浙江省2019年高考數(shù)學(xué)試題及答案.pdf

1 浙江省 2019 年高考數(shù)學(xué)試題及答案 滿分 150 分 考試時(shí)間120 分鐘 注意事項(xiàng) 1 答題前 考生務(wù)必將自己的姓名 準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫在答題卡和試卷指定位置上 并將條形碼 準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi) 2 回答選擇題時(shí) 選出每小題答案后 用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑 如需改動(dòng) 用橡皮擦干凈后 再選涂其他答案標(biāo)號(hào) 回答非選擇題時(shí) 將答案寫在答題卡上 寫在本試卷上無(wú) 效 3 考試結(jié)束后 將本試卷和答題卡一并交回 參考公式 若事件 A B 互斥 則 P ABP AP B 若事件 A B 相互獨(dú)立 則 P ABP A P B 若事件A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p 則 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A 恰好發(fā)生k 次的概率 C 1 0 1 2 kkn k nn P kppkn 臺(tái)體的體積公式 1122 1 3 VSS SS h 其中 12 S S 分別表示臺(tái)體的上 下底面積 h表 示臺(tái)體的高 柱體的體積公式VSh 其中S表示柱體的底面積 h表示柱體的高 錐體的體積公式 1 3 VSh 其中S表示錐體的底面積 h表示錐體的高 球的表面積公式 2 4SR 球的體積公式 34 3 VR 其中R表示球的半徑 選擇題部分 共40 分 一 選擇題 本大題共10 小題 每小題4 分 共 40 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)是 符合題目要求的 1 已知全集1 0 1 2 3U 集合0 1 2A 1 0 1B 則 UA Be A 1 B 0 1 C 1 2 3 D 1 0 1 3 2 漸近線方程為x y 0 的雙曲線的離心率是 A 2 2 B 1 C 2D 2 2 3 若實(shí)數(shù)x y 滿足約束條件 340 340 0 xy xy xy 則 z 3x 2y 的最大值是 A 1 B 1 C 10 D 12 4 祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家 他提出的 冪勢(shì)既同 則積不容異 稱為祖暅原理 利用 該原理可以得到柱體的體積公式V柱體 Sh 其中 S 是柱體的底面積 h 是柱體的高 若某柱體的 三視圖如圖所示 單位 cm 則該柱體的體積 單位 cm 3 是 A 158 B 162 C 182 D 324 5 若 a 0 b 0 則 a b 4 是 ab 4 的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件 6 在同一直角坐標(biāo)系中 函數(shù)y 1 x a y loga x 1 2 a 0 且 a 1 的圖象可能是 7 設(shè) 0 a 1 則隨機(jī)變量X 的分布列是 則當(dāng) a 在 0 1 內(nèi)增大時(shí) 3 A D X 增大B D X 減小 C D X 先增大后減小D D X 先減小后增大 8 設(shè)三棱錐V ABC 的底面是正三角形 側(cè)棱長(zhǎng)均相等 P 是棱 VA 上的點(diǎn) 不含端點(diǎn) 記直線 PB 與直線 AC 所成的角為 直線 PB 與平面 ABC 所成的角為 二面角 P AC B 的平面角為 則 A B C D 9 已知 a b R 函數(shù) 32 0 11 1 0 32 x x f x xaxax x 若函數(shù) yfxaxb恰有 3 個(gè) 零點(diǎn) 則 A a 1 b 0 B a0C a 1 b 1 b 0 10 設(shè) a b R 數(shù)列 an 滿足 a1 a an 1 an 2 b nN 則 A 當(dāng) b 1 2 時(shí) a10 10 B 當(dāng) b 1 4 時(shí) a10 10 C 當(dāng) b 2 時(shí) a10 10 D 當(dāng) b 4 時(shí) a10 10 非選擇題部分 共110 分 二 填空題 本大題共7 小題 多空題每題6 分 單空題每題4 分 共 36 分 11 復(fù)數(shù) 1 1i z i為虛數(shù)單位 則 z 12 已知圓C的圓心坐標(biāo)是 0 m 半徑長(zhǎng)是r 若直線230 xy與圓 C 相切于點(diǎn) 2 1 A 則m r 13 在 二 項(xiàng) 式 9 2 x的 展 開 式 中 常 