同濟(jì)大學(xué)版高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案第2章.doc

.習(xí)題2-1 1. 設(shè)物體繞定軸旋轉(zhuǎn), 在時(shí)間間隔0, t內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為q, 從而轉(zhuǎn)角q是t的函數(shù): q=q(t). 如果旋轉(zhuǎn)是勻速的, 那么稱為該物體旋轉(zhuǎn)的角速度, 如果旋轉(zhuǎn)是非勻速的, 應(yīng)怎樣確定該物體在時(shí)刻t0的角速度？ 解 在時(shí)間間隔t0, t0+Dt內(nèi)的平均角速度為 , 故t0時(shí)刻的角速度為 . 2. 當(dāng)物體的溫度高于周圍介質(zhì)的溫度時(shí), 物體就不斷冷卻, 若物體的溫度T與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為T=T(t), 應(yīng)怎樣確定該物體在時(shí)刻t的冷卻速度？ 解 物體在時(shí)間間隔t0, t0+Dt內(nèi), 溫度的改變量為 DT=T(t+Dt)-T(t), 平均冷卻速度為 , 故物體在時(shí)刻t的冷卻速度為 . 3. 設(shè)某工廠生產(chǎn)x單位產(chǎn)品所花費(fèi)的成本是f(x)元, 此函數(shù)f(x)稱為成本函數(shù), 成本函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為邊際成本. 試說(shuō)明邊際成本f(x)的實(shí)際意義. 解 f(x+Dx)-f(x)表示當(dāng)產(chǎn)量由x改變到x+Dx時(shí)成本的改變量. 表示當(dāng)產(chǎn)量由x改變到x+Dx時(shí)單位產(chǎn)量的成本. 表示當(dāng)產(chǎn)量為x時(shí)單位產(chǎn)量的成本. 4. 設(shè)f(x)=10x2, 試按定義, 求f (-1). 解 . 5. 證明(cos x)=-sin x. 解 . 6. 下列各題中均假定f (x0)存在, 按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限, 指出A表示什么: (1); 解 . (2), 其中f(0)=0, 且f (0)存在; 解 . (3). 解 =f (x0)-f (x0)=2f (x0). 7. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=x4; (2); (3)y=x1. 6; (4); (5); (6); (7); 解 (1)y=(x4)=4x4-1=4x3 . (2). (3)y=(x1. 6)=1.6x1. 6-1=1.6x 0. 6. (4). (5). (6). (7). 8. 已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t3(m). 求這物體在t=2秒(s)時(shí)的速度. 解v=(s)=3t2, v|t=2=12(米/秒). 9. 如果f(x)為偶函數(shù), 且f(0)存在, 證明f(0)=0. 證明 當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí), f(-x)=f(x), 所以 , 從而有2f (0)=0, 即f (0)=0. 10. 求曲線y=sin x在具有下列橫坐標(biāo)的各點(diǎn)處切線的斜率: , x=p. 解 因?yàn)閥=cos x, 所以斜率分別為 , . 11. 求曲線y=cos x上點(diǎn)處的切線方程和法線方程式. 解y=-sin x, , 故在點(diǎn)處, 切線方程為, 法線方程為. 12. 求曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線方程. 解y=ex, y|x=0=1, 故在(0, 1)處的切線方程為 y-1=1(x-0), 即y=x+1. 13. 在拋物線y=x2上取橫坐標(biāo)為x1=1及x2=3的兩點(diǎn), 作過(guò)這兩點(diǎn)的割線, 問(wèn)該拋物線上哪一點(diǎn)的切線平行于這條割線？ 解 y=2x, 割線斜率為. 令2x=4, 得x=2. 因此拋物線y=x2上點(diǎn)(2, 4)處的切線平行于這條割線. 14. 討論下列函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性: (1)y=|sin x|; (2) . 解 (1)因?yàn)?y(0)=0, , , 所以函數(shù)在x=0處連續(xù). 又因?yàn)?, , 而y-(0)y+(0), 所以函數(shù)在x=0處不可導(dǎo). 解 因?yàn)? 又y(0)=0, 所以函數(shù)在x=0處連續(xù). 