矩陣相乘，3）矩陣與矩陣相乘：要求前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后一個(gè)矩陣的行數(shù)；AmsBsn 乘積矩陣的行數(shù)為前一個(gè)矩陣的行數(shù)，列數(shù)為后一個(gè)矩陣的列數(shù)；Cmn 即：乘積矩陣的第行，第列元素為前一個(gè)矩陣的第行元素與后一個(gè)矩陣的第行元素對(duì)應(yīng)相乘再相加。注意：一般情況下：AB BA。 但是滿足結(jié)合律和分配律。 EA = AE = A4）矩陣的冪：若 A 是 n 階方陣，則：A2=AA A3=AA2 Ak=AAk-1 顯然： A、B可交換時(shí)才成立 3. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，記作AT .如：性質(zhì)：設(shè)A為n階方陣，如果滿足 A= AT，即aij=aji ，則A為對(duì)稱陣如果滿足 A= -AT，即aij=-aji ，則A為反對(duì)稱陣4. 方陣的行列式：由 n 階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣 A 的行列式，記作|A|或det A.性質(zhì)：，。5. 伴隨矩陣：其中Aij是aij的代數(shù)余子式，稱為的伴隨矩陣。（特別注意符號(hào)）注意：元素aij的代數(shù)余子式Aij是位于A*的第j行第i列（類似于轉(zhuǎn)置）性質(zhì)：AA*= A*A= AE 6. 逆矩陣：對(duì)于n 階方陣 A，如果有 n 階方陣 B，使得AB = BA = E，則稱A可逆， B為A的逆矩陣，記為A-1。且A的逆矩陣是唯一的。 判斷方陣A是否可逆：A 0 A可逆，且逆矩陣A-1= 1AA*A = a bc d - A-1=1ad-bcd -b-c a 推論：若A 0，則A-1= 1A*。此時(shí)稱A為非奇異矩陣。若A=0，則稱A為奇異矩陣。二階矩陣的逆矩陣：主對(duì)角線兩數(shù)對(duì)調(diào)，副對(duì)角線兩數(shù)反號(hào)。單位矩陣E是可逆的 E= E-1。零矩陣是不可逆的。對(duì)角矩陣的逆矩陣：對(duì)角線上每個(gè)元素取倒數(shù)。推論：如果 n 階方陣A、B可逆，那么A-1、AT 、 A (0)、AB也可逆 （5）A-1= A-1 且： 用逆矩陣求解線性方程組：已知 AXB=C，若AB可逆，則 X= A-1CB-1（A在X左邊，則A-1必須在C左邊，B也如此）7. 矩陣分塊法：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個(gè)小塊，這種操作稱為對(duì)矩陣進(jìn)行分塊； 每一個(gè)小塊稱為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.分塊矩陣的運(yùn)算：（其運(yùn)算與矩陣運(yùn)算基本一致） 1）加法：要求矩陣A和B是同型矩陣，且采用相同的分塊法(即相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子塊也是同型的) 2）分塊矩陣A的轉(zhuǎn)置AT：除了A整體上需轉(zhuǎn)置外，每一個(gè)子塊也必須得轉(zhuǎn)置。8. 分塊對(duì)角矩陣：設(shè) A 是 n 階矩陣，若：A 的分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣對(duì)角線上的子塊都是方陣則稱A為分塊對(duì)角矩陣。性質(zhì)：| A | = | A1 | | A2 | | As | 若| As | 0，則 | A | 0，并且分塊副對(duì)角矩陣：O AB O-1= O B-1A-1 O A = O 的充分必要條件：ATA= O第三章1. 初等行變換：（運(yùn)算符號(hào)：）- 注意與行列式的運(yùn)算加以區(qū)分互換兩行，記做rirj 第i行乘以非0常數(shù)k，記做rik 第j行的k倍加到第i行上，記做ri+krj2. 若矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換成矩陣B，則稱A與B等價(jià)，記做AB AmnBmn的充要條件是存在 m 階可逆矩陣 P 及 n 階可逆矩陣 Q ，使 PAQ = B3. 矩陣之間等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：反身性：AA 對(duì)稱性：若AB，則BA 傳遞性：若AB，BC，則AC4. 行階梯形矩陣：1）可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為零；2）每個(gè)臺(tái)階只有一行；3）階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素. 行最簡(jiǎn)形矩陣：4）非零行的首非零元為1;5）首非零元所在的列的其它元素都為零.5. 初等矩陣：由單位矩陣 E 經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣。（是可逆的）1）單位矩陣對(duì)換i，j行，記作 Em(i,j)Em(i,j)-1= Em(i,j)2）以常數(shù) k0 乘單位矩陣第 i 行（列）， 記作Em(i(k)Em(i(k)-1=Em(i(1k)3）以 k 乘單位矩陣第 j 行加到第 i 行，記作Em(i,j(k)Em(i,j(k)-1=Em(i,j(-k)性質(zhì)1：左行右列設(shè)A是一個(gè) mn 矩陣，對(duì) A 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 A 的左邊乘以相應(yīng)的 m 階初等矩陣；對(duì) A 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 A 的右邊乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣.性質(zhì)2：方陣A可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等矩陣P1, P2, , Pl，使 A = P1 P2 , Pl rr推論：方陣 A 可逆的充要條件是如果AB ，則存在可逆矩陣P，使PA = B。 (A,E)(B,P)：即當(dāng)A變換成B是時(shí)，E變?yōu)镻（求P）求方陣A的逆矩陣 方法總結(jié)：方法1：判斷A可不可逆：若A0 A可逆 - 書(shū)中P41頁(yè)r A-1= 1AA* ：注意伴隨矩陣?yán)锩總€(gè)代數(shù)余子式對(duì)應(yīng)的符號(hào)r方法2：本身蘊(yùn)含了判斷A可不可逆的條件，即 A E A可逆 - 書(shū)中P64頁(yè)例2 (A,E)(E,A-1) ：即對(duì)矩陣 (A,E) 進(jìn)行初等行變換，當(dāng)A變成E時(shí)，E就變成了所求的 A-1r求A-1B：該方法用來(lái)求方程組 AX= B X= A-1B - 若XA= B，可先化為 ATXT= BT方法：A,B (E,A-1B) ：即對(duì)矩陣 (A,B) 進(jìn)行初等行變換，當(dāng)A變成E時(shí)，B就變成了所求的 A-1B二、 矩陣的秩1. k階子式：在 mn 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k m，k n)，位于這些行列交叉處的 k2 個(gè)元素，不改變它們?cè)?A中所處的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 A 的 k 階子式mn 矩陣A的k階子式共有 Cmk Cnk 個(gè)2. 矩陣的秩：設(shè)矩陣 A 中有一個(gè)不等于零的 r 階子式 D，且所有r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣A 的最高階非零子式，數(shù) r 稱為矩陣 A 的秩，記作 R(A)。零矩陣的秩等于0。常用：1）對(duì)于n階方陣A，R(A) = n (稱A滿秩) A0 A可逆求秩方法：將矩陣化為行階梯形矩陣2）若 AB，則R(A) = R(B)3）對(duì)于行階梯形矩陣，它的秩等于非零行的行數(shù)4）RAT=R(A)5）若P、Q可逆，則R(PAQ) = R(A) (ABPAQ=B) 即：可逆矩陣與任何矩陣A相乘，都不會(huì)改變所乘矩陣A的秩6）max R(A), R(B) R(A, B) R(A) + R(B)當(dāng)B = b為非零列向量時(shí)，R(A) R(A, B) R(A) +7）R(A+B) R(A) + R(B)8）R(AB) minR(A), R(B)3. 線性方程組的解 n元非齊次線性方程組 Ax= b - P75頁(yè)例13 P79頁(yè)17題有唯一解 RA=RA,b=n有無(wú)限解 RA=RA,bn1）無(wú)解 RAR(A,b)2）有解 RA=R(A,b) n 元齊次線性方程組 Ax= b有非零解 R(A ) n第四章一、向量組及線性組合1. n 維向量：n 個(gè)有次序的數(shù) a1 , a2 , , an 所組成的數(shù)組。這 n 個(gè)數(shù)稱為該向量的 n個(gè)分量，第 i 個(gè)數(shù) ai 稱為第 i 個(gè)分量2. 向量組：若干個(gè)同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合3. 給定向量組 A：a1, a2, , am ，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)k1, k2, , km ，表達(dá)式 k1a1 + k2a2 + + km am 稱為向量組 A 的一個(gè)線性組合。k1, k2, , km 稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)4. 給定向量組 A：a1, a2, , am 和向量 b，如果存在一組實(shí)數(shù) l1, l2, , lm ，使得b = l1a1 + l2a2 + + lm am 則向量 b 是向量組 A 的線性組合，這時(shí)稱向量 b 能由向量組A 的線性表示 向量 b 能由向量組A 的線性表示 R(A) = R(A, b) 方程組x1a1 + x2a2 + + xm am = b 有解5. 