圓切線證明(與相似無關(guān)).doc

學(xué)大教育科技（北京）有限公司 XueDa Education Technology（Beijing）Ltd. 中考復(fù)習(xí)專題 -圓的切線的判定與性質(zhì) 2011年11月17日知識考點(diǎn)：1、掌握切線的判定及其性質(zhì)的綜合運(yùn)用，在涉及切線問題時(shí)，常連結(jié)過切點(diǎn)的半徑，切線的判定常用以下兩種方法：一是連半徑證垂直，二是作垂線證半徑。2、掌握切線長定理的靈活運(yùn)用，掌握三角形和多邊形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)心。精典例題：一、若直線l過O上某一點(diǎn)A，證明l是O的切線，只需連OA，證明OAl就行了，簡稱“連半徑，證垂直”，難點(diǎn)在于如何證明兩線垂直.例1 如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交BC于D，交AC于E，B為切點(diǎn)的切線交OD延長線于F.求證：EF與O相切. 例2 如圖，AD是BAC的平分線，P為BC延長線上一點(diǎn)，且PA=PD.求證：PA與O相切.例3 如圖，AB=AC，AB是O的直徑，O交BC于D，DMAC于M求證：DM與O相切.例4 如圖，已知：AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，且CAB=300，BD=OB，D在AB的延長線上.求證：DC是O的切線例5 如圖，AB是O的直徑，CDAB，且OA2=ODOP.求證：PC是O的切線.例6 如圖，ABCD是正方形，G是BC延長線上一點(diǎn)，AG交BD于E，交CD于F.求證：CE與CFG的外接圓相切.二、若直線l與O沒有已知的公共點(diǎn)，又要證明l是O的切線，只需作OAl，A為垂足，證明OA是O的半徑就行了，簡稱：“作垂直；證半徑”例7 如圖，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，D與AB切于E點(diǎn).求證：AC與D相切.例8 已知：如圖，AC，BD與O切于A、B，且ACBD，若COD=900.求證：CD是O的切線.習(xí)題練習(xí)例1如圖，AB是O的弦（非直徑），C、D是AB上兩點(diǎn)，并且OC=OD，求證：AC=BD例2已知：如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O與BC交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，求證：DEC為等腰三角形例3如圖，AB是O的直徑，弦AC與AB成30角，CD與O切于C，交AB的延長線于D，求證：AC=CD例4如圖20-12，BC為O的直徑，ADBC，垂足為D，BF和AD交于E，求證：AE=BE例5如圖，AB是O的直徑，以O(shè)A為直徑的O1與O2的弦相交于D，DEOC，垂足為E （1）求證：AD=DC（2）求證：DE是O1的切線例6如圖，已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)C，A=28 （1）求ACM的度數(shù)（2）在MN上是否存在一點(diǎn)D，使ABCD=ACBC，說明理由例7如圖，在RtABC中，C=90，AC=5，BC=12，O的半徑為3 （1）若圓心O與C重合時(shí)，O與AB有怎樣的位置關(guān)系？ （2）若點(diǎn)O沿CA移動，當(dāng)OC等于多少時(shí)，O與AB相切？19.如圖，RtABC內(nèi)接于O，AC=BC，BAC的平分線AD與0交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，延長BD，與AC的延長線交于點(diǎn)F，連結(jié)CD，G是CD的中點(diǎn)，連結(jié)0G(1)判斷0G與CD的位置關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明；(2)求證：AE=BF；（3）若，求O的面積。12、如圖，割線ABC與O相交于B、C兩點(diǎn)，D為O上一點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，OE交BC于F，DE交AC于G，ADGAGD。（1）求證：AD是O的切線；（2）如果AB2，AD4，EG2，求O的半徑。 13、如圖，在ABC中，ABC900，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D，AD2，AE1，求。1（2007中考）如圖，等腰三角形ABC中，ACBC10，AB12。以BC為直徑作O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，DFAC，垂足為F，交CB的延長線于點(diǎn)E。(1)求證：直線EF是O的切線；(2)求CF:CE的值。ABDCEFGO(第22題圖)2（2008中考）如圖，AB是O的直徑，AC是弦，BAC的平分線AD交O于點(diǎn)D，DEAC，交AC的延長線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F求證：DE是O的切線；若，求的值。