又因?yàn)?, 所以函數(shù)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo), 且y(0)=0. 15. 設(shè)函數(shù)為了使函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)且可導(dǎo), a, b應(yīng)取什么值？ 解 因?yàn)?, , f(1)=a+b, 所以要使函數(shù)在x=1處連續(xù), 必須a+b=1 . 又因?yàn)楫?dāng)a+b=1時(shí) , , 所以要使函數(shù)在x=1處可導(dǎo), 必須a=2, 此時(shí)b=-1. 16. 已知求f+(0)及f-(0), 又f (0)是否存在？ 解 因?yàn)?f-(0)=, f+(0)=, 而f-(0)f+(0), 所以f (0)不存在. 17. 已知f(x)=, 求f (x) . 解 當(dāng)x0時(shí), f(x)=x, f (x)=1; 因?yàn)?f-(0)=, f+(0)=, 所以f (0)=1, 從而 f (x)=. 18. 證明: 雙曲線xy=a2上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于2a2 . 解 由xy=a2得, . 設(shè)(x0, y0)為曲線上任一點(diǎn), 則過(guò)該點(diǎn)的切線方程為 . 令y=0, 并注意x0y0=a2, 解得, 為切線在x軸上的距. 令x=0, 并注意x0y0=a2, 解得, 為切線在y軸上的距. 此切線與二坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積為 . 習(xí)題 2-2 1. 推導(dǎo)余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: (cot x)=-csc2x ; (csc x)=-csc xcot x . 解 . . 2. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1); (2) y=5x3-2x+3ex ; (3) y=2tan x+sec x-1; (4) y=sin xcos x ; (5) y=x2ln x ; (6) y=3excos x ; (7); (8); (9) y=x2ln x cos x ; (10); 解 (1) . (2) y=(5x3-2x+3ex)=15x2-2x ln2+3ex. (3) y=(2tan x +sec x-1)=2sec2x+sec xtan x=sec x(2sec x+tan x). (4) y=(sin xcos x)=(sin x)cos x+sin x(cos x) =cos xcos x+sin x(-sin x)=cos 2x. (5) y=(x2ln x)=2xln x+x2=x(2ln x+1) . (6) y=(3excos x)=3excos x+3ex(-sin x)=3ex(cos x-sin x). (7). (8). (9) y=(x2ln x cos x)=2xln x cos x+x2cos x+x2 ln x(-sin x) 2x ln x cos x+x cos x-x2 ln x sin x . (10). 3. 求下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù): (1) y=sin x-cos x , 求和. (2),求. (3), 求f (0)和f (2) . 解 (1)y=cos x+sin x, , . (2), . (3), , . 4. 以初速v0豎直上拋的物體, 其上升高度s與時(shí)間t的關(guān)系是. 求: (1)該物體的速度v(t); (2)該物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻. 解 (1)v(t)=s(t)=v0-gt. (2)令v(t)=0, 即v0-gt=0, 得, 這就是物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻. 5. 求曲線y=2sin x+x2上橫坐標(biāo)為x=0的點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 解 因?yàn)閥=2cos x+2x, y|x=0=2, 又當(dāng)x=0時(shí), y=0, 所以所求的切線方程為 y=2x, 所求的法線方程為 , 即x+2y=0. 6. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1) y=(2x+5)4 (2) y=cos(4-3x); (3); (4) y=ln(1+x2); (5) y=sin2x ; (6); (7) y=tan(x2); (8) y=arctan(ex); (9) y=(arcsin x)2; (10) y=lncos x. 