2013年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）.doc

2013年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個備選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的1（5分）已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，2，B=2，3，則U（AB）=（）A1，3，4B3，4C3D42（5分）命題“對任意xR，都有x20”的否定為（）A存在x0R，使得x020B對任意xR，使得x20C存在x0R，都有D不存在xR，使得x203（5分）函數(shù)y=的定義域?yàn)椋ǎ〢（，2）B（2，+）C（2，3）（3，+）D（2，4）（4，+）4（5分）設(shè)P是圓（x3）2+（y+1）2=4上的動點(diǎn)，Q是直線x=3上的動點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（）A6B4C3D25（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的k值為（）A3B4C5D66（5分）如圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量（單位：臺）的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間22，30）內(nèi)的概率為（）A0.2B0.4C0.5D0.67（5分）關(guān)于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集為（x1，x2），且：x2x1=15，則a=（）ABCD8（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A180B200C220D2409（5分）已知函數(shù)f（x）=ax3+bsinx+4（a，bR），f（lg（log210）=5，則f（lg（lg2）=（）A5B1C3D410（5分）設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對相交于點(diǎn)O，所成的角為60的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分別是這對直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）ABCD二填空題：本大題共5小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上11（5分）已知復(fù)數(shù)z=1+2i（i是虛數(shù)單位），則|z|= 12（5分）若2、a、b、c、9成等差數(shù)列，則ca= 13（5分）若甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為 14（5分）OA為邊，OB為對角線的矩形中，則實(shí)數(shù)k= 15（5分）設(shè)0，不等式8x2（8sin）x+cos20對xR恒成立，則的取值范圍為 三解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16（13分）設(shè)數(shù)列an滿足：a1=1，an+1=3an，nN+（）求an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（）已知bn是等差數(shù)列，Tn為前n項(xiàng)和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T2017（13分）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi（單位：千元）與月儲蓄yi（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得，（）求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=bx+a；（）判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄附：線性回歸方程y=bx+a中，其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為18（13分）在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且a2=b2+c2+bc（）求A；（）設(shè)a=，S為ABC的面積，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此時B的值19（12分）如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，ACB=ACD=（）求證：BD平面PAC；（）若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，求三棱錐PBDF的體積20（12分）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000元（為圓周率）（）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；（）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大21（12分）如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，離心率，過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A、A兩點(diǎn)，|AA|=4（）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P，過P、P作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外求PPQ的面積S的最大值，并寫出對應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程2013年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個備選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的1（5分）已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，2，B=2，3，則U（AB）=（）A1，3，4B3，4C3D4【分析】根據(jù)A與B求出兩集合的并集，由全集U，找出不屬于并集的元素，即可求出所求的集合【解答】解：A=1，2，B=2，3，AB=1，2，3，全集U=1，2，3，4，U（AB）=4故選：D【點(diǎn)評】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵2（5分）命題“對任意xR，都有x20”的否定為（）A存在x0R，使得x020B對任意xR，使得x20C存在x0R，都有D不存在xR，使得x20【分析】根據(jù)全稱命題“xM，p（x）”的否定為特稱命題：“x0M，p（x）”即可得出【解答】解：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得：命題“對任意xR，都有x20”的否定為“x0R，使得”故選：A【點(diǎn)評】熟練掌握全稱命題“xM，p（x）”的否定為特稱命題“x0M，p（x）”是解題的關(guān)鍵3（5分）函數(shù)y=的定義域?yàn)椋ǎ〢（，2）B（2，+）C（2，3）（3，+）D（2，4）（4，+）【分析】根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，對數(shù)的真數(shù)大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可【解答】解：要使原函數(shù)有意義，則，解得：2x3，或x3所以原函數(shù)的定義域?yàn)椋?