帶通抽樣定理.doc

信號與系統(tǒng)A（2）課程自學(xué)報告實施報告題 目：帶通采樣定理與軟件無線電帶通抽樣定理實際中遇到的許多信號是帶通型信號，這種信號的帶寬往往遠小于信號中心頻率。若帶通信號的上截止頻率為，下截止頻率為，這時并不需要抽樣頻率高于兩倍上截止頻率，可按照帶通抽樣定理確定抽樣頻率。定理 帶通抽樣定理：一個頻帶限制在內(nèi)的時間連續(xù)信號，信號帶寬，令，這里為不大于的最大正整數(shù)。如果抽樣頻率滿足條件，（3.1-9）則可以由抽樣序列無失真的重建原始信號。對信號以頻率抽樣后，得到的采樣信號的頻譜是的頻譜經(jīng)過周期延拓而成，延拓周期為，如圖3-3所示。為了能夠由抽樣序列無失真的重建原始信號，必須選擇合適的延拓周期（也就是選擇采樣頻率），使得位于和的頻帶分量不會和延拓分量出現(xiàn)混疊，這樣使用帶通濾波器就可以由采樣序列重建原始信號。由于正負頻率分量的對稱性，我們僅考慮的頻帶分量不會出現(xiàn)混疊的條件。在抽樣信號的頻譜中，在頻帶的兩邊，有著兩個延拓頻譜分量：和。為了避免混疊，延拓后的頻帶分量應(yīng)滿足（3.1-10）（3.1-11）綜合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到（3.1-12）這里是大于等于零的一個正數(shù)。如果取零，則上述條件化為（3.1-13）這時實際上是把帶通信號看作低通信號進行采樣。取得越大，則符合式（3.1-12）的采樣頻率會越低。但是有一個上限，因為，而為了避免混疊，延拓周期要大于兩倍的信號帶寬，即。因此（3.1-14）由于為不大于的最大正整數(shù)，因此不大于的最大正整數(shù)為，故有綜上所述，要無失真的恢復(fù)原始信號，采樣頻率應(yīng)滿足， （3.1-15）圖3-3 帶通采樣信號的頻譜帶通抽樣定理在頻分多路信號的編碼、數(shù)字接收機的中頻采樣數(shù)字化中有重要的應(yīng)用。作為一個特例，我們考慮（）的情況，即上截止頻率為帶寬的整數(shù)倍。若按低通抽樣定理，則要求抽樣頻率，抽樣后信號各段頻譜間不重疊，采用低通濾波器或帶通濾波器均能無失真的恢復(fù)原始信號。根據(jù)帶通抽樣，若將抽樣頻率取為（值取為），抽樣后信號各段頻譜之間仍不會發(fā)生混疊。采用帶通濾波器仍可無失真地恢復(fù)原始信號，但此時抽樣頻率遠低于低通抽樣定理的要求。圖3-4所示為，時抽樣信號的頻譜。圖3-4 ，時的抽樣頻譜在帶通抽樣定理中，由于，帶通抽樣信號的抽樣頻率在到之間變化，如圖3-5所示。圖3-5 帶通抽樣定理由以上討論可知，低通信號的抽樣和恢復(fù)比起帶通信號來要簡單。通常，當帶通信號的帶寬大于信號的最低頻率時，在抽樣時把信號當作低通信號處理，使用低通抽樣定理，而在不滿足上述條件時則使用帶通抽樣定理。模擬電話信號經(jīng)限帶后的頻率范圍為300Hz3400Hz，在抽樣時按低通抽樣定理，抽樣頻率至少為6800Hz。由于在實際實現(xiàn)時濾波器均有一定寬度的過渡帶，抽樣前的限帶濾波器不能對3400Hz以上頻率分量完全予以抑制，在恢復(fù)信號時也不可能使用理想的低通濾波器，所以對語音信號的抽樣頻率取為8kHz。這樣，在抽樣信號的頻譜之間便可形成一定間隔的保護帶，既防止頻譜的混疊，又放松了對低通濾波器的要求。這種以適當高于奈奎斯特頻率進行抽樣的方法在實際應(yīng)用中是很常見的。軟件無線電所覆蓋的頻率范圍一般都比較寬 ,只有寬頻段才能具有廣泛的適應(yīng)性 ,這樣寬的頻段號的頻譜Xs()可表示為 :+ Xs() =1Ts n = -X( -ns)用 Nyquist 低通采樣1 是不現(xiàn)實的 ,而實際上軟件無線電中的各種無線電信號的瞬時信號帶寬都比較窄 ,這樣采用帶通采樣將使采樣速率大大降低 。本文重點是通過對帶通采樣定理進行嚴格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和論證 ,利用一系列不等式組提出了帶通采樣理論上能達到的最小采樣速率 。用matlab對定理進行仿真fs=100000; %抽樣頻率N=216;t=(0:N-1)/fs; %t 時間 W=(0:N-1)*fs/N; %W 頻率 y=cos(1200*2*pi*t)+cos(1250*2*pi*t)+cos(1300*2*pi*t);% y 原始信號 chyang=zeros(1,N); %抽樣信號T=round(fs/250); %頻率為250HZ for i=1:N if(mod(i,T)=0) chyang(i)=1; endendy2=y.*chyang; %y2為抽樣后的信號hw=fft(y,N); %快速傅里葉變換 HW=abs(hw); %取幅度值W=(0:N-1)*fs/N; %頻率值 figure(1);subplot(2,1,1);plot(t(1:8000),y(1:8000);grid on;title(濾波前信號y);xlabel(時間/s); % 原始信號subplot(2,1,2);plot(W(1:N/64),HW(1:N/64); % 查看信號頻譜grid on;title(濾波前信號頻譜圖);xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅|H(ejw)|);hwch=fft(chyang,N); HWCH=abs(hwch); %取幅度值W=(0:N-1)*fs/N; %頻率值 figure(2);subplot(2,1,1);stem(t(1:10000),chyang(1:10000);grid on;title(抽樣信號chyang);xlabel(時間/s);subplot(2,1,2);plot(W(1:N/64),HWCH(1:N/64);agrid on;title(抽樣信號頻譜圖);xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅|H(ejw)|);hw2=fft(y2,N); %快速傅里葉變換 HW2=abs(hw2); %取幅度值W=(0:N-1)*fs/N; %頻率值 figure(3);subplot(2,1,1);plot(t(1:8000),y2(1:8000);grid on;title(采樣之后);xlabel(時間/s); subplot(2,1,2);plot(W(1:N/64),HW2(1:N/64);%設(shè)置帶通濾波器ws=1130/fs*2,1370/fs*2; %ws1 ws2 阻帶截止頻率wp=1180/fs*2,1320/fs*2; %wp1 wp2 通帶截止頻率n,wn=buttord(wp,ws,3,15); %求濾波器階數(shù)n與截止頻率wnb,a=butter(n,wn); %求濾波器H(s)的表達式的分子分母系數(shù)b，ay3=filter(b,a,y2); %y2為y經(jīng)過濾波器之后的函數(shù)hw3=fft(y3,N); HW3=abs(hw3); figure(4); subplot(2,1,1);plot(t(1:8000),y3(1:8000);%axis(0,0.1,-0.02