解 (1) y=4(2x+5)4-1(2x+5)=4(2x+5)32=8(2x+5)3. (2) y=-sin(4-3x)(4-3x)=-sin(4-3x)(-3)=3sin(4-3x). (3). (4). (5) y=2sin x(sin x)=2sin xcos x=sin 2x . (6) . (7) y=sec2(x2)(x2)=2xsec2(x2). (8). (9) y. (10). 7. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1) y=arcsin(1-2x); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9) y=ln(sec x+tan x); (10) y=ln(csc x-cot x). 解 (1). (2) . (3) . (4). (5). (6). (7). (8) . (9) . (10) . 8. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1); (2); (3); (4); (5)y=sinnxcos nx ; (6); (7); (8) y=lnln(ln x) ; (9); (10). 解 (1) . (2) . (3) . (4) . (5) y=n sinn-1x(sin x)cos nx+sinnx(-sin nx)(nx) =n sinn-1xcos x cos nx+sinnx(-sin nx)n =n sinn-1x(cos xcos nx-sin xsin nx)= n sinn-1xcos(n+1)x . (6). (7) . (8) . (9) . (10) . 9. 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)可導(dǎo), 且f2(x)+g2(x)0, 試求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 . 10. 設(shè)f(x)可導(dǎo), 求下列函數(shù)y的導(dǎo)數(shù): (1) y=f(x2); (2) y=f(sin2x)+f(cos2x). 解 (1) y=f (x2)(x2)= f (x2)2x=2xf (x2). (2) y=f (sin2x)(sin2x)+f (cos2x)(cos2x) = f (sin2x)2sin xcos x+f (cos2x)2cosx(-sin x) =sin 2xf (sin2x)- f (cos2x). 11. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1) y=ch(sh x ); (2) y=sh xech x; (3) y=th(ln x); (4) y=sh3x +ch2x ; (5) y=th(1-x2); (6) y=arch(x2+1); (7) y=arch(e2x); (8) y=arctan(th x); (9); (10) 解 (1) y=sh(sh x)(sh x)=sh(sh x)ch x . (2) y=ch xech x+sh xech xsh x=ech x(ch x+sh2x) . (3). (4) y=3sh2xch x+2ch xsh x =sh xch x(3sh x+2) . (5). (6). (7). (8) . (9) . (10) . 12. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1) y=e-x(x2-2x+3); (2) y=sin2xsin(x2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9) ; (10). 解 (1) y=-e-x(x2-2x+3)+e-x(2x-2) =e-x(-x2+4x-5). (2) y=2sin xcos xsin(x2)+sin2xcos(x2)2x =sin2xsin(x2)+2xsin2xcos(x2). (3). (4). (5). (6). (7) . (8) . (9). (10) .習(xí)題 2-3 1. 求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù): (1) y=2x2+ln x; (2) y=e2x-1; (3) y=xcos x; (4) y=e-t sin t; (5); (6) y=ln(1-x2) (7) y=tan x; (8); (9) y=(1+x2)arctan x ; (10); (11); (12). 