設(shè)有向量組 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若向量組 B 中的每個(gè)向量都能由向量組 A 線性表示， 則稱向量組 B 能由向量組 A 線性表示若向量組 A 與向量組 B 能互相線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià) 兩個(gè)向量組等價(jià) R(A) = R(B) = R(A, B)6. 向量組 B能由向量組 A 線性表示 存在矩陣K，使B = AK 矩陣方程AX=B有解 R(A) = R(A,B) R(B) R(A) （這是必要條件）二、向量組的線性相關(guān)性1. 給定向量組 A：a1, a2, , am ，如果存在不全為零的實(shí)數(shù) k1, k2, , km ，使得k1a1 + k2a2 + + km am =0（零向量） 則稱向量組 A 是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無(wú)關(guān)的2. 只含一個(gè)向量a的向量組A，當(dāng)a = 0時(shí)，A線性相關(guān)； a 0時(shí)，A線性無(wú)關(guān) 只含兩個(gè)向量a1, a2的向量組A，線性相關(guān) a1, a2 的分量對(duì)應(yīng)成比例。 向量組A：a1, a2, , am(m2)線性相關(guān) 向量組A中至少存在一個(gè)向量能由其余m-1個(gè)向量線性表示。3. 向量組A線性相關(guān) m 元齊次線性方程組Ax = 0有非零解 R(A) m 向量組A線性無(wú)關(guān) m 元齊次線性方程組Ax = 0只有零解 R(A) = m4. n維單位坐標(biāo)向量組E：e1, e2, , en ，是線性無(wú)關(guān)的，且是最大的線性無(wú)關(guān)組之一。 維單位坐標(biāo)向量組E：e1, e2, , en能由向量組A：a1, a2, , am 線性表示. R(A) = n5. 定理1）若向量組 A ：a1, a2, , am 線性相關(guān)， 則向量組 B ：a1, a2, , am, am+1 也線性相關(guān)其逆否命題也成立，即若向量組 B 線性無(wú)關(guān)，則向量組 A 也線性無(wú)關(guān)2）m 個(gè) n 維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù) n 小于向量個(gè)數(shù) m 時(shí)，一定線性相關(guān)特別地， n + 1個(gè) n 維向量一定線性相關(guān)3）設(shè)向量組 A ：a1, a2, , am 線性無(wú)關(guān)， 而向量組 B ：a1, a2, , am, b 線性相關(guān)，則向量 b 必能由向量組 A 線性表示，且表示式是唯一的三、向量組的秩1. 設(shè)有向量組 A ，如果在 A 中能選出 r 個(gè)向量a1, a2, ,ar，滿足向量組 A0 ：a1, a2, , ar 線性無(wú)關(guān)； 向量組 A 中任意 r + 1個(gè)向量（如果 A 中有r + 1個(gè)向量的話）都線性相關(guān)； 那么稱向量組 A0 是向量組 A 的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)向量組，簡(jiǎn)稱最大無(wú)關(guān)組 最大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù) r 稱為向量組 A 的秩，記作RA 。RA 向量組A中向量的個(gè)數(shù)只含零向量的向量組沒(méi)有最大無(wú)關(guān)組，秩 = 0。2. 向量組 A 和它自己的最大無(wú)關(guān)組 A0 是等價(jià)的 推論：向量組A0線性無(wú)關(guān)；向量組 A 中任意一個(gè)向量都能由向量組 A0 線性表示；那么稱向量組 A0 是向量組 A 的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組3. 全體 n 維向量構(gòu)成的向量組記作Rn，向量組E是Rn的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，且Rn的秩等于n4. 矩陣的秩等于它的列（行）向量組的秩5. 矩陣初等變換后保持列向量組之間的線性關(guān)系。 如：向量組A ：a1, a2, a3 , a4, a5，假設(shè)A0：a1，a2，a4是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，把a(bǔ)3 , a5用a1，a2，a4線性表示：可以看出：b3 = b1 b2 b5 = 4b1 + 3b2 3b4所以a3 = a1 a2 a5 = 4a1 + 3a2 3a4 四、線性方程組的解的結(jié)構(gòu)1. 設(shè)有齊次線性方程組 Ax = 0 ，如果x1 = x11， x 2= x21，.， x n= x n為該方程組的解，則稱 為方程組的解向量2. 性質(zhì)：若 x = x 1， x = x 2 是齊次線性方程組 Ax = 0 的解，則 x = x 1