FEDCBAO3（2009中考）如圖，中，以為直徑作交邊于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接CEBAOFD（1）求證：直線是的切線；（2）連接交于點(diǎn)，若，求的值4如圖，點(diǎn)O在APB的平分線上，O與PA相切于點(diǎn)C (1) 求證：直線PB與O相切； (2) PO的延長線與O交于點(diǎn)E若O的半徑為3，PC=4求弦CE的長已知：如圖，在中，點(diǎn)在上，以為圓心，長為半徑的圓與分別交于點(diǎn)，且DCOABE（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若，求的長解：（1）（2）27（本題滿分10分）如圖18，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，垂足為，平分（1）求證：是的切線；DECBOA圖18（2）若，求的長（第24題）BDCEAO如圖所示，是直角三角形，以為直徑的交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連結(jié)（1）求證：與相切；（2）若的半徑為，求24、（本題滿分10分）如圖，AB是O的直徑，BAC=30，M是OA上一點(diǎn)，過M作AB的垂線交AC于點(diǎn)N，交BC的延長線于點(diǎn)E，直線CF交EN于點(diǎn)F，且ECF=E.（1）證明CF是O的切線；（2）設(shè)O的半徑為1，且AC=CE，求MO的長.【例1】如圖，AC為O的直徑，B是O外一點(diǎn)，AB交O于E點(diǎn)，過E點(diǎn)作O的切線，交BC于D點(diǎn)，DEDC，作EFAC于F點(diǎn)，交AD于M點(diǎn)。（1）求證：BC是O的切線；（2）EMFM。證明： 【例2】如圖，ABC中，ABAC，O是BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓與AB相切于點(diǎn)D。求證：AC是O的切線?！纠?】如圖，已知AB是O的直徑，BC為O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD，OA。（1）求證：CD是O的切線；（2）求的值；（3）若ADOC，求CD的長。探索與創(chuàng)新：【問題一】如圖，以正方形ABCD的邊AB為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O，CG切半圓于E，交AD于F，交BA的延長線于G，GA8。（1）求G的余弦值；（2）求AE的長?！締栴}二】如圖，已知ABC中，ACBC，CAB（定值），O的圓心O在AB上，并分別與AC、BC相切于點(diǎn)P、Q。（1）求POQ；（2）設(shè)D是CA延長線上的一個動點(diǎn)，DE與O相切于點(diǎn)M，點(diǎn)E在CB的延長線上，試判斷DOE的大小是否保持不變，并說明理由。圓的切線證明及線段長求解在在中考中的常見題型1、已知：如圖，在矩形中，點(diǎn)在對角線上，以的長為半徑的與，分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，且=（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若，求的半徑2、已知：如圖，O的半徑OC垂直弦AB于點(diǎn)H，連接BC，過點(diǎn)A作弦AEBC，過點(diǎn)C作CDBA交EA延長線于點(diǎn)D，延長CO交AE于點(diǎn)F （1）求證：CD為O的切線； （2）若BC5，AB8，求OF的長ABFCDEO第3題圖3、如圖，是等腰三角形，以為直徑的與交于點(diǎn)，垂足為，的延長線與的延長線交于點(diǎn)（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為，求的值4、已知：如圖，是的直徑，切于，交于，為邊的中點(diǎn)，連結(jié)(1) 是的切線；(2) 若， 的半徑為5， 求的長. OBGECMAF5、如圖，在中，是角平分線，平分交于點(diǎn)，經(jīng)過兩點(diǎn)的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，恰為的直徑（1）求證：與相切；（2）當(dāng)時(shí)，求的半徑6、如圖，AB是的直徑，M是OA上一點(diǎn)，過M作AB的垂線交AC于點(diǎn)N,交BC的延長線于點(diǎn)E,直線CF交EN于點(diǎn)F,且（1）證明CF是的切線(2) 設(shè)O的半徑為1且AC=CE,求MO的長.7、如圖，已知AB為O的直徑,DC切O于點(diǎn)C,過D點(diǎn)作 DEAB,垂足為E,DE交AC于點(diǎn)F. 求證：DFC是等腰三角形. 8、在Rt中，F(xiàn)=90，點(diǎn)B、C分別在AD、FD上，以AB為直徑的半圓O 過點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AC，將AFC 沿AC翻折得，且點(diǎn)E恰好落在直徑AB上.（1）判斷：直線FC與半圓O的位置關(guān)系是_；并證明你的結(jié)論.