解 (1), . (2) y=e2x-1 2=2e2x-1, y=2e2x-1 2=4e2x-1. (3) y=xcos x ; y=cos x-xsin x, y=-sin x-sin x-xcos x=-2sin x-xcos x . (4) y=-e-tsin t+e-tcos t=e-t(cos t-sin t) y=-e-t(cos t-sin t)+e-t(-sin t-cos t)=-2e-tcos t . (5), . (6) , . (7) y=sec2 x, y=2sec x(sec x)=2sec xsec xtan x=2sec2xtan x . (8), . (9), . (10), . (11), . (12), . 2. 設(shè)f(x)=(x+10)6, f (2)=? 解f (x)=6(x+10)5, f (x)=30(x+10)4, f (x)=120(x+10)3, f (2)=120(2+10)3=207360. 3. 若f (x)存在, 求下列函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù): (1) y=f(x2); (2) y=lnf(x) . 解 (1)y= f (x2)(x2)=2xf (x2), y=2f (x2)+2x2xf (x2)=2f (x2)+4x2f (x2). (2), . 4. 試從導(dǎo)出: (1); (2). 解 (1). (2) . 5. 已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=Asinwt(A、w是常數(shù)), 求物體運(yùn)動(dòng)的加速度, 并驗(yàn)證: . 解 , . 就是物體運(yùn)動(dòng)的加速度. . 6. 驗(yàn)證函數(shù)y=C1elx+C2e-lx(l,C1, C2是常數(shù))滿足關(guān)系式: y-l2y=0 . 解 y=C1lelx-C2le-lx, y=C1l2elx+C2l2e-lx. y-l2y=(C1l2elx+C2l2e-lx)-l2(C1elx+C2e-lx) =(C1l2elx+C2l2e-lx)-(C1l2elx+C2l2e-lx)=0 . 7. 驗(yàn)證函數(shù)y=exsin x滿足關(guān)系式: y-2y+2y=0 . 解 y=exsin x+excos x=ex(sin x+cos x), y=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x . y-2y+2y=2excos x-2ex(sin x+cos x)+2exsin x =2excos x-2exsin x-2excos x+2exsin x=0 . 8. 求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式: (1) y=xn+a1xn-1+a2xn-2+ +an-1x+an (a1, a2, , an都是常數(shù)); (2) y=sin2x ; (3) y=xln x ; (4) y=xex . 解 (1) y=nxn-1+(n-1)a1xn-2+(n-2)a2xn-3+ +an-1, y=n(n-1)xn-2+(n-1)(n-2)a1xn-3+(n-2)(n-3)a2xn-4+ +an-2, , y(n)=n(n-1)(n-2) 21x0=n! . (2) y=2sin x cos x=sin2x , , , , , . (3) , , y=(-1)x-2, y(4)=(-1)(-2)x-3, , y(n)=(-1)(-2)(-3) (-n+2)x-n+1. (4) y=ex+xex , y=ex+ex+xex=2ex+xex , y=2ex+ex+xex=3ex+xex , , y(n)=nex+xex=ex(n+x) . 9. 求下列函數(shù)所指定的階的導(dǎo)數(shù): (1) y=excos x, 求y(4) ; (2) y=xsh x, 求y(100) ; (3) y=x2sin 2x, 求y(50) . 解 (1)令u=ex, v=cos x , 有 u=u=u=u(4)=ex; v=-sin x , v=-cos x , v=sin x, v(4)=cos x , 所以 y(4)=u(4)v+4uv+6uv+4uv+uv(4) =excos x+4(-sin x)+6(-cos x)+4sin x+cos x=-4excos x . (2)令u=x, v=sh x, 則有 u=1, u=0; v=ch x, v=sh x, , v(99)=ch x , v(100)=sh x, 所以 =100ch x+xsh x . (3)令u=x2 , v=sin 2x, 則有 u=2x, u=2, u=0; , v(49)=249cos 2x, v(50)=-250sin 2x , 所以 . 習(xí)題 2-3 1. 求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù): (1) y=2x2+ln x; (2) y=e2x-1; (3) y=xcos x; (4) y=e-t sin t; (5); (6) y=ln(1-x2) (7) y=tan x; (8); (9) y=(1+x2)arctan x ; (10); (11); (12). 