數(shù) 項(xiàng) 是 系 數(shù) 為 有 理 數(shù) 的 項(xiàng) 的 個(gè) 數(shù) 是 14 在ABC 中 90ABC 4AB 3BC 點(diǎn)D在線段AC上 若45BDC 則 BD cosABD 15 已知橢圓 22 1 95 xy 的左焦點(diǎn)為F 點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方 若線段PF的中點(diǎn)在以原 點(diǎn)O為圓心 OF為半徑的圓上 則直線PF的斜率是 16 已知aR 函數(shù) 3 f xaxx 若存在tR 使得 2 2 3 f tf t 則實(shí)數(shù)a的最大 值是 4 17 已 知 正 方 形A B C D的 邊 長(zhǎng) 為1 當(dāng) 每 個(gè) 1 2 3 4 i i取 遍1時(shí) 123456 ABBCCDDAACBD的 最 小 值 是 最 大 值 是 三 解答題 本大題共5 小題 共74 分 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明 證明過(guò)程或演算步驟 18 本小題滿分14 分 設(shè)函數(shù) sin f xx xR 1 已知 0 2 函數(shù) fx 是偶函數(shù) 求的值 2 求函數(shù) 22 124 yf xf x的值域 19 本小題滿分15 分 如圖 已知三棱柱111 ABCA B C 平面11 A ACC 平面ABC 90ABC 11 30 BACA AACAC E F分別是 AC A1B1的中點(diǎn) 1 證明 EFBC 2 求直線EF 與平面 A1BC 所成角的余弦值 20 本小題滿分15 分 設(shè)等差數(shù)列 n a的前 n 項(xiàng)和為 n S 3 4a 43 aS 數(shù)列 n b滿足 對(duì) 每個(gè) 12 nnnnnn nSbSbSbN成等比數(shù)列 1 求數(shù)列 nn ab的通項(xiàng)公式 2 記 2 n n n a cn b N證明 12 2 n cccn nN 5 21 本小題滿分15 分 如圖 已知點(diǎn) 10 F 為拋物線 2 2 0 ypx p的焦點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)F 的直線交 拋物線于 A B 兩點(diǎn) 點(diǎn) C 在拋物線上 使得ABC 的重心 G 在 x 軸上 直線AC 交 x 軸于點(diǎn) Q 且 Q 在點(diǎn) F 的右側(cè) 記 AFGCQG 的面積分別為 12 S S 1 求 p 的值及拋物線的準(zhǔn)線方程 2 求 1 2 S S 的最小值及此時(shí)點(diǎn)G 的坐標(biāo) 22 本小題滿分15 分 已知實(shí)數(shù)0a 設(shè)函數(shù) ln1 0 f xaxxx 1 當(dāng) 3 4 a時(shí) 求函數(shù) f x的單調(diào)區(qū)間 2 對(duì)任意 2 1 e x均有 2 x fx a 求a的取值范圍 注 e 2 71828 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) 6 參考答案 一 選擇題 本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算 每小題4分 滿分 40分 1 A 2 C 3 C 4 B 5 A 6 D 7 D 8 B 9 C 10 A 二 填空題 本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算 多空題每題6分 單空題每題4分 共 36分 11 2 2 12 2 513 162 514 12 27 2 510 15 1516 4 3 17 0 2 5 三 解答題 本大題共5小題 共 74分 18 本題主要考查三角函數(shù)及其恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí) 同時(shí)考查運(yùn)算求解能力 滿分14分 1 因?yàn)?sin f xx是偶函數(shù) 所以 對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有sin sin xx 即sin coscos sinsin coscos sinxxxx 故2sincos0 x 所以cos0 又 0 2 因此 2 或 3 2 2 22 22 sinsin 124124 yfxfxxx 1cos 21 cos 2 13362 1cos2sin2 22222 xx xx 3 1cos 2 23 x 因此 函數(shù)的值域是 33 1 1 22 19 本題主要考查空間點(diǎn) 線 面位置關(guān)系 直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí) 