（2）若OB=BD=2,求CE的長9、已知：如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，（9題圖） 聯(lián)結(jié)EB交OD于點(diǎn)F（1）求證：ODBE；（2）若DE=，AB=5，求AE的長10、如圖所示，AB是O的直徑，OD弦BC于點(diǎn)F，且交O于點(diǎn)E，若AEC=ODB（1）判斷直線BD和O的位置關(guān)系，并給出證明；（2） 當(dāng)AB=10，BC=8時(shí)，求BD的長11、已知：AB是O的弦，ODAB于M交O于點(diǎn)D，CBAB交AD的延長線于C（1）求證：ADDC；（2）過D作O的切線交BC于E，若DE2，CE=1，求O的半徑12、如圖，為的直徑，平分交于點(diǎn)，的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為5，求的長13、如圖，等腰三角形ABC中，ACBC6，AB8以BC為直徑作O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，DFAC，垂足為F，交CB的延長線于點(diǎn)E（1）求證：直線EF是O的切線；（2）求sinE的值14、如圖，為半圓的直徑，點(diǎn)C在半圓上，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，交過點(diǎn)的直線于點(diǎn)，且.（1）求證：是半圓O的切線；（2）若，求的長.15、已知：如圖，在ABC中，AB=BC，D是AC中點(diǎn)，BE平分ABD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，O過B、E兩點(diǎn), 交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F（1）求證：AC與O相切；（2）當(dāng)BD=2，sinC=時(shí)，求O的半徑16、如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，M是 的中點(diǎn)，OM交O的切線BP于點(diǎn)P（1）判斷直線PC和O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）若sinBAC0.8，O的半徑為2， 求線段PC的長17、如圖，在O中，AB是直徑，AD是弦，ADE = 60，C = 30（1）判斷直線CD是否為O的切線，并說明理由；OBCDEA （2）若CD = ，求BC的長18、已知，如圖，直線MN交O于A,B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分CAM交O于D，過D作DEMN于E（1）求證：DE是O的切線；（2）若cm，cm，求O的半徑.19、已知：如圖，為的直徑，弦,切于,聯(lián)結(jié)（1）判斷是否為的切線，若是請證明；若不是請說明理由（2）若,求的半徑20、如圖，O的直徑AB=4，C、D為圓周上兩點(diǎn)，且四邊形OBCD是菱形，過點(diǎn)D的直線EFAC，交BA、BC的延長線于點(diǎn)E、F（1）求證：EF是O的切線；（2）求DE的長21、已知：在O中，AB是直徑，AC是弦，OEAC于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作直線FC，使FCAAOE，交AB的延長線于點(diǎn)D.（1）求證：FD是O的切線；（2）設(shè)OC與BE相交于點(diǎn)G，若OG2，求O半徑的長；（3）在（2）的條件下，當(dāng)OE3時(shí)，求圖中陰影部分的面積.22、已知：如圖，點(diǎn)是上一點(diǎn)，半徑的延長線與過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，（1）求證：是的切線；（2）若，求弦的長23、如圖，點(diǎn)D是O直徑CA的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)B在O上，且ABADAO（1）求證：BD是O的切線；（2）若點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn)，弦AE與BC相交于點(diǎn)F，且CF9，cosBFA，求EF的長24、如圖，已知AB為O的弦，C為O上一點(diǎn)，C=BAD，且BDAB于B. （1）求證：AD是O的切線；（2）若O的半徑為3，AB=4，求AD的長.25、已知：如圖，AB是O的直徑，E是AB延長線上的一點(diǎn)，D是O上的一點(diǎn)，且AD平分FAE，EDAF交AF的延長線于點(diǎn)C（1）判斷直線CE與O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若AFFC=53，AE=16，求O的直徑AB的長26、已知：如圖，在ABC中，AB = AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)以BD為直徑作圓O，交邊AB于點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)PC，交AD于點(diǎn)E（1）求證：AD是圓O的切線；ABCDPEO（第26題）（2）若PC是圓O的切線，BC = 8，求DE的長27、已知：如圖，在ABC中，ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，DEDB交AB于點(diǎn)E，過B、D、E三點(diǎn)作O（1）求證:AC是O的切線；（2）設(shè)O交BC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，若BC=9， CA=12. 