解 (1), . (2) y=e2x-1 2=2e2x-1, y=2e2x-1 2=4e2x-1. (3) y=xcos x ; y=cos x-xsin x, y=-sin x-sin x-xcos x=-2sin x-xcos x . (4) y=-e-tsin t+e-tcos t=e-t(cos t-sin t) y=-e-t(cos t-sin t)+e-t(-sin t-cos t)=-2e-tcos t . (5), . (6) , . (7) y=sec2 x, y=2sec x(sec x)=2sec xsec xtan x=2sec2xtan x . (8), . (9), . (10), . (11), . (12), . 2. 設(shè)f(x)=(x+10)6, f (2)=? 解f (x)=6(x+10)5, f (x)=30(x+10)4, f (x)=120(x+10)3, f (2)=120(2+10)3=207360. 3. 若f (x)存在, 求下列函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù): (1) y=f(x2); (2) y=lnf(x) . 解 (1)y= f (x2)(x2)=2xf (x2), y=2f (x2)+2x2xf (x2)=2f (x2)+4x2f (x2). (2), . 4. 試從導(dǎo)出: (1); (2). 解 (1). (2) . 5. 已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=Asinwt(A、w是常數(shù)), 求物體運(yùn)動(dòng)的加速度, 并驗(yàn)證: . 解 , . 就是物體運(yùn)動(dòng)的加速度. . 6. 驗(yàn)證函數(shù)y=C1elx+C2e-lx(l,C1, C2是常數(shù))滿足關(guān)系式: y-l2y=0 . 解 y=C1lelx-C2le-lx, y=C1l2elx+C2l2e-lx. y-l2y=(C1l2elx+C2l2e-lx)-l2(C1elx+C2e-lx) =(C1l2elx+C2l2e-lx)-(C1l2elx+C2l2e-lx)=0 . 7. 驗(yàn)證函數(shù)y=exsin x滿足關(guān)系式: y-2y+2y=0 . 解 y=exsin x+excos x=ex(sin x+cos x), y=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x . y-2y+2y=2excos x-2ex(sin x+cos x)+2exsin x =2excos x-2exsin x-2excos x+2exsin x=0 . 8. 求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式: (1) y=xn+a1xn-1+a2xn-2+ +an-1x+an (a1, a2, , an都是常數(shù)); (2) y=sin2x ; (3) y=xln x ; (4) y=xex . 解 (1) y=nxn-1+(n-1)a1xn-2+(n-2)a2xn-3+ +an-1, y=n(n-1)xn-2+(n-1)(n-2)a1xn-3+(n-2)(n-3)a2xn-4+ +an-2, , y(n)=n(n-1)(n-2) 21x0=n! . (2) y=2sin x cos x=sin2x , , , , , . (3) , , y=(-1)x-2, y(4)=(-1)(-2)x-3, , y(n)=(-1)(-2)(-3) (-n+2)x-n+1. (4) y=ex+xex , y=ex+ex+xex=2ex+xex , y=2ex+ex+xex=3ex+xex , , y(n)=nex+xex=ex(n+x) . 9. 求下列函數(shù)所指定的階的導(dǎo)數(shù): (1) y=excos x, 求y(4) ; (2) y=xsh x, 求y(100) ; (3) y=x2sin 2x, 求y(50) . 解 (1)令u=ex, v=cos x , 有 u=u=u=u(4)=ex; v=-sin x , v=-cos x , v=sin x, v(4)=cos x , 所以 y(4)=u(4)v+4uv+6uv+4uv+uv(4) =excos x+4(-sin x)+6(-cos x)+4sin x+cos x=-4excos x . (2)令u=x, v=sh x, 則有 u=1, u=0; v=ch x, v=sh x, , v(99)=ch x , v(100)=sh x, 所以 =100ch x+xsh x . (3)令u=x2 , v=sin 2x, 則有 u=2x, u=2, u=0; , v(49)=249cos 2x, v(50)=-250sin 2x , 所以 . 