同時(shí)考查空間想象 能力和運(yùn)算求解能力 滿分15分 方法一 1 連接A1E 因?yàn)锳1A A1C E是AC的中點(diǎn) 所以A1E AC 又平面A1ACC 1 平面ABC A1E平面A1ACC1 平面A1ACC1 平面ABC AC 7 所以 A1E 平面ABC 則A1E BC 又因?yàn)锳1F AB ABC 90 故BC A1F 所以BC 平面A1EF 因此EF BC 2 取BC中點(diǎn)G 連接EG GF 則EGFA1是平行四邊形 由于A1E 平面ABC 故A1E EG 所以平行四邊形EGFA 1為矩形 由 1 得BC 平面EGFA1 則平面A1BC 平面EGFA1 所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上 連接A1G交EF于O 則 EOG是直線EF與平面A1BC所成的角 或其補(bǔ)角 不妨設(shè)AC 4 則在 Rt A1EG中 A1E 23 EG 3 由于O為A1G的中點(diǎn) 故 1 15 22 AG EOOG 所以 222 3 cos 25 EOOGEG EOG EO OG 因此 直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是 3 5 方法二 1 連接A1E 因?yàn)锳1A A1C E是AC的中點(diǎn) 所以A1E AC 又平面A1ACC1 平面ABC A1E平面A1ACC1 平面A1ACC 1 平面ABC AC 所以 A1E 平面ABC 如圖 以點(diǎn)E為原點(diǎn) 分別以射線EC EA1為y z軸的正半軸 建立空間直角坐標(biāo)系E xyz 8 不妨設(shè)AC 4 則 A1 0 0 23 B 3 1 0 1 3 3 2 3 B 3 3 2 3 22 F C 0 2 0 因此 3 3 2 3 22 EF 3 1 0 BC 由 0EF BC 得EFBC 2 設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為 由 1 可得 1 3 1 0 0223 BCAC 設(shè)平面A1BC的法向量為n xy z 由 1 0 0 BC A C n n 得 30 30 xy yz 取n 13 1 故 4 sin cos 5 EF EF EF n n n 因此 直線EF與平面A1BC所成的角的余弦值為 3 5 20 本題主要考查等差數(shù)列 等比數(shù)列 數(shù)列求和 數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí) 同時(shí)考查運(yùn)算求解能 力和綜合應(yīng)用能力 滿分15分 1 設(shè)數(shù)列 n a的公差為d 由題意得 111 24 333adadad 解得 1 0 2ad 從而 22 n annN 所以 2 n SnnnN 9 由 12 nnnnnn SbSbSb成等比數(shù)列得 2 12nnnnnn SbSbSb 解得 2 12 1 nnnn bSS S d 所以 2 n bnn nN 2 221 22 1 1 n n n ann cn bn nn n N 我們用數(shù)學(xué)歸納法證明 i 當(dāng)n 1時(shí) c1 00 1 2 2 113 2221 3 432 3 4 24 Sm Smm m m m m 當(dāng)3m時(shí) 1 2 S S 取得最小值 3 1 2 此時(shí)G 2 0 22 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用 同時(shí)考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力 滿分 15分 1 當(dāng) 3 4 a時(shí) 3 ln1 0 4 f xxx x 31 12 2 11 42 141 xx f x xxxx 所以 函數(shù) f x的單調(diào)遞減區(qū)間為 0 3 單調(diào)遞增區(qū)間為 3 2 由 1 1 2 f a 得 2 0 4 a 當(dāng) 2 0 4 a時(shí) 2 x f x a 等價(jià)于 2 2 1 2ln0 xx x aa 令 1 t a 則2 2t 設(shè) 2 212ln 22g ttxtxx t 11 則 2 11 1 2ln x g tx tx xx i 當(dāng) 1 7 x 時(shí) 1 12 2 x 則 22 84 2 12lng tgxxx 記 1 422 1ln 7 p xxxx x 則 2212121 11 xxxx p x xxxxx 1 1 221 1 1 12 xxx x xxxx 故 x 1 7 1 1 7 1 1 p x0 p x 1 7 p單調(diào)遞減 極小值 1 p單調(diào)遞增 所以 1 0p xp 因此 22 2 0g tgp x i