求的值.28、在RtABC中，C=90， BC=9， CA=12，ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D， DEDB交AB于點(diǎn)E，O是BDE的外接圓，交BC于點(diǎn)F（1）求證:AC是O的切線; （2）聯(lián)結(jié)EF，求的值14、如圖，AB是半圓（圓心為O）的直徑，OD是半徑，BM切半圓于B，OC與弦AD平行且交BM于C。（1）求證：CD是半圓的切線；（第28題）（2）若AB長為4，點(diǎn)D在半圓上運(yùn)動，設(shè)AD長為，點(diǎn)A到直線CD的距離為，試求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍。 15、如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C在O的半徑AO上運(yùn)動，PCAB交O于E，PT切O于T，PC2.5。（1）當(dāng)CE正好是O的半徑時(shí)，PT2，求O的半徑；（2）設(shè)，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）PTC能不能變?yōu)橐訮C為斜邊的等腰直角三角形？若能，請求出PTC的面積；若不能，請說明理由。（11年）(10年)（09年）（08年）11模擬（東城一模）20. 已知：AB是O的弦，ODAB于M交O于點(diǎn)D，CBAB交AD的延長線于C（1）求證：ADDC；（2）過D作O的切線交BC于E，若DE2，CE=1，求O的半徑（西城一模）（海淀一模）（朝陽一模）（豐臺一模）20在Rt中，F(xiàn)=90，點(diǎn)B、C分別在AD、FD上，以AB為直徑的半圓O 過點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AC，將AFC 沿AC翻折得，且點(diǎn)E恰好落在直徑AB上.（1）判斷：直線FC與半圓O的位置關(guān)系是_；并證明你的結(jié)論.（2）若OB=BD=2,求CE的長（昌平一模）20如圖所示，AB是O的直徑，OD弦BC于點(diǎn)F，且交O于點(diǎn)E，若AEC=ODB（1）判斷直線BD和O的位置關(guān)系，并給出證明；（2）當(dāng)AB=10，BC=8時(shí)，求BD的長（房山）（20題圖） 20（本小題滿分5分）已知：如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，聯(lián)結(jié)EB交OD于點(diǎn)F（1）求證：ODBE；（2）若DE=，AB=5，求AE的長（密云）20. 如圖，AB是的直徑，M是OA上一點(diǎn)，過M作AB的垂線交AC于點(diǎn)N,交BC的延長線于點(diǎn)E,直線CF交EN于點(diǎn)F,且（1）證明CF是的切線(2) 設(shè)O的半徑為1且AC=CE,求MO的長. （11年）(10年)（09年）（08年）11模擬（東城一模）20. 已知：AB是O的弦，ODAB于M交O于點(diǎn)D，CBAB交AD的延長線于C（1）求證：ADDC；（2）過D作O的切線交BC于E，若DE2，CE=1，求O的半徑（西城一模）（海淀一模）（朝陽一模）（豐臺一模）20在Rt中，F(xiàn)=90，點(diǎn)B、C分別在AD、FD上，以AB為直徑的半圓O 過點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AC，將AFC 沿AC翻折得，且點(diǎn)E恰好落在直徑AB上.（1）判斷：直線FC與半圓O的位置關(guān)系是_；并證明你的結(jié)論.（2）若OB=BD=2,求CE的長（昌平一模）20如圖所示，AB是O的直徑，OD弦BC于點(diǎn)F，且交O于點(diǎn)E，若AEC=ODB（1）判斷直線BD和O的位置關(guān)系，并給出證明；（2）當(dāng)AB=10，BC=8時(shí)，求BD的長（房山）（20題圖） 20（本小題滿分5分）已知：如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，聯(lián)結(jié)EB交OD于點(diǎn)F（1）求證：ODBE；（2）若DE=，AB=5，求AE的長（密云）20. 如圖，AB是的直徑，M是OA上一點(diǎn)，過M作AB的垂線交AC于點(diǎn)N,交BC的延長線于點(diǎn)E,直線CF交EN于點(diǎn)F,且（1）證明CF是的切線(2) 設(shè)O的半徑為1且AC=CE,求MO的長. 1.如圖，AB為O的直徑，AD平分BAC交O于點(diǎn)D，DEAC交AC的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)B是O的切線交AD的延長線于點(diǎn)F。 （1）求證：DE是O的切線； （2）若DE=3，O的半徑為5，求BF的長。2（20