習(xí)題2-4 1. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù): (1) y2-2x y+9=0; (2) x3+y3-3axy=0; (3) xy=ex+y ; (4) y=1-xey. 解 (1)方程兩邊求導(dǎo)數(shù)得 2y y-2y-2x y =0 , 于是 (y-x)y=y, . (2)方程兩邊求導(dǎo)數(shù)得 3x2+3y2y-2ay-3axy=0, 于是 (y2-ax)y=ay-x2 , . (3)方程兩邊求導(dǎo)數(shù)得 y +xy=e x+y(1+y), 于是 (x-ex+y)y=ex+y-y, . (4)方程兩邊求導(dǎo)數(shù)得 y=-e y-xeyy, 于是 (1+xe y)y=-e y, . 2. 求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 解 方程兩邊求導(dǎo)數(shù)得 , 于是 , 在點(diǎn)處y=-1. 所求切線方程為 , 即. 所求法線方程為 , 即x-y=0. 3. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù): (1) x2-y2=1; (2) b2x2+a2y2=a2b2; (3) y=tan(x+y); (4) y=1+xey. 解 (1)方程兩邊求導(dǎo)數(shù)得 2x-2yy=0, y=, . (2)方程兩邊求導(dǎo)數(shù)得 2b2x+2a2yy=0, , . (3)方程兩邊求導(dǎo)數(shù)得 y=sec2(x+y)(1+y), , . (4)方程兩邊求導(dǎo)數(shù)得 y=e y+xe yy, , . 4. 用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1) ; (2); (3); (4). 解 (1)兩邊取對(duì)數(shù)得 ln y=xln|x|-xln|1+x|，兩邊求導(dǎo)得 , 于是 . (2)兩邊取對(duì)數(shù)得 , 兩邊求導(dǎo)得 , 于是 . (3)兩邊取對(duì)數(shù)得 , 兩邊求導(dǎo)得 , 于是 (4)兩邊取對(duì)數(shù)得 , 兩邊求導(dǎo)得 , 于是 . 5. 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1) ; (2) . 解 (1). (2). 6. 已知求當(dāng)時(shí)的值. 解 , 當(dāng)時(shí), . 7. 寫出下列曲線在所給參數(shù)值相應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程和法線方程: (1) , 在處; (2) , 在t=2處. 解 (1). 當(dāng)時(shí), , , ,所求切線方程為 , 即; 所求法線方程為 , 即. (2), , . 當(dāng)t=2時(shí), , , , 所求切線方程為 , 即4x+3y-12a=0; 所求法線方程為 , 即3x-4y+6a=0. 8. 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù): (1) ; (2) ; (3) ; (4) , 設(shè)f (t)存在且不為零. 解 (1) , . (2) , . (3) , . (4) , . 9. 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù): (1); (2). 解(1), , . (2), , . 10. 落在平靜水面上的石頭, 產(chǎn)生同心波紋, 若最外一圈波半徑的增大率總是6m/s, 問(wèn)在2秒末擾動(dòng)水面面積的增大率為多少？ 解 設(shè)波的半徑為r, 對(duì)應(yīng)圓面積為S, 則S=pr2, 兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)得 S t=2prr. 當(dāng)t=2時(shí), r=62=12, rt=6, 故S t|t=2=2126p=144p (米2/秒). 11. 注水入深8m上頂直徑8m的正圓錐形容器中, 其速率為4m2/min . 當(dāng)水深為5m時(shí), 其表面上升的速度為多少？ 解 水深為h時(shí), 水面半徑為, 水面面積為, 水的體積為, , . 已知h=5(m)，(m3/min), 因此 (m/min). 12. 溶液自深18cm直徑12cm的正圓錐形漏斗中漏入一直徑為10cm的圓柱形筒中, 開(kāi)始時(shí)漏斗中盛滿了溶液, 已知當(dāng)溶液在漏斗中深為12cm時(shí), 其表面下降的速率為1cm/min. 問(wèn)此時(shí)圓柱形筒中溶液表面上升的速率為多少？ 解 設(shè)在t時(shí)刻漏斗在的水深為y, 圓柱形筒中水深為h. 