，3）（3，+）故選：C【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的定義域及其求法，求定義域常用的方法就是根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，屬于基礎(chǔ)題4（5分）設(shè)P是圓（x3）2+（y+1）2=4上的動點(diǎn)，Q是直線x=3上的動點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（）A6B4C3D2【分析】過圓心A作AQ直線x=3，與圓交于點(diǎn)P，此時|PQ|最小，由此能求出|PQ|的最小值【解答】解：過圓心A作AQ直線x=3，與圓交于點(diǎn)P，此時|PQ|最小，由圓的方程得到A（3，1），半徑r=2，則|PQ|=|AQ|r=62=4故選：B【點(diǎn)評】本題考查線段的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用5（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的k值為（）A3B4C5D6【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a，k的值，當(dāng)a=時滿足條件a，退出循環(huán)，輸出k的值為4【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不滿足條件a，a=，k=2不滿足條件a，a=，k=3不滿足條件a，a=，k=4滿足條件a，退出循環(huán)，輸出k的值為4故選：B【點(diǎn)評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，屬于基礎(chǔ)題6（5分）如圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量（單位：臺）的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間22，30）內(nèi)的概率為（）A0.2B0.4C0.5D0.6【分析】由莖葉圖10個原始數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)，數(shù)出落在區(qū)間22，30）內(nèi)的個數(shù)，由古典概型的概率公式可得答案【解答】解：由莖葉圖10個原始數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)落在區(qū)間22，30）內(nèi)的共有4個，包括2個22，1個27，1個29，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間22，30）內(nèi)的概率為=0.4故選：B【點(diǎn)評】本題考查古典概型及其概率公式，涉及莖葉圖的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題7（5分）關(guān)于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集為（x1，x2），且：x2x1=15，則a=（）ABCD【分析】利用不等式的解集以及韋達(dá)定理得到兩根關(guān)系式，然后與已知條件化簡求解a的值即可【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集為（x1，x2），所以x1+x2=2a，x1x2=8a2，又x2x1=15，24可得（x2x1）2=36a2，代入可得，152=36a2，解得a=，因?yàn)閍0，所以a=故選：A【點(diǎn)評】本題考查二次不等式的解法，韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計算能力8（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A180B200C220D240【分析】由三視圖可知：該幾何體是一個橫放的直四棱柱，高為10；其底面是一個等腰梯形，上下邊分別為2，8，高為4；據(jù)此可求出該幾何體的表面積【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是一個橫放的直四棱柱，高為10；其底面是一個等腰梯形，上下邊分別為2，8，高為4S表面積=2（2+8）4+2510+210+810=240故選：D【點(diǎn)評】本題考查由三視圖還原直觀圖，由三視圖求面積、體積，由三視圖正確恢復(fù)原幾何體是解決問題的關(guān)鍵9（5分）已知函數(shù)f（x）=ax3+bsinx+4（a，bR），f（lg（log210）=5，則f（lg（lg2）=（）A5B1C3D4【分析】由題設(shè)條件可得出lg（log210）與lg（lg2）互為相反數(shù)，再引入g（x）=ax3+bsinx，使得f（x）=g（x）+4，利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得到關(guān)于f（lg（lg2）的方程，解方程即可得出它的值【解答】解：lg（log210）+lg（lg2）=lg1=0，lg（log210）與lg（lg2）互為相反數(shù)則設(shè)lg（log210）=m，那么lg（lg2）=m令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+bsinx，此函數(shù)是一個奇函數(shù)，故g（m）=g（m），f（m）=g（m）+4=5，g（m）=1f（m）=g（m）+4=g（m）+4=3故選：C【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)奇偶性的運(yùn)用及求函數(shù)的值，解題的關(guān)鍵是觀察驗(yàn)證出lg（log210）與lg（lg2）互為相反數(shù)，審題時找準(zhǔn)處理?xiàng)l件的方向?qū)?zhǔn)確快速做題很重要10（5分）設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對相交于點(diǎn)O，所成的角為60的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分別是這對直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）ABCD【分析】不妨令雙曲線的方程為，由|A1B1|=|A2B2|及雙曲線的對稱性知A1，A2，B1，B2關(guān)于x軸對稱，由滿足條件的直線只有一對，得，由此能求出雙曲線的離心率的范圍【解答】解：不妨令雙曲線的方程為，由|A1B1|=|A2B2|及雙曲線的對稱性知A1，A2，B1，B2關(guān)于x軸對稱，如圖，又滿足條件的直線只有一對，當(dāng)直線與x軸夾角為30時，雙曲線的漸近線與x軸夾角大于30，雙曲線與直線才能有交點(diǎn)A1，A2，B1，B2，若雙曲線的漸近線與x軸夾角等于30，則無交點(diǎn)，則不可能存在|A1B1|=|A2B2|，當(dāng)直線與x軸夾角為60時，雙曲線漸近線與x軸夾角大于60，雙曲線與直線有一對交點(diǎn)A1，A2，B1，B2，若雙曲線的漸近線與x軸夾角等于60，也滿足題中有一對直線，但是如果大于60，則有兩對直線不符合題意，tan30，即，b2=c2a2，雙曲線的離心率的范圍是故選：A【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時要注意挖掘隱含條件二填空題：本大題共5小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上11（5分）已知復(fù)數(shù)z=1+2i（i是虛數(shù)單位），則|z|=【分析】直接利用復(fù)數(shù)的模的求法公式，求解即可【解答】解：復(fù)數(shù)z=1+2i（i是虛數(shù)單位），則|z|=故答案為：【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，考查計算能力12（5分）若2、a、b、c、9成等差數(shù)列，則ca=【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中項(xiàng)可得a，c的值，作差即可得答案【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故ca=故答案為：【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題13（5分）若甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為【分析】甲、乙兩人相鄰，可以把兩個元素看做一個元素同其他元素進(jìn)行排列，然后代入古典概率的求解公式即可求解【解答】解：記甲、乙兩人相鄰而站為事件A甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排的所有排法有=6，則甲、乙兩人相鄰而站，把甲和乙當(dāng)做一個整體，甲和乙的排列有種，然后把甲乙整體和丙進(jìn)行排列，有種，因此共有=4種站法=故答案為：【點(diǎn)評】本題考查排列組合及簡單的計數(shù)問題及古典概率的求解，本題解題的關(guān)鍵是把相鄰的問題作為一個元素同其他的元素進(jìn)行排列，本題是一個基礎(chǔ)題14（5分）OA為邊，OB為對角線的矩形中，則實(shí)數(shù)k=4【分析】由題意可得OAAB，故有 =0，即 =0，解方程求得k的值【解答】解：由于OA為邊，OB為對角線的矩形中，OAAB，=0，即 =（3，1）（2，k）10=6+k10=0，解得k=4，故答案為 4【點(diǎn)評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運(yùn)算，兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的加減法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題15（5分）設(shè)0，不等式8x2（8sin）x+cos20對xR恒成立，則的取值范圍為0，【分析】由題意可得，=64sin232cos20即2sin2（12sin2）0，解不等式結(jié)合0可求的取值范圍【解答】解：由題意可得，=64sin232cos20，得2sin2（12sin2）0sin2，sin，00，故答案為：0，【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次不等式的解法、二次函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題三解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16（13分）設(shè)數(shù)列an滿足：a1=1，an+1=3an，nN+（）求an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（）已知bn是等差數(shù)列，Tn為前n項(xiàng)和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20【分析】（）由題意可得數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，則其通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和可求；（）由b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，可得等差數(shù)列bn的公差，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求得T20【解答】解：（）由an+1=3an，得，又a1=1，數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，則，；（）b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，b3b1=10=2d，則d=5故【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題17（13分）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi（單位：千元）與月儲蓄yi（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得，（）求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=bx+a；（）判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄附：線性回歸方程y=bx+a中，其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為【分析】（）由題意可知n，進(jìn)而可得，代入可得b值，進(jìn)而可得a值，可得方程；（）由回歸方程x的系數(shù)b的正負(fù)可判；（）把x=7代入回歸方程求其函數(shù)值即可【解答】解：（）由題意可知n=10，=8，=2，故lxx=7201082=80，lxy=1841082=24，故可得b=0.3，a=20.38=0.4，故所求的回歸方程為：y=0.3x0.4；（）由（）可知b=0.30，即變量y隨x的增加而增加，故x與y之間是正相關(guān)；（）把x=7代入回歸方程可預(yù)測該家庭的月儲蓄為y=0.370.4=1.7（千元）【點(diǎn)評】本題考查線性回歸方程的求解及應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題18（13分）在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且a2=b2+c2+bc（）求A；（）設(shè)a=，S為ABC的面積，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此時B的值【分析】（）由余弦定理表示出cosA，將依照等式變形后代入求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；（）由（）求出sinA的值，由三角形的面積公式及正弦定理列出關(guān)系式，表示出S，代入已知等式中提取3變形后，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，由余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出S+3cosBcosC的最大值，以及此時B的值【解答】解：（）由余弦定理得：cosA=，A為三角形的內(nèi)角，A=；（）由（）得sinA=，由正弦定理得：b=，csinA=asinC及a=得：S=bcsinA=asinC=3sinBsinC，則S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（BC），則當(dāng)BC=0，即B=C=時，S+3cosBcosC取最大值3【點(diǎn)評】此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵19（12分）如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，ACB=ACD=（）求證：BD平面PAC；（）若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，求三棱錐PBDF的體積【分析】（）由等腰三角形的性質(zhì)可得BDAC，再由PA底面ABCD，可得PABD再利用直線和平面垂直的判定定理證明BD平面PAC（）由側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，可得三棱錐FBCD的高是三棱錐PBCD的高的求出BCD的面積SBCD，再根據(jù)三棱錐PBDF的體積 V=VPBCDVFBCD=，運(yùn)算求得結(jié)果【解答】解：（）BC=CD=2，BCD為等腰三角形，再由 ，BDAC再由PA底面ABCD，可得PABD而PAAC=A，故BD平面PAC（）側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，三棱錐FBCD的高是三棱錐PBCD的高的BCD的面積SBCD=BCCDsinBCD=三棱錐PBDF的體積 V=VPBCDVFBCD=【點(diǎn)評】本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，用間接解法求棱錐的體積，屬于中檔題20（12分）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000元（為圓周率）（）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；（）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大【分析】（I）由已知中側(cè)面積和底面積的單位建造成本，結(jié)合圓柱體的側(cè)面積及底面積公式，根據(jù)該蓄水池的總建造成本為12000元，構(gòu)造方程整理后，可將V表示成r的函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)實(shí)際中半徑與高為正數(shù)，得到函數(shù)的定義域；（）根據(jù)（I）中函數(shù)的定義值及解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，可確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性，可得函數(shù)的最大值點(diǎn)【解答】解：（）蓄水池的側(cè)面積的建造成本為200rh元，底面積成本為160r2元，蓄水池的總建造成本為200rh+160r2元即200rh+160r2=12000h=（3004r2）V（r）=r2h=r2（3004r2）=（300r4r3）又由r0，h0可得0r5故函數(shù)V（r）的定義域?yàn)椋?，5）（）由（）中V（r）=（300r4r3），（0r5）可得V（r）=（30012r2），（0r5）令V（r）=（30012r2）=0，則r=5當(dāng)r（0，5）時，V（r）0，函數(shù)V（r）為增函數(shù)當(dāng)r（5，5）時，V（r）0，函數(shù)