于是有 . 由, 得, 代入上式得 , 即 . 兩邊對(duì)t求導(dǎo)得 . 當(dāng)y=12時(shí), yt=-1代入上式得 (cm/min). 2-7 1. 已知y=x3-x, 計(jì)算在x=2處當(dāng)Dx分別等于1, 0.1, 0.01時(shí)的Dy及dy. 解 Dy|x=2, Dx=1=(2+1)3-(2+1)-(23-2)=18, dy|x=2, Dx=1=(3x2-1)Dx|x=2, Dx=1=11; Dy|x=2, Dx=0.1=(2+0.1)3-(2+0.1)-(23-2)=1.161, dy|x=2, Dx=0.1=(3x2-1)Dx|x=2, Dx=0.1=1.1; Dy|x=2, Dx=0.01=(2+0.01)3-(2+0.01)-(23-2)=0.110601, dy|x=2, Dx=0.01=(3x2-1)Dx|x=2, Dx=0.01=0.11. 2. 設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖形如圖所示, 試在圖(a)、(b)、(c)、(d)中分別標(biāo)出在點(diǎn)x0的dy、Dy及Dy-dy并說(shuō)明其正負(fù). 解 (a)Dy0, dy0, Dy-dy0. (b)Dy0, dy0, Dy-dy0. (c)Dy0, dy0, Dy-dy0. (d)Dy0, dy0. 3. 求下列函數(shù)的微分: (1); (2) y=xsin 2x ; (3); (4) y=ln2(1-x); (5) y=x2e2x ; (6) y=e-xcos(3-x); (7); (8) y=tan2(1+2x2); (9); (10) s=Asin(wt+j) (A, w, j是常數(shù)) . 解 (1)因?yàn)? 所以. (2)因?yàn)閥=sin2x+2xcos2x , 所以dy=(sin2x+2xcos2x)dx. (3)因?yàn)? 所以. (4). (5)dy=ydx=(x2e2x)dx=(2xe2x+2x2e2x)dx=2x(1+x)e2x. (6) dy=ydx=e-xcos(3-x)dx=-e-xcos(3-x)+e-xsin(3-x)dx =e-xsin(3-x)-cos(3-x)dx . (7). (8) dy=dtan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)dtan(1+2x2) =2tan(1+2x2)sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)sec2(1+2x2)4xdx =8xtan(1+2x2)sec2(1+2x2)dx . (9) . (10) dy=dAsin(w t+j)=Acos(w t+j)d(wt+j)=Aw cos(wt+j)dx . 4. 將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號(hào)內(nèi), 使等式成立: (1) d( )=2dx ; (2) d( )=3xdx ; (3) d( )=costdt ; (4) d( )=sin wxdx ; (5) d( ); (6) d( )=e-2xdx ; (7) d( ); (8) d( )=sec23xdx . 解 (1) d( 2x+C )=2dx . (2) d()=3xdx . (3) d( sin t+C )=costdt . (4) d()=sin wxdx . (5) d( ln(1+x)+C ). (6) d()=e-2xdx . (7) d(). (8) d()=sec23xdx . 5. 如圖所示的電纜的長(zhǎng)為s, 跨度為2l, 電纜的最低點(diǎn)O與桿頂連線AB的距離為f, 則電纜長(zhǎng)可按下面公式計(jì)算: ,當(dāng)f變化了Df時(shí), 電纜長(zhǎng)的變化約為多少？ 解 . 6. 設(shè)扇形的圓心角a=60, 半徑R=100cm(如圖), 如果R不變, a 減少30, 問(wèn)扇形面積大約改變了多少？又如果a 不變, R增加1cm, 問(wèn)扇形面積大約改變了多少？ 解 (1)扇形面積, . 將a=60, R=100, 代入上式得 (cm2). (2) . 將a=60, R=100, DR=1代入上式得 (cm2). 7. 計(jì)算下列三角函數(shù)值的近似值: (1) cos29; (2) tan136. 解 (1)已知f (x+Dx)f (x)+f (x)Dx, 當(dāng)f(x)=cos x時(shí), 有cos(x+Dx)cos x-sin xDx , 所以 cos29=. (2)已知f (x+Dx)f (x)+f (x)Dx, 當(dāng)f(x)=tan x時(shí), 有tan(x+Dx)tan x+sec2xDx, 所以 tan136=. 8. 計(jì)算下列反三角函數(shù)